3. Теоретико-множественный подход к сложению целых неотрицательных чисел. Существование и единственность суммы. Законы сложения.

Пример: объясним, почему 3+2=5

○○○ A ○○ B

A, B не пересекаются (A∩B=Ø) A∩B=5

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения сложение двух натуральных чисел сводятся к отыскиванию числа элементов в объединении двух пересекающихся множеств.

Лемма: для любых a,bєN существует взаимнооднозначное отображение мн-ва N_b во мн-во X, таких элементов, что a+1≤x≤a+b. Nb→ X {xєN| a+1≤x≤a+b}

Пример: A={1,2,3,4,5} , B ={4,5,6,7,8} cє A=> x=c+3 , 1 → 1+3=4; 2 → 2+3=5 Обобщим на случай натуральные числа a,b, таким обр., всякому элементу с из N_b поставим в соответствие элемент x=c+а

Теорема: объединение двух непересекающихся конечных мн-в конечно и число элементов в их объединении равно сумме числа элементов каждого мн-ва, т.е. если мн-ва не пересекаются, то число элементов вычисляется следующим образом: A∩B=Ø => n(AUB)=> n(A)+ n(B)

Док-во: Пусть a=n(A), b= n(B) конечны, A→N_a, B→N_b. Согласно лемме N_b→ X {xєN| a+1≤x≤a+b}

AUB → N_a+b, т.к. A→N_a, которое содержит а элементов, B→N_b→ X {xєN| a+1≤x≤a+b}, X содержит b элементов и X, N_a общих элементов не имеют => объединение AUB будет отображаться на мн-ве N_a+b и иемют а+b элементов. Раз существует такое отображение, то означает число элементов в этих двух мн-вах равны.

AUB→ N_a+b => n (A+B) = n(Na+b)= a+b= n (A) + n (B) и объединение A и B конечно.

Вывод: Теоретико-множественное истолкование сложения двух натуральных чисел заключается в следующем: суммы элементов a и b есть число элементов в объединении двух конечных непересекающихся мн-вах A и B причем a=n(A), b=n(B).

Теоретико-множественное истолкование свойств сложения натуральных чисел

1. (Для любых a,b єN ) a+b=b+a

a=n(A), b=n(B), A∩B=Ø. Из теории мн-в известно, что АUB=BUA, т.к. A и B конечны, значит объединение конечно, то и число элементов конечно и равно. n(АUB)=n(BUA) => n(A)+n(B)=n(B)+n(A)=> a+b=b+a

2. (Для любых a,b, c єN ) (a+b)+c=a+(b+c)

a=n(A), b=n(B), A∩B=Ø. (АUB) UC=AU(BUC), т.к. A и B конечны=> n ((АUB) UC)=n(AU(BUC)) => n(АUB)+ n(C)=n(A)+n (BUC)=> (n(А)+n(B)) +n(C)=n(A)+(n(B)+n(C)) => (a+b)+c=a+(b+c)

3. (Для любых a єN ) a+0=a

a=n(A), 0=n(Ø), AU Ø=A. n (AU Ø) = n (A)=> n (A)+ n (Ø)=n(A)=> a+0=a

Определение сложения k натуральных чисел можно вывести из определения двух натуральных чисел, используя индукцию по числу слагаемых, т.е. а₁+а₂, а₁+а₂+...+а_k+а_k+1= (а₁+а₂+...+а_k)+ а_k+1

Аналогично можно обобщить и теорем на случай k слагаемых.

Теорема: Пусть A₁, A₂,…,A_k непустые конечные попарно непересекающиеся мн-ва, тогда их объединение конечно (A₁U A₂ U… U A_k) и число их элементов равно сумме числу элементов каждого мн-ва n(A₁U A₂ U… U A_k)= n(A₁)+n(A₂)+… +n(A_k)

Пр-р: Коля собрал 10 грибов, Ваня 12, а Петя 15. Сколько грибов собрали мальчики вместе?

n(A)=10 – Коля

n(B)=12 – Ваня

n(C)=15 - Петя

В задачи требуется, определить число элементов в объединении трех попарно непересекающихся мн-в => она решается операцией сложения: n(A₁UA₂ UA₃)= n(A₁)+n(A₂)+n(A₃)=10+12+15=37

Теоретико-множественный подход к вычитанию целых неотрицательных чисел

Теорима. Пусть м-во А конечное м-во, В собственное подмно-во. Тогда С_А В=А\В (дополнение м-ва В до м-ва А) м-во конечное и n (A\B)=n (A)-n (B)

n (C_AB)=n (A)- n (B) Д-во:

C_AB = A\B

C_AB c A т.к дополнение м-ва В до м-ва А есть подмножев-во А след-но конечно. C_AB ∩B=Ø C_AB U B=A

Теорема1.

n (A) = n (C_AB U B)= n (C_AB) +n (B)

n (C_AB) = n (A)- n (B)

Вывод: с теоретико-множест-ой т.з. разность 2-х натур-ых чисел А и В (где а = n (A), b = b (B)) сводит-ся к выделению соб-ого подмнож-ва В м-ва А при чем а-в = n (C_AB)

Св-ва операций вычитания.

1. (V a ε Z₀) a – 0 = a

Д-во: из теории м-в известно A\Ø = A

a= n (A) Ø c A, A≠ ø

0 = n (Ø) n (A\ ø) = n(A)

n(A) – n ( ø) = n (A)

a - 0 =a

2. (Va εZ₀) a – a = 0

A \ A = ø n (A)-n (A)=n (ø)

n (A\A) = n (ø) a-a=0

a = n (a), 0 = n (ø)

Т-ко-м-ное истолкование правил вычитания

· прав-о вычит-ния числа из суммы

a, b, c ε N

1. a >c, (a+b)-c= (a-c)+b

2. b > c, (a+b)-c= a+ (b-c)

Д-во: А, В, С конечные, а= n (A), b= n (B), c=n (C)

a>c след-но С с А, A∩B = ø

I

(A U B) \ C=(A\C)UB=> n ((A U B)\C)=n ((A\C) U B)

C c AUB (A\C)∩B =ø

n (AUB)-n(C)= n(A\C)+n (B)

(n (A)+ n (B))-n (C)=(n(A)-n(C))+n (B)

(a+b)-c =(a-c)+b

xε(AU B) \C след-но х ε AUB и x ¢ C след-но:

1. x єA и x¢B

2. x¢A и xεB

3. xεA и xεB

4. и x¢C след-но

· x¢A

· xεB

· x¢C

II

xε(A\C)UB след-но

1. xεA\C и xεB

2. x¢A\C и xεB

3. xεA\C и x¢B

след-но

1 xεA и xεB и xεB

2 1)x¢A и x¢C и xεB

2) xεA и xεC и xεB

3)x¢A и xεC и xεB

3 xεA, x¢C x¢B

1)x¢A, x¢C, xεB след-но xεAUB и x¢C след-но xε(AUB)\C

· пра-о выч-ия суммы из числа

a, b, c ε N

a>b след-но a-(b+c)=(a-b)-c

a>c след-но a-(b+c)= (a-c)-b

a=n(A), b=n(B), c=n(C)

a>b след-но BcA

A\(BUC)= (A\B)\C

n(A\ (BUC))=n ((A\B)\C)

BcCcA

CcA\B

n(A)-n(BUC) =n (A\B)- n (C)

B∩C=ø BcA

n(A) - (n(B)+n(C))= (n(A)-n(B))-n(C)

· пра-о выч-ия числа из разности

a, b, c ε N

a>c след-но (a-b)-c = (a-c)-b

(a-b)-c = a- (b+c)

a=n(A), b=n(B), c=n(C)

a>b след-но BcA

a>c след-но CcA

(A\B)\C = (A\C)\B

· пра-о вычи-ия разности из числа

a, b, c ε N, b>c

a>b след-но a-(b-c) = (a-b)+c

a-(b-c) = (a+c)-b

a=n(A), b=n (B), c =n (C)

b>c след-но CcB

a>b след-но BcA

след-но CcA

A\(B\C)=(A\B)UC

· прибав-ние разности к числу

a, b, c ε N, b>c

a>c след-но a+(b-c)=(a-c) +b

a=n(A), b=n (B), c=n (c)

b>c след-но CcB

a >c след-но CcA

Теор-ко-мно-ое обоснование отно-ие больше на меньше на.

a<b след-но (Œ c ε N ) b=a+c

b>a на c

b<a на c

a=n(A), b=n(B)

B₁cB, c=n(B\B₁)=n(B)-N(B₁)=b-a

Вывод: с теоретико-множе-ой точки зрения a<b на с, где а= n(A), в=n(B) означает, что во м-ве В элементов столько же, сколько во м-ве А и еще с элементов.