4.Теоретико-множественный подход к умножению целых неотриц.Чисел. Существование и единственность умножения. Законы умноженияя.

!Объединением 2х мн-в А и В наз-ют мн-во обозначаемое АUВ, к-ое состоит из эл-тов принадлежащих хотя ы одному из мн-в. АUВ={x|xЄА или xЄВ}

хЄ АUВ=> 1. xЄА, х₡В 2. х₡А, xЄВ 3. xЄА, xЄВ

х₡ АUВ=> х₡А, х₡В

! Мн-во упорядоченных пар, первые компоненты к-рых Є 1ому мн-ву А, а вторые мн-ву В наз-ют декартовым произведением мн-в A и B. АхВ={<a,b>|aЄА, bЄВ}

Теорема 1: Для b>1 прозвед-е эл-тов а и b равно сумме b слагаемых, каждое из к-рых равно а.

Д-во:

Пусть а*b произвед-е 2х натур.чисел равное сумме b–слагаемых, кажд.из к-рых равно а.

а^оb=а+а+…+а

b слагаемых

Положим а^о1=а

а*(b+1)=а+а+..+а+а=(а+а+…+а)+а= а^оb+а

b+1 раз b раз

а^оb= а*b

Замечание. а*1=а а*0=0

Теоретико-множественное обоснование:

Пусть имеется b попарно-пересекающихся мн-в, кажд.из к-рых содержит а эл-тов.

А₁, А₂,…,А_b

n(А₁)=n(А₂)=…=n(А_b)=a

тогда число эл-тов этих мн-в будет равно

n(А₁UА₂U…UА_b)=n(А₁)+n(А₂)+…+n(А_b)=а+а+…+а= а*b

Вывод: с теоретико-мн-венной т.зр. произвед-е а и b (натур.чисел), b>1, равно числу эл-тов в объединении b попарно-непересекающихся мн-вах, кажд.из к-рых содержит а эл-тов.

Теорема 2: декартово произведение 2х конечных мн-в н пустых конечно и число эл-тов в декартовом произведении мн-в А и В равно произвед-ю числа эл-тов кажд.мн-ва, т.е. n(АхВ)= n(А)* n(В)

Д-во:

Пусть А≠Ø, n(А)=m, B≠Ø, n(В)=k, k>1

Рассмотрим декартово произведение мн-в А и В. Разобьем декартово произвед-е А и В на k попарно-непересекающихся подмн-в.

А₁={<x,y₁>|xЄA, y₁ЄB}

А₂={<x,y₂>|xЄA, y₂ЄB}

А_k={<x,y_k>|xЄA, y_kЄB}

n(А₁)=n(А₂)=…=n(А_b)=m

A_i∩A_j=Ø, i≠j, i,j=1,…,k

n(АхВ)= n(А₁UА₂U…UА_k)=n(А₁)+n(А₂)+…+n(А_k)=m+m+…+m=m*k= n(А)* n(В)

Д-во:

k=1

n(В)=1, В={a}

АхВ={<x,a>| xЄA }, n(АхВ)= n(А) a*1=a

Замечание. Согласно теореме 2 можно дать трактовку (VаЄА) а*0=0

а= n(А), 0= n(Ø), АхØ= Ø, n(Ах Ø)= n(Ø),

n(А)* n(Ø)= n(Ø) а*0=0

Вывод: с др.теоретико-мн-венной т.зр. произвед-е 2х натур.чисел А и В, где а= n(А), b= n(В) равно числу эл-тов в декартовом произвед-ии мн-в А и В.

Теоретико-множественная трактовка свойств операций умножения:

1. (Va,b ЄА) а*b= b*а

АхВ≠ВхА

АхВ={<а, b>|аЄA, b ЄB}

ВхА={< b,а>| b ЄB. аЄA}

Всякому эл-ту декартов.произвед-ий А и В единствен.образом можно поставить в соответствие один эл-т < b,а> из декарт.произвед-я мн-в <а, b>, т.к. сущ-ет взаимооднозначн. отображение мн-в АхВ↦ВхА

n(АхВ)=n(ВхА) а*b= b*а

2. (Va,b,с ЄА) (а*b)*с= а*(b*с)

(АхВ)хС≠Ах(ВхС)

(АхВ)хС={<<a,b>,c>|<a,b>ЄАхВ(аЄA, bЄB),cЄC}

Ах(ВхС)= {<a,<b,c>>|аЄA,<b,c>ЄВxC(bЄB,cЄC)}

м/у ними сущ-ет взаимооднозначное отображение, поэтому они равномощны, т.е.

n((АхВ)хС)= n(Ах(ВхС)) (а*b)*с= а*(b*с)

3. (Va,b,с ЄА) (а+b)*с=ас+bc

(АUВ)хС=(АхС) U (ВхС)

Можно подобрать такие мн-ва А, В, С, чтобы мн-ва А и В не пересекались, декарт.произвед-е (АхС)∩ (ВхС) =Ø

n((АUВ)хС)= n((АхС) U (ВхС))

n(АUВ)*n(С)=n(АхС)+n(ВхС)

(n(А)+ n(В))*n(C)= n(А)* n(C)+ n(В) *n(C)

a= n(А), b= n(В), c= n(C)

(a+b)*c= ас+bc

Замечание. Пред-е произвед-я 2х натур.чисел можно обобщить на случай произвед-я k натур.чисел, используя индукцию по числу множителей, т.е. произ-е для k=2 считается опред-ым, предположив, что сущ-ет произвед-е k-множителей, покажем, что произвед-е k+1 – множителей определено

Для произвед-я k-натур.чисел выполн-ся коммутативн., ассоциат. И дистрибут.з-ны умножения.

Теоретико-множественный подход к делению целых неотрицательных чисел. Существование и единственность частного. Связь деления с умножением. Деление с остатком.

(Для любых a,bєN), (сущ-ет cєN) c=a:b => a=b·c. (сущ-ет a:b)=> a>b

a=bc = b+b+...+b (с раз). b= n(B), a=n(A)

n(A)=B₁UB₂U... UB_c

Каждое из мн-в равномощны мн-ву B и эти мн-ва попарно непересекающиеся

Согласно определению разбиение мн-ва {В₁, В_2,…, В_с} разбиение мн-ва А

В этой ситуации число c=a:b определяет число подмн-ва разбиения => с теоретико-множественной точки зрения, операция деления натуральных чисел связана с разбиением мн-ва на попарнонепересекающиеся равномощные подмн-ва.

С действием деления связаны две задачи: 1. Деление на части: требуется узнать сколько элементов содержит каждом подм-ве разбиения. 2) Деление по содержанию: требуется узнать сколько подмножеств в разбиении.

Пр-р: 12 карандашей нужно распределить поровну по трем коробкам. Сколько карандашей будет в каждой коробке?

А – мн-во карандашей n(A)=12

○○○○ ○○○○ ○○○○

B₁ B₂ B₃

По условию задачи мн-во А требуется разделить на 3 попарнонепересекающиеся подмн-ва. Поэтому в задачи идет речь о деление на части, поскольку треб-ся определить число элементов в каждом подмн-ве разбиения => задача реш-ся действием деления 12:3=4= n(В_i), i=1, 2, 3

Пр-р: 12 карандашей нужно распределить в коробки по три карандаша в каждую. Сколько нужно коробок?

| | | | | | | | | | | | n(A)=12

В₁ В₂ В₃ В₄

По условию задачи мн-во А требуется разделить на 3 попарнонепересекающиеся подмн-ва, каждый из кот-ых содержит по 3 элемента. Поэтому в задачи идет речь о деление по содержанию, поскольку треб-ся определить число подмножеств в таком разбиения => задача реш-ся действием деления 12:3=4= n(В_i), i=1, 2, 3

Теоретико-множественное обоснование правил деления.