5.Натуральное число как результат измерения величины. Арифметические действия над числами как мерами отрезков.

Натур-ое число как рез-т измер-ия велич-ны.

Нату-ые числа испол-ся не только при пересечете элем-ов м-ва, но и при измер-нии велечины: длин отрезков, площадей фигур.масс тел. Стоим-ти тоара и др.. т.е. для сравнения их с некот-ой единицей (меры, килог-ма и т.д) и выражение резул-та числом. Если измеряемую величину м. разделить на неско-ко частей = единицы величины, то резул-т измерения выраж-ся натур-ым числом. Однако чаще всего единица величины не уклад-ся целое число раз в измеряемой величине. Поэтому для выраж-ния резул-та измер-ния расширяется запас чисел, вводя числа отличные от натур-ого, след-но, измерение величин служит основой для расширения понятия числа.

Замеч-ие: в дальнейшим все понятия расс-м на примере одной величины – длины отрезка.

Опре-ние1. Будем говорить, что отр-к а разбит на отрез-ки (составлен из отрезков) а_1, а_{2, …,} а_n, если его можно представить в виде объ-ния этих отрез-ов, причем ни какие 2 из этих отре-ов не имеют оющей вну-ей точки (хотя м. иметь общие концы). При этом а₁ + а₂+…+ а_n называют суммой отре-ов а_1, а_2,…, а_n. Сумма = а.

Выберем некот-ый отр-ок е, кот-ый назовем единичным отр-ом, или единицей длины.

Опре-ие2. Если отр-ок а м. разбить на n отр-ов каждое из к-ых = единичному отр-ку е, то говорят, что число n яв-ся мерой отрезка а при единичном отр=ке е. Обоз-ют n=m_ea

Замеч-ие:

· при переходе от одной еди-цы длины к друг-ой, мера отрез-ка меня-ся, хотя сам отрез-ок не меняе-ся

· отре-ок а = отре=ку в, тогда и только тогда, когда мера длины =

а=в ó m_ea = m_ea

I. a=b след-но m_ea=m_eb

т.к отр-к а=и, то каждый из них можно разбить на n отр-ов, каждый из которых = е, т.е

а=nе след-но m_ea = m_eb

в=nе

II. m_ea=m_eb след-но a=b

m_ea = m_eb сле-но a=ne=b след-но отр-ки а=в

каждый можно разбить на n отре-ов а_1, а_2, …, а_n

каждое из кот-ых = е след-но а=а₁+а₂+…+а_n

b=a₁+a₂+…+a_n

след-но из опред-ия 1 а=в

· нату-ое число, получаемое при измерен-ии можно расс-ть и как порядковое и как колич-ое. По своей сути выступает в новом качес-ве

Вывод: натур-ое число как мера отр-ка а показ-ет из скольки выбран-ых отре-ов состоит отр-ок а при выбран-ой единице длины е для отр-ка. а – это число единичное.

Ариф-кие опера-ии над числами как мерами отре-ов.

· Если отрез-ок а составлен из отре-ов в и с и мера отре-ов в при единич-ом отрез-ке е=1 m_eb =p, m_ec =q, то m_ea = p+q=m_eb + m_ec

Док-во: m_eb =p след-но b=pe

m_ec=q след-но c=qe

тогда отр-ок а разбит на p+q отре-ов, каждый из кот-ых = е, т.е. a=(p+q)e след-но m_ea = p+q

Вывод: сумма 2 натур-ых чисел p и q = мере отре-ка а, кот-ый состоит из отре-ов bи c, меры кот-ых при одной и той же единице длины = p и q соответ-но.

· Если мера отрез-ка а при единице длины e=p, a m_e1e = q след-но m_e1a = pq

Док-во: m_ea=p след-но a=pe

m_e1=q след-но e=qe1

след-но отре-ок а будет составлен из pq отре-ов e1, т.к. каждый отрезок e состав-н из q e1, всего отрез-ов ep след-но m_e1a = q+q+…+q=pq

Вывод: при переходе к более мелкой единице измер-ия вычисляя меру отрез-ка а при новой единице измер-ия выпол-ся дейст-ие умнож-ия, т.е умножение натур-ых чисел отраж-ет переход к новой единице длины: если нат-ое число p мера отр-ка а при единице длины е, а нату-ое число q мера отр-ка е при единице длины е1, то произ-ие pq явл-ся мерой отр-ка а при единице длины е1.

· Пусть a=b+c, m_ea =p, m_eb = q, тогда m_ec = p-q

Вывод: разность 2х натур-ых чисел p и q, где p мера отр-ка а при единице длины е, а q мера отр-ка в при единице длины е = m_ec, кот-ая явл-ся допол-ем отр-ка в до отр-ка а.

· m_ea=p, m_ee1=q, m_e1a=p:q

Вывод: опера-ция деления натур-ых чисел отражает переход новой единицы длины к более крупной: если p это мера отр-ка а при единицы длины е, а q это мера отр-ка е1 при единиы длины е, то мера отр-к а при единице длины е1 =p:q