6.Система счисления - сс. Запись целых неотриц-х чисел в позиционных сс. Алгоритм ариф-х действий над целыми неотриц-ыми числами в дсс.

· Язык для наименования записи чисел и выполнения действий над ними наз-ют системой счисления.

· В позиционных СС один и тот же знак м. обозначать различные числа взависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. % 10-ая и Вавилонская 60-я СС.

· В непозиц-х СС каждый знак всегда обозначает одно и то же число независимо от места, занимаемого этим знаком в записи числа. % Римская СС.

Для записи чисел использ-ся 10 знаков:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.% 287=200+80+7=2•10²+8•10+7

· Десятичной записью хЄN наз. его представление в виде: х=а_n•10ⁿ+а_{n -1}•10^{n -1}+…+а₁•10⁺а₀

а_n≠0; а_n, а_n-1,…, а₁, а _i=0,1,…,9; i=0,…,n= а_n а_n-1… а₁ а₀

Теор 1. Любое N число х можно представить в виде х= и при том единственным образом.

Сущ. Пусть хЄN. Среди последоват-ти чисел 1,10,10², …, 10ⁿ,… м. найти наибольшую степень, содержащуюся в х. Это м. сделать всегда! Поэтому 10ⁿ «х<10ⁿ⁺¹

Док-во основано на теореме о делении с остатком. Делим х на 10ⁿ с остатком. Обозначим неполное частное а_n, а остаток х_n. Тогда согласно Т. о делении с остатком м. записать:

х= а_n•10ⁿ+ х_n , х_n<10ⁿ , а_n<10

Затем поделим х_n на 10^{n -1} . Обозначим неполное частное а_n-1, а остаток х_n-1.

х_n= а_n-1•10^n-1+ х_n-1 , х_n-1<10^n-1 , а_n-1<10 Поделим х_n-1 на 10^{n -2} и т.д.

Этот процесс конечен, когда на последнем шаге будет: х₂= а₁•10+ а₀ , а₀=х₁

Подставляя все полученные разложения получим х= , где коэффец-ты а_n≠0 и измен-ся от 0 до 9.

Ед. Докажем ед-ть n , к-ая следует из нерав-в: 10 ⁿ«х<10ⁿ⁺¹

В силу ед-ти n коэф-т а_n единственным образом опред-ся нерав-ом: а_n10 ⁿ«х<(а_n+1)•10ⁿ

Коэф-т а_n-1 опред-ся след-щим треб-ем: а_n-110 ^n-1+ а_n10 ⁿ«х< а_n10 ⁿ+(а_n-1+1)•10^n-1

Остальные коэф-ты опред-ся аналог-но. В силу того, что коэф-ты а_n и а₀ опред-ся ед-ным образом, разложение числа х ед-но.

Теор 2. Пусть х,уЄN и х=а_n•10ⁿ+а_n-1•10^n-1+…+а₁•10+ а₀ ; у=в_m•10^m+в_m-1•10^m-1+…+в₁•10+ в₀ ; а_i=0,1,…,9, i=0,n , а_n≠0 ; в_j=0,1,…,9, j=0,m , в_m≠0. Тогда х<у, если выполнено одно из условий: 1) n<m; 2) n=m, но а_n< в_n;3) n=m, если а_n= в_m, а_n-1= в_m-1, …, а_k= в_k, а_k-1<в_k-1.

Док-во, что х<у: 1) n<m 10 ⁿ«х<10ⁿ⁺¹ , 10 ^m«у<10^m+1

Если n<m [ n+1«m [ 10ⁿ⁺¹«10 ^m х<10ⁿ⁺¹«10 ^m «у [ х<у

2) n=m, но а_n< в_n [а_n+1«в_n[ (а_n+1)•10ⁿ«в_n•10ⁿ

Согласно разложен-я выпол-ся нер-во: а_n•10ⁿ « х <(а_n+1)•10ⁿ ; в_n •10ⁿ « у <(в_n+1)•10ⁿ

Далее сравниваем, подставляя х<(а_n+1)•10ⁿ «в_n •10ⁿ « у [ х<у

3) n=m, если а_n= в_m, а_n-1= в_m-1, …, а_k= в_k, а_k-1<в_k-1.

а_k-1<в_k-1[ а_k-1+1« в_k-1[ (а_k-1+1)•10 ^k-1 « в_k-1•10 ^k-1

а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+ а_k-1•10^k-1«х< а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+ (а_k-1+1)•10^k-1

в_m•10^m+…+ в_k•10^k+ в_k-1•10^k-1 «у< в_m•10^m+…+ в_k•10^k+ (в_k-1+1)•10^k-1

а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+ в_k-1•10^k-1 «у< а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+(в_k-1+1)•10^k-1

а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+(а_k-1+1)•10^k-1 «а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+ в_k-1•10^k-1

х< а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+(а_k-1+1)•10^k-1 « а_n•10ⁿ+…+ а_k•10^k+ в_k-1•10^k-1 « у[ х<у

Замечание: утвержд-е обратное Т.2. очевидно.

% Сравним 237 и 258. 238=2•10²+3•10+7 ; 258=2•10²+5•10+8

а₂=2, а₁=3, а₀=7 ; в₂=2, в₁=5, в₀=8 ; а₁< в₁[237<258

· Числа 1,10,10²,…,10ⁿ наз. разрядными ед-цами соответ-но 1-го, 2-го,…, n-го разряда. Причём, 10-ть ед-ц 1-го разряда составляют одну ед-цу след-щего высшего разряда, т.е. отнош-е соседнего разряда = 10 – это основание СС.

· Три первых разряда в записи числа наз. первым классом или классом ед-ц. Три последующие (4,5,6) образуют второй класс – класс тысяч.Третий класс – класс млн (7,8,9) состоит из ед-ц млн, дес. млн, сотен млн. Следующие три разряда обр-ют новый класс и т.д.

· Цифрой будем наз-ть однозначные числа.

В основе сложения многозн-х чисел лежат след-щие теор-ие полож-я:

1) запись числа в ДСС; 2) ассоц. и коммут. з. слож.; 3) дистр. з. умнож-я относит-но слож-я; 4) таблица сложения.

Алгоритм сложения в общем виде: Пусть х,уЄN произвольные

1) Степени одинак-ые: х= а_n•10ⁿ+а_n-1•10^n-1+…+а₁•10+ а₀ ; у= в_n•10ⁿ+в_n-1•10^n-1+…+в₁•10+ в₀

0 < а_i « 9 , 0 < в_ij« 9 , а_n≠0 , в_n≠0 , j,i=0,1,…,n.

х+у=а/з,к/з,д/з=( а_n+ в_n)• 10ⁿ+( а_n-1+ в_n-1)•10^n-1+…+( а₁+в₁)•10+ (а₀+в₀)

Первая часть этой формулы х+у явл-ся десятич-ой формой записи числа только в том случае, когда при всех k=0,n сумма каждого коэф-та д.б. «9 (а_k+в_k « 9). В противном 2)случае, выберем наименьшее k, при к-ом а_k+в_k « 10.

0« а_k « 9, 0« в_k « 9 [ 0« а_k+в_k « 18 [ а_k+в_k=10+с_k , 0« с_k « 9

х+у=( а_n+ в_n)• 10ⁿ+( а_k+1+ в_k+1)•10^k+1+( а_k+в_k)•10^k+…+( а₁+в₁)•10+ (а₀+в₀)

( а_k+в_k)•10^k =(10+с_k) •10^k =д/з=10^k+1+ с_k•10^k С учётом этого:

х+у=( а_n+ в_n)• 10ⁿ+…+( а_k+1+ в_k+1+1)•10^k+1+с_k •10^k+…+( а₁+в₁)•10+ (а₀+в₀)

Среди коэф-тов а_n+ в_n, …, а_k+1+ в_k+1+1 выберем коэф-т больший 9 (двигаясь справа налево) и поступаем аналог-ым образом. Таких шагов будет не более n, в рез-те получим след-щую форму записи числа: х+у=10ⁿ⁺¹+с_n10ⁿ+с_n-110^n-1+…+с₁10+с₀ 0« с_i « 9 , i=0,n

Это и есть запись числа в ДСС.

В случае, когда в десятич-ой записи слагаемых разное кол-во цифр, надо приписать кол-во нулей к числу с наменьшим кол-вом цифр, уровняв кол-во цифр обоих слагаемых. После этого применить процесс, записанный выше.

Словесное описание алгоритма слож-я:

1. Записать 2-ое слаг-ое под 1-ым так, чтобы соответ-щие разряды находились др.под др.

2. Склад-ют цифры разряда ед-ц. Если сумма < 10 –записывают её в разряд ед-ц ответа и переходят к след-щему разряду.

3. Если сумма » 10, то представляют её в виде а₀+в₀=10+с₀ , с₀ – одонзн. число, к-ое запис-ют в разряд ед-ц ответа и прибавляют ед-цу к цифре десятков первого слагаемого. После этого переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканч-ся, когда оказ-ся сложеными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма оказется »10, то припис-ют впереди обоих слагаемых нули, увеличивают нуль перед первым слагаемым на ед-цу и выполняют сложение 1+0=1

Вычитание многозн-х чисел основано на след-щих теор-х полож-ях:

1) запись числа в ДСС; 2) правила вычит-я и св-ва умнож-я; 3) табл. слож. однозн. чисел.

Алгоритм вычитания в общем виде: Пусть 0< а_i « 9 , 0< в_j« 9 , а_n≠0 , в_n≠0 , j,i=0,1,…,n.

х= а_n•10ⁿ+а_n-1•10^n-1+…+а₁•10+ а₀ ; у= в_n•10ⁿ+в_n-1•10^n-1+…+в₁•10+ в₀

х-у=пр. выч.=( а_n- в_n) •10ⁿ+(а_n-1- в_n-1)•10^n-1+…+(а₁- в₁)•10+( а₀- в₀)

Может служить десятич-ой записью числа только в том случае, когда все разности вида

а_k - в_k »0, k=0,n.

Предположим, что а_k - в_k – отрицательное число, т.е. а_k < в_k. Тогда сущ-ет наименьший индекс m>k такой,что а_m≠0, а_m-1= а_m-2=…= а_k+1=0

х= а_n•10ⁿ+…+ а_m•10^m+ а_m-1•10^m-1+…+ а_k+1•10^k+1+ а_k•10^k+…+ а₁•10+ а₀

у= в_n•10ⁿ+…+ в_m•10^m+ в_m-1•10^m-1+…+ в_k+1•10^k+1+ в_k•10^k+…+ в₁•10+ в₀

Двигаемся справа налево,вычитая.Разложим: а_m•10^m=(а_m-1)•10^m+9•10^m-1+…+9•10^k+1+10•10^k

х-у=(а_n-в_n)•10ⁿ+…+(а_m-1-в_m)•10^m+(9-в_m-1)•10^m-1+…+(9-в_k+1)•10^k+1+…+(а_k+10-в_k)•10^k+...+(а₁-в₁)•10+(а₀-в₀) По условию: а_k < в_k<10, т.е. а_k - в_k<0[ а_k - в_k+10<10 (по св-ву монот-ти +), т.е.

в_m-1 « 9,…, в_k+1 « 9[ 9 « 9- в_m-1 « 9,…,0 « 9- в_k+1 « 9.

Далее среди коэф-тов а_n-в_n, …, а_m-1-в_m выберем отриц-ый коэф-т, двигаясь справа налево и рассужд-я повторяем до тех пор пока не появится запись:

х-у=с_n10ⁿ+с_n-110^n-1+…+с₁10+с₀ 0« с_i = 9 , i=0,n

Если первые коэф-ты этой формулы равны 0, то их отбросим[десятич-ая форма записи числа х-у.

Если степени не равны (число цифр в записи числа у не совпадает с числом цифр записи числа х), то добавим к записи числа у с нулевым коэф-том, чтобы уровнять число цифр и рассужд-я повторить.

Словесное описание алгоритма вычитания:

1. Запис-ют вычит-ое под умен-ым так, чтобы соответ-щие разряды находились др.под др.

2. Если цифра в разряде ед-ц вычитаемого не превосходит соответ-щую цифру уменьш-го, вычитают её из цифры уменьш-го после чего переходят к след-щему разраду.

3. Если же цифра ед-ц вычит-го больше цифры ед-ц уменьш-го, т.е. в₀> а₀ , а цифры десятков уменьш-го отлично от нуля, то уменьшают цифру десятков уменьш-го на ед-цу, одновременно увеличив цифру ед-ц уменьш-го на 10. После чего вычитают из числа 10+ а₀ число в₀ и запис-ют разность в разряде искомого числа. Далее переходят к след-щему разряду.

4. Если цифры ед-ц вычит-го больше цифр ед-ц уменьш-го и цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьш-го равны 0, то берут первую отличную от нуля цифру в уменьш-мом (после разряда ед-ц), уменьшают её на 1, все цифры в младших разрядах до разрядов десятков включ-но увеличивают на 9, а цифру в разряде ед-ц – на 10, вычитают в₀ из 10+ а₀ записывают разность в разряде ед-ц искомого числа и переходят к след-щему разряду.

5. В след-щем разряде поворяют описанный процесс.

6. Процесс вычит-я заканч-ся, когда производ-ся вычит-е из старшего разряда уменьш-го.

В основе умнож-я многоз-х чисел лежат след-щие теор-ие основы:

1) десятич-ая запись числа; 2) табл. умнож. однозн. числе; 3) законы слож. и умнож.; 4) табл. слож-я однозн. числе.

Умнож-е многозн-х чисел свод-ся к умнож-ю многозн-го числа на однозн-ое, умнож-ю числа на 10^k и слож-ю многозн-х чисел.

Алгоритм умножения в общем виде: Пусть 0« а_i « 9 , , а_n≠0 , i=аn.

х= а_n•10ⁿ+а_n-1•10^n-1+…+а₁•10+ а₀ ; у-однозн-ое число

ху=( а_n •10ⁿ+а_n-1•10^n-1+…+а₁•10+а₀)•у=д/з=( а_n •10ⁿ)у+(а_n-1•10^n-1)у+…+(а₁•10)у+ а₀у=а/з, к/з= (а_n•у) 10ⁿ+( а_n-1•у) 10^n-1+…+( а₁•у)10+ а₀у====

Заменим а_kу их значениями,используя табл-цу умнож-я.Затем представим а_kу=в_k10+с_k

в_k,с_k – однозн-ые. Подставим:

==(в_n10+с_n)10ⁿ+(в_n-110+с_n-1)10^n-1+…+(в₁10+с₁)10+(в₀10+с₀)=ТС,ТУ=в_n10ⁿ⁺¹+(с_n+в_n-1)10ⁿ+…+ +(с₁+в₀)10+с₀ Находим знач-е сумм по ТС с_k+в_m-1 k,m=0,n

Если сумма окаж-ся больше либо равна 10, то представить её в виде t•10+t₀ .Далее пользуемся ЗСУ, преобразовать данное выраж-е до тех пор пока не получ-ся десятич-ая запись числа ху.

Составим алгоритм умнож-я числа на 10^k, т.е. справа к числу приписать k нулей:

Пусть 0« а_i « 9 , , а_n≠0 , i=аn. х= а_n•10ⁿ+а_n-1•10^n-1+…+а₁•10+ а₀

х•10^k=(а_n•10ⁿ+а_n-1•10^n-1+…+а₁•10+а₀)10^k=д/з=(а_n•10ⁿ)10^k+(а_n-1•10^n-1)10^k+…+(а₁•10)10^k+ а₀10^k=а/з, св-во степени= а_n•10^n+k+ а_n-1•10^n+k-1+…+ а₁•10^k+1+ а₀10^k= а_n•10^n+k+ а_n-1•10^n+k-1+…+ а₁•10^k+1+ а₀10^k+0•10^k-1+…+0•10+0= а_n• а_n-1•…• а₁ а₀0…0

Заметим, что умнож-е на число у•10^k , где у-однозн. число, сводится к умнож-ю на однозн-ое число у и на число 10^k (используя а/з умнож-я).

Составим алгоритм умнож-я многозн. на многозн. число:

у= в_n•10ⁿ+ в_n-1•10^n-1+…+ в₁•10+ в₀ , 0< в_j« 9, х - многозн.число

ху=х•(в_n•10ⁿ+в_n-1•10^n-1+…+в₁•10+в₀)=д/з=х(в_n•10ⁿ)+х(в_n-1•10^n-1)+…+х(в₁•10)+хв₀=а/зу= =(хв_n)•10ⁿ+(хв_n-1)10^n-1+…+(хв₁)10+хв₀=1) алгоритм умнож-я однозн.х₀ на однозн. в_k, k=0,n; 2) умнож-е числа на 10^k; 3) слож-е многозн. чисел.

Деление многозн. чисел основано на Т. о делении с остатком.

а,в Є N (Eq,rЄZ) а=вq+r , 0 « r <в

Теор-ие основы деления многозн. чисел:

1) Т. о делении с остатком; 2) слож-е, умнож-е, вычит-е многозн-х чисел.