1. Соответствия между мн-вами. Граф и график соответствия. Взаимооднозначное отображение на мн-во. Равномощные мн-ва.

! Соответствие S действующее из мн-ва А во мн-во В (S:А->В) наз-ют любое не пустое подмн-во S декартово произведения (SÍАхВ) мн-в А и В, при этом мн-во А наз-ся обл.отправления соответствия, мн-во В обл.прибытия.

%А={1,2} B={a,b,c} S₁={<1,a>,<1,b>,<2,b>}ÍAxB

!Графиком соответствия S:А->В наз-ют мн-во всех точек плоскости с координатами x, y таких, что пары x,yЄS. Г={<x,y>ЄR²|<x,y>Є S}

Способы задания соответствия:

1. В явном виде: S₁={<1,a>,<1,b>,<2,b>}ÍAxB

2. В неявном виде: S₂={<x,y>ЄR² |x-y=3}

3. С пом-ю диаграмм или графика.

Стрелочные диаграммы испол-ся для изображ-я конечных соответствий.

4. Табличный: S={<1,2>,<1,3>,<4,2>,<3,3>} А={1,2,3,4} S:А->А

x	1	1	4	3
y	3	2	2	3

! Мн-во первых компонент пар принадлежащих данному соответствию наз-ют обл.определения соответствия.

D(S)={xЄA|(EyЄB)<x,y>ЄS}

! Мн-во вторых компонент пар принадлежащих соответствию S действующего из А в В наз-ют обл.значения соответствия. E(S)={yЄB|(ExЄA) <x,y>ЄS }

Виды соответствий:

1. Соответствие наз-ют всюду определенным, если его обл.значения совпадает с обл.отправления.

Соответствие S действующее из А в В яв-ся всюду определенным, если выполняется след.условие:

(VxЄA)( EyЄB)( <x,y>ЄS)

% A={1,2,3,4} S₄={<1,1>,<1,2>,<3,3>,<4,1>} D(S₄)={1,2,3,4}=A

Замечание. На стрелочной диаграмме всюду определенного соответствия из кажд.т-ки обл.отправления выходит хотя бы одна стрелка.

2. Соответствие S наз-ют сюрьективным, если его обл.значения совпадает с обл.прибытия.

Соответствие S действующее из А в В наз-ся сюрьективным, если выполняется след.условие:

(VyЄB)( ExЄA)(<x,y>ЄS)

% A={1,2,3,4} S₅={<1,2>,<3,1>,<3,3>,<3,4>} E(S₅)={1,2,3,4}=A

Замечание. На стрелочной диаграмме сюрьективного соответствия к кажд.т-ки обл.прибытия подходит хотя бы одна стрелка.

3. Соответствие наз-ют функциональным если оно не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами, т.е. должно выполняться след.условие: <x₁,y₁>,< x₂,y₂> ЄS=> y₁= y₂

% A={1,2,3,4} S₈={<1,1>,<2,3>,<3,3>}

Замечание. На стрелочной диаграмме функционального соответствия из кажд.т-ки обл.определения выходит только одна стрелка.

4. Соответствие S наз-ют инъективным, если оно не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми компонентами, т.е. если выполняется след.условие: <x₁,y₁>,< x₂,y₂> ЄS=> х₁= х₂

% A={1,2,3,4} S₈={<1,1>,<1,3>,<3,4>}

Замечание. На стрелочной диаграмме инъективного соответствия к кажд.т-ки обл.значения подходит только одна стрелка.

5. Соответствие S наз-ся функцией (отображения), если оно всюду определено, функционально.

Замечание. Поскольку ф-ция яв-ся соответствием, то способы заданий ф-ций аналогичны способам заданий соответствий. Удобно задавать ф-цию с пом-ю формулы (аналитич.способом) % f(x)=х-3

6. Инъективная ф-ция наз-ся инъекцией, если оно всюду определенное, функциональное, инъективное соответствие.

7. Сюрьективная ф-ция яв-ся инъекцией, если оно всюду определенное, функциональное, сюрьективное соответствие.

8. Соответствие S наз-ся биекцией (взаимооднозначное отображение), если оно всюду определенное, функциональное, сюрьективное, инъективное. Иначе: биекция – сюрьективная, инъективная ф-ция.

% S={<x,y>ЄR²|y=x²} D(S)=R=> S – всюду определено E(S)=[0;+ ∞]≠R – S не сюрьективное

<x₁,y₁>,< x₂,y₂> ЄS=> х²= y_1, x₂=y₂=> y₁= y₂=>S – функция <1,1>,<-1,1> ЄS=>S – не инъюкция – соответствие яв-ся ф-цией, но не яв-ся биекцией.

! Соответствие Т наз-ся обратным соответствием S, если оно состоит из пар вида <y, x> такие что пары <x,y>ЄS. T=S T={<y, x> ЄR|BxA|<x,y>ЄS }

Замечание. Из определения следует, что для люб.соответствия можно построить ему обратное соответствие.

% A={1,2,3,4} S={<1,2>,<3,1>,<3,4>} S^-1={<2,1>,<3,1>,<4,3>}

Т.к. соответствие яв-ся мн-вом, то все операции, к-ые выполн-ся над мн-вами можно выполнить и над соответствиями (объединение, пересечение, разность, дополнение до соответствия).

! Композицию соответствий S и T обозначают композицией, к-рое можно задать след.образом: T₀S={<x,y>ЄAxC|(EzЄB)<x,z> ЄS и <z,y>ЄT} S:А->В T:B->A

Замечание. Композиция соответствий S и T существует, если выполняется след.условие E(S)∩D(T)≠Ø

наименьший пример.

Отношения на мн-ве. Способы их задания и св-ва. Отношения эквивалентости и порядка.

!Соответствие действующее во мн-во А наз-ют бинарным отнош-ем (ρ) заданным на мн-ве А.

! Не пустое подмн-во подмн-ва А наз-ют бинарным отнош-ем заданным на мн-ве А.

% A={1,2,3,4} ρ₁={<1,1>,<2,2>,<1,4>,<4,2>} Если пары <x,y>Єρ, то говорят, что эл-ты х, у связаны м/у собой бинарным отнош-ем ρ или нах-ся в бинарном отнош-ии ρ (х ρ у).

Способы его задания:

Бинарные отнош-я заданные на мн-ве А, где А- конечное мн-во, удобно изображать с пом-ю графов.

Графом наз-ют совокупность вершин и ребер. Вершины изображ-ся т-ками на плоскости яв-ся эл-тами мн-ва А. Ребра изображ-ся стрелками (односторонними, двусторонними). Ребра изображают эл-ты бинарных отнош-ий ρ, т.е. если пары x,y Єρ то от вершины х к вершине у выходит стрелка.

Св-ва бинарных отнош-ий:

1. Бинарн.отнош-е ρ заданное на мн-ве А наз-ют рефлексивным, если выполняется след.условие

(VхЄА) хρх (VхЄА) <x,х>Єρ

% A={1,2,3,4} ρ₂={<1,1>,<2,2>,<4,4>,<3,3>} - рефлексивно ρ_1- не рефлексивно

% ρ₃={<x,y>ЄR²|х²=у²} (VхЄR) <x,х>Єρ (VхЄR) x² =x² - рефлексивно

Замечание. Граф рефлексивного отнош-я в кажд.вершине имеет петлю.

2. Бинарн.отнош-е ρ заданное на мн-ве А наз-ют симметричным, если выполн.след.условие:

(Vх,у ЄА) х ρ у => у ρ х

(Vх,у ЄА) <x,y>Єρ => x,y Єρ

% A={1,2,3,4} ρ₄={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <2,3>,}- симметричный

% ρ₃= {<x,y>ЄR²|х²=у²} (Vх,уЄR) <x,у>Єρ₃=> <у,х>Єρ₃ (Vх,уЄR) х²=у²=> у²= х² -отнош.симметрично

Замечание. Граф симметричного отнош-я содержит только двусторонние ребра.

3. Бинарн.отнош-е ρ заданное на мн-ве А наз-ют транзитивным, если

(Vх,у,z ЄА) хρу и yρz => xρz

(Vх,у,z ЄА) <x,y>Єρ и <у,z>Єρ=><x,z>Єρ

% (Vх,у,z ЄА)x-y:3 и y-z:3 => x-z:3 (x-y)+(y-z):3 x-z:3

Замечание. Граф транзитивного отнош-я обладает след.особенностью: если на ребра графа смотреть как на векторы, то для кажд.пары ребер удовлетворяющих сложение векторов по правилу треугольника, обязательно должен найтись вектор являющийся их суммой (т.е. замыкающее ребро).

4. Бинарн.отнош-е ρ заданное на мн-ве А наз-ют антирефлексивным, если

(VхЄА) (отрицание)хρх (VхЄА)<x,х>₡ρ

% ρ₄={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>}

Замечание. Граф антирефлексивного отнош-я не содержит петель.

Замечание. Не сущ-ет бинарн.отнош-ий, обладающих одновременно св-вом рефлексивности и антирефлексивности. Сущ-ет бесконечное мн-во бинарн.отнош-ий, к-рые не обладают ни тем, ни другим св-вом.

5. Бинарн.отнош-е ρ заданное на мн-ве А наз-ют антисимметричным, если

(Vх,у ЄА) хρу и уρх=> х=у

(Vх,у ЄА) <x,y>Єρ и <y,х>Єρ => х=у

% A={1,2,3,4} ρ₂={<1,1>,<1,2>,<3,4>,<2,3>}

Замечание. Граф антисимметричного отнош-я содержит только ориентированные ребра, хотя может иметь и петли.

! Бинарн.отнош-е ρ заданное на мн-ве А наз-ют отнош-ем эквивалентности на мн-ве А(~), если оно рфлексивно, симметрично, транзитивно.

(VхЄА) х ~ х

(Vх,у ЄА) х ~ у => у ~ х

(Vх,у,z ЄА) х~у и y~z => x~z

! Мн-во эл-тов хЄА~а наз-ют классом эквивалентности порожденным эл-том А[а]. [а]={хЄА|х~а}

% A= x~yÛ х²=у² [а]={хЄ|х~а}={ хЄ| х²=a²}={ хЄ| x=+a} [2]={-2;2} [корень из 2]={-корень из 2;корень из2}

% A= x~yÛх-у:3 [а]={хЄ|х~а}={ хЄ|x-a:3} [0]={хЄ|x=3k,kЄ}={,..,-6,-3,0,3,6,…}

[1]={хЄ|x=3k+1,kЄ}={,..,-5,-2,1,2,4,7,…}

Предложение: пусть a,b ЄА, если a~b, то класс эквивалентности [а]= [b]

Д-во: [а] Í [b] a ЄА a~a=>a Є[а] a~b=> b Є[а]

[b] Í [а] (д-во аналогичное)

Замечание. Если [а]= [b] => a~b. Класс эквивалентности порожденный эл-том ф вполне определ-ся люб.своим представителем.

!Мн-во не пустого подмн-ва А {A_i} iЄN удовлетворяющее 2ум условиям наз-ют разбиением м-ва А:

1. A_i∩A_j= Ø, i≠j

2. объединение всех мн-в дает мн-во А - U_iA_i=A

Теорема 1: Всякое отнош-е эквивалентности заданное на мн-ве А порождает на этом мн-ве разбиение.

Д-во: А≠Ø ~{[a]}

1. [а] ≠Ø А≠Ø=>(EaЄA) =>-a~a=> a Є[а] => [а] ≠Ø

2. [а] ∩[b] =Ø, [а] ≠ [b] [а] ∩[b] ≠Ø=>(Ea) aЄ[а], aЄ[b] => a~b=>[а]= [b]

3. U[а]=A aЄ U[а] => a Є[а]= a~a=> a ЄА=> U[а]=A

a ЄА=> a~a=> a Є[а] => a Є U[а] =>AÍ U[а] => U[а]=A.

из 1, 2, 3 => что, мн-во классов эквивалентности яв-ся разбиением мн-ва А.

% 3, 3+1, 3+2

3={хЄ|x=3k,kЄ} 3+1={хЄ|x=3k+1,kЄ} 3+2={хЄ|x=3k+2,kЄ}

xρyÛx и y принадлежат одному из этих классов

Теорема 2: Всякое разбиение мн-ва А порождает на этом мн-ве отнош-е эквивалентности.

Д-во: А≠Ø, {A_i}, A_iÍA, A_i≠Ø, A_i∩A_j=Ø, i≠j, U_iA_i=A xρy(EiЄJ) x,yЄA_i

Док-ем, что для люб.эл-та х из мн-ва А

1. (VхЄА) хρх (VхЄА) (EiЄJ) xЄA_i А≠Ø=>(ЕхЄА) => хЄА= U_iA_i => хЄА - рефлексивно

2. (Vх,у ЄА)(EiЄJ) x,yЄA_i =>у, х ЄA_i - смметрично

3. хρу=>(EiЄJ)x,yЄA_i |=>yЄ A_i∩A_j=> A_i=A_j=>x,zЄA_i=A_j=>x,y,z - транзитивно

yρz=>(EjЄJ)y,zЄA_j |

! Бинарное отнош-е (≤) наз-ют отнош-ем не строго порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметричо, т.е.

1. (VхЄА) х≤х

2. (Vх,у,z ЄА) х≤у и у≤z => х≤z

3. (Vх,у ЄА) х≤у и у≤х=> х=у

!Мн-во А, на к-ром задано отнош-е не строго порядка наз-ют упорядоченным.

! Бинарн.отнош-е наз-ют отнош-ем строго поряка, если оно антирефлексивно, транзитивно.

1. (VхЄА) х<х

2. (Vх,у,z ЄА) х<у и у<z => х<z

! Мн-во А, на к-ром задано отнош-е строго порядка наз-ют упорядоченным данным отнош-ем (А, <).

!2 эл-та мн-ва А х и у наз-ся сравнимыми, если выполняется одно и только одно из след.соотношений: либо х≤у, либо у≤х.

! 2 эл-та мн-ва А х и у наз-ся сравнимыми, если выполняется одно и только одно из след.соотношений: либо х<у, либо х=у, либо у<х.

! Упорядоченное мн-во А наз-ют линейно-упорядоченным, если люб.2 эл-та сравнимы.

А, < (Vх,у ЄА) х<у или х=у или у<х

А, ≤ (Vх,у ЄА) х≤у или у≤х

! Пусть на мн-ве А не строго порядка эл-т а наз-ют наименьшим, если выполн-ся след.улсовие (VхЄА)а≤x

! Пусть на мн-ве А не строго порядка эл-т а наз-ют наибольшим, если для люб.эл-та х из А, х<а.

Теорема: Если упорядоченное мн-во имеет наименьший (наибольший) эл-т, то он единственный.

Д-во: а₁, а₂ ЄА

По опред. (VхЄА) а₁≤х |=> а₁≤ а₂ |

х= а₂ => а₁= а₂ - единственно

(VхЄА) а₂≤х|=> а₂≤ а₁ |

х= а₁

! Упорядоченное мн-во А наз-ют вполне упорядоченным, если люб.его не пустое подмн-во имеет