Операции в r.

· х,у э R₊ , х= n, n₁n₂… n_k…, у = m₁m₂ …m_k … х и у наз. число, разделяющее мн-во {х_k+у_k}и{х_k’+у_k’}, где х_k и у_k – десятичное приближение по недостатку, а х _k’ и у _k’ – по избытку чисел х и у соот-но.

Теор. Сумма положительных действит-х чисел сущ. и ед.

¨ Сущ. следует из св-ва непрерыв. с R₊

х_k> х_k’ |

у_k> у_k’ (k э N) | [ х_k+у_k< х_k’+у_k’ , ( люб.k э N)

Мн-во {х_k+у_k}и{х_k’+у_k’} [сущ. число, разделяющее эти мн-ва.

Ед. выходит за рамки программы.

Теор. Сложение положит. действит. чисел коммуникативно и ассоц-но, т.е. люб. а,в,с э R_{+ 1.} а+в=в+а _2. а+(в+а)=(а+в)+с

¨ Коммунк-ть: а+в-раздел. для мн-в {а_k+в_k}и{а_k’+в_k’}; в+а–для {в_k+а_k}и {в_k’+а_k’}

Для рац-х чисел коммун-ть слож-я док-на, значит а_k+в_k=в_k+а_k

а_k’+в_k’= в_k’+ а_k’ , т.е. а+в и в+а явл. раздел. для одних и тех же мн-в, а в силу ед-ти суммы а+в=в+а . (ассоц-ть док-ся аналог-но)

· Разностью положит. действит. чисел х и у наз. такое Zч, что х = у+z

· Произведением действит. чисел х и у наз. число, разделяющее мн-во {а_kв_k} -по недост. и{а_k’в_k’} – по избытку чисел х и у соот-но.

Теор. Произведение положит. действит. чисел сущ. и ед.

Теор. Умнож-е положит. действит. чисел коммун-но, ассоц-но и дистрибутивно относит-но сложения, т.е. а,в,с э R₊ : _1. ав=ва ; _2. а(вс)=(ав)с ; _3. а(в+с)=ав+ас

· Частным положит. действит. чисел х и у наз. такое Zч, что х = уz

· Пусть х э R₊. Числа вида – х, где х э R₊ наз. отрицательными действит-ыми числами. Их обознач. R _-_.

· Назовём множеством действит. чисел R= R _-_ U {0} U R₊

R _-_, {0}, R₊ -попарно не пересек-ся.

· Числа х и – х наз. противоположными.

Считается, что – (– х)= х. Нуль противоположен самому себе. Противополож. числа на координ. прямой изображ-ся точками симметричными относительно началу отсчёта.

· Модулем числа х наз. расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчёта: | а|= а, если а>0, - а, если а<0

10.Длина отрезка. Св-ва этой величины. Измерение длниы отрезка. Еденицы длины

Рассмотрим аксеоматику полож-х величин, к-ая была предложена академиком Колмогоровым А.Н.

¨ Положит-ой скаляр-ой величиной (ПСВ) наз-ся любой эл-т мн-ва G положит-х однород-х скаляр-х величин, на к-ом заданы отнош-я сравнения (>,=,<) и операция слож-я, удовл-щие след. условиям:

1. (Vа,в Є G) (а<вVа=вVа>в)-аксиома связанности

2. (Vа,в,с Є G) (а<вΛв<с[а<с) транзитивность отнош-я <

3. (Vа,в Є G) (E!с Є G │а+в=с) существование сумм величин

4. (Vа,в Є G) (а+в=в+а) коммунитативность сложения

5. (Vа,в,с Є G) (а+(в+с)=(а+в)+с) ассоциативность сложения

6. (Vа,в Є G) (а<а+в) монотонность сложения

7. (Vа,в Є G) (а>в[ E!с Є G│а=в+с) возможность сложения

8. (Vа Є G) (Vn ЄN) (Eв Є G │а=nв) возможность деления на целое число долей

9. (Vа,в Є G) (En ЄN) (а<nв) аксиома Евклида (Архимеда)

10. Если послед-ть величин а₁<а₂<…<а_n<…<в_n<…<в₂<в₁ такова, что разностьи в_n-а_n бесконечно убывают при увеличении n, то найдётся удинственный эл-т х ЄG, удовл-щий условию а_n< х <в_n , Vn ЄN –аксиома непрерывности

¨ Если а,в Є G, то величины а,в наз-ся однородными, в противном случае неоднородными и для них не определены отнош-я сравнения и операция слож-я. Для того, чтобы показать, что та или иная величина явл-ся ПСВ необх-мо убедиться, что она удовл-ет опред-ю ПСВ, т.е., что она удовл-ет всем 10-ти аксиомам этого опред-я.