7.Простые и составные числа.

Опре-ие: натур-ое число p назы-ся простым, если оно делится только на себя и на 1.

P м-во простых чисел pєΡ=>p:1, p

Опре-ие: натур-ое число назы-ся составным, если оно имеет более 2х делителей.

М м-во простых чисел. 1 явл-ся ни простым ни составным числом.

Сво-ва простых чисел.

1pєΡ и p:n, n>1 => p=n

Док-во: pεP=>(Œ kεN) p=nk

p:n n>1

=> k=1=> p=n

2 p _1, p ₂ ε P и p₁≠p₂ => p₁:p₂ ^ p ₂ : p ₁

Док-во: методом от противного p₁ : p₂ => p₁=p₂

p₂ >1

p₂ : p₁ => p₂=p₁

3 любое натур-ое число больше 1 делится хотя бы на 1 простое число.

n = 2єP, 2:2

Предположим, что это утвер-ие справед-во для всех натур-ых чисел больше 2, но меньше n. Дока-ем, что утвер-ие справед-во для самого числа n.

1) nєP док-но, если n простое и делится само на себя

2) nєM, n=n ₁ * n ₂

1<n ₁ <n

1<n ₂ < n

=>по сво-ву отноше-ия делимости, то произ-ие поделится хотя бы на одно простое число

4 pєP, mє N => ν НОД (p,m) = 1ν m :p

Док-во: НОД (p,m)=d

1) m=1 => d=1

2) mєP

· m =p=> m:p

· m≠p=> d=1

3) mєM

НОД (p,m)=d=> p:d (d>1)^m:d => p=d и m:d=> m:p

5a,bεN, ab:p, pεP => a:pνb:p

Док-во: ab:p => 1) a:p

2) a:p => НОД (a,p)=1 => b:p

6 наименьший простой делитель состав. числа n не превосходит √ из n , т.е.

nεM, n>1

n:p, p наим. =>p≤ √n

n:p => (Œ n ₁ε N) n=pn ₁ => n₁ делитель числа n, а поскольку наим-ий делитель=> p≤n₁

p² ≤n ₁p=n

p² ≤n => p≤√n

След-ие из 6 если натур-ое число n больше 1 не делится ни на одно простое число не превосходящее √n, то оно явл-ся простым, в противном случае составное.

Тео-ма Евклида. Мн-во простых чисел бесконечно (бесконеч-ть мн-ва)

Док-во от противного

Предп-м, что м-во P конечно. P={p_1,p_2,…p_k} p₁=2

Расс-м n=p₁*p₂ *…p_k + 1εN

n¢P => n cоставное εM => n:p_i , p_i ε P

n:p_1, n=p₁ p₂ p_k + 1 => 1:p₁ xего быть не может => p₁=1 получили противоречие/

Наше предпол-ие неверно => м-во простых чисел бесконечно.

Основ-а ятеорема ариф-ки.

Всяко натур-ое число > 1 или ≠ 1 можно представить в виде произ-ия простых множителей при чем единстве-ым образом с точностью до порядка следования сомножителей.

n ε N, n=p₁ * p₂ …p_k

Док-во: сущест-ие мето-ом индукции

n=2ε P, тогда теорема док-на

Предположим, что данное утвер-ие справед-во для всех натур-ых чисел > 2, но <n. Дока-м, что утвер-ие справед-во и для самого числа n.

1) nεP в этом случае теорема док-на

2) 2εM => n=n₁ * n₂

1<n₁ <n, 1<n₂ <n

n₁ <n, n₂ <n => n₁ =p₁*p₂ * ….p_l, p₂ =p_l+1*p_l+2*p_k

n= p₁*p₂ *… p_l * p_l+1*… *p_k

Вывод: утвер-ие справед-во для любого натур—ого числа >1

Единс-ть методом от противного

n= p₁*p₂ * ….p_k (1) p_i, q_i ε P, i=1,k

n= q₁*q₂ * ….q_k

p₁*p₂ * ….p_k = q₁*q₂ * ….q_k (*)

левая часть : на p₁ => и правая часть : на p₁

=> q₁ : p₁ , p₁ > 1 => q₁ = p₁

p₂*…*p_k = q₂ *…*q_k (**)

дальше рассуж-ия повторить q₂=p₂, q₃ =p₃, … q_k =p_k

В разложении (1) простые мн-ли могут повторяться, поэтому всякое нат-ое число n>1

n = p^L ₁ * p^L ₂ *…* p^L _k , L_i ε Z₀ , i=1,k

Это равен-во назыв-ся каноническим разложением натур-ого числа.

Решето Эратосфена.

Указать все простые числа от 1 до 40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Вычеркиваем 1 ни простое ни составное, первое невычеркнутое число 2, вычеркиваем после него каждое второе, 3 – второе невычеркнутое число, вычеркиваем после него каждое третье число, 5 – третье невычеркнутое число, вычеркиваем после него каждое пятое число и т.д.

Все невычеркнутые числа – простые.