Из сравнения последних выражений следует, что

, (5)

причем интеграл можно рассчитывать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, т.к. работа сил электростатичного поля не зависит от выбора пути переноса пробного заряда .

В частности, при обходе по замкнутому контуру формулу (%)можно представить в виде

=0, (6)

где кружок у интеграла обозначает, что интегрирование берется по замкнутому контуру.

Интеграл называетсяциркуляцией вектора напряженности по замкнутому контуру.

Уравнение (6)– одно из двух фундаментальных уравнений электростатики теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю. Поле, обладающее свойством называется потенциальным, т.е. любое электростатическое поле является консервативным или потенциальным.

Другим фундаментальным соотношением является теорема Гаусса (в интегральной форме), утверждающая, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную , т.е.

, (7)

где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.

Теорема Гаусса в ряде случаев позволяет весьма простым путем рассчитывать напряженность электрического поля, созданного, например, одной заряженной плоскостью, двумя параллельными плоскостями, цилиндром, сферой, шаром и т.д.

Из вышесказанного следует, что электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины (вектора ), либо с помощью скалярной величины (потенциала). Так как эти величины являются характеристиками электрического поля, то между ними должна существовать определенная связь.

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом можно выразить с помощью понятия градиента потенциала.

Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции .

Величина этого вектора равна изменению потенциала при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

, (8)

где – символический вектор, называемыйоператором Гамильтона или оператором набла.

Для электростатического поля имеем:

.

Тогда соотношение (8) имеет вид:

,

или , (9)

т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Знак минус в (9) показывает, что вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала, и силовые линии электрического поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.

В случае однородного электрического поля (поля плоского конденсатора), в любой точке которого вектор напряженности постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:

, (10)

где – разность потенциалов илинапряжение между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями)

– расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью, для которой

. (11)

Из вышеизложенного следует, что электрическое поле можно изображать графически как с помощью силовых линий, так и пользуясь эквипотенциальными поверхностями.

Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.

Следовательно, вектор всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью . Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряженностиэлектрического поля удобнее сначала определить потенциалφи затем вычислить напряженность. (В ряде задач с хорошей симметрией нахождение напряженностинепосредственно или с помощью теоремы Гаусса оказывается значительно проще.)

Одним из способов изучения электростатического поля является метод математического моделирования полей.

При физическом моделировании некоторый объект и модель имеют одинаковую физическую природу, характер самого процесса сохраняется, но геометрические параметры модели отличаются от реального объекта.

При математическом моделировании закономерности различных по природе физических процессов описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и граничными условиями. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений различной физической природы к математическим задачам, нашел широкое применение в связи с развитием вычислительной техники.

Эксперимент.

При выполнении данной работы используются:

стенд с электропроводной бумагой, обладающей большим сопротивлением; он имеет ряд гнёзд для подсоединения к нему источника тока и вольтметра;

источник постоянного напряжения U = 0 – 12 В;

вольтметр со шкалой, в середине которой находится «нуль», подсоединяемый к гнёздам стенда с помощью штекеров-щупов 3 и 4.

Схема установки.

При установке штекеров 1 и 2 в любые гнезда стенда, по проводящей бумаге начинает течь слабый ток. Можно показать, что в случае слабых токов движение зарядов совпадает по направлению с силовыми линиями электро­статического поля. Прибора, определяющего направление движения зарядов, нет, зато есть прибор – вольтметр, позволяющий определить разность потенциалов между различными точками электропроводной бумаги при помощи штекеров-щупов 3, 4. Таким образом, если один из штекеров-щупов 3, 4 установлен в любое свободное гнездо 1-12 электропроводной бумаги, то, перемещая другой штекер-щуп по проводящей бумаге и наблюдая за показаниями вольтметра, можно найти точку на поле электропроводной бумаги, в которой разность потенциалов между штекерами-щупами 3, 4 будет равна 0. Это означает, что эти две точки принадлежат к одной эквипотенциальной линии. Задача данной лабораторной работы заключается в том, чтобы найти совокупность точек, определяющих эквипотенциальные линии, начинающиеся от гнезд 5-12.

Порядок выполнения работы.

1. На тетрадном листе изобразить, в масштабе лист электропроводной бумаги с пронумерованными на нем гнездами; для удобства на него нанести координатную сетку. Внимание! На электропроводной бумаге ничего не рисовать.

2. Установить штекеры 1, 2 от источника питания в гнезда 1, 2.

3. Установить штекер-щуп 3 в гнездо 5.

4. Перемещать штекер-щуп 4 по поверхности электропроводной бумаги вблизи гнезда 5 (без продавливания бумаги!). Наблюдая за показаниями вольтметра, найти точку, в которой стрелка вольтметра устанавливается на «нуль». Это означает, что потенциал найденной точки будет равен потенциалу точки, в которой установлен штекер-щуп 3. Убедиться, что при перемещении штекера-щупа 4 вблизи найденной точки стрелка вольтметра отклоняется то вправо, то влево. Отметить найденную точку на чертеже.

5. Перемещаясь по координатной сетке в пределах близлежащих квадрантов найти следующую точку, где показания вольтметра будут равны «нулю».

6. Найти не менее 8 точек, принадлежащих к одной эквипотенциальной линии и соединить их плавной кривой.

7. Переместить щуп 3 из гнезда 5 в гнездо 6 и повторить пункты 4-6.

8. Повторить все вышеуказанные пункты для гнезд 7-12.

9. Переместить штекер от источника питания из гнезда 2 в гнездо 4, тем самым, изменяя конфигурацию исследуемого моля.

10. Повторить работу для вновь исследуемого поля.

11. Переместить штекер от источника питания из гнезда 4 в гнездо, ука­занное преподавателем, и повторить предыдущие задания.

15. На трех полученных чертежах в рабочей тетради наносят совокуп­ность силовых линий, учитывая, что силовые линии нормальны к эквипотенциальным (т. е. в точке пересечения эквипотенциальных и силовых линий их касательные взаимно перпендикулярны).

Контрольные вопросы.

1. Напряженность и потенциал электрического поля..

2. Связь между напряженностью и потенциалом.

3. Теорема Остроградского-Гаусса.

4. Силовые и эквипотенциальные линии и их ортогональность.