Краткая теория измерений и вычислений.

Основные понятия.

Измерить какую-либо физическую величину – это значит сравнить её с такой же величиной, принятой за единицу.

Процесс измерения и обработки результатов всегда связан с ошибками (погрешностями). Причины появления погрешностей следующие:

несовершенство методов измерений и методики работы в целом;

неточность измерительных приборов;

несовершенство наших органов чувств;

небрежность в работе при снятии показаний;

влияние внешних факторов.

Причём одни из перечисленных причин дают систематическую ошибку, другие же приводят к случайным ошибкам (погрешностям).

Ввиду сказанного необходимо уметь оценивать возможные ошибки при измерениях, уметь правильно обрабатывать результаты измерений и вычислений. Для этого мы будем использовать в работе следующие понятия:

 = x_ист – x_изм – погрешность измерения;

x  || = |x_ист – x_изм| – граница погрешности, или абсолютная погрешность;

x_ист = x_изм  x – так записывается результат, например

l = 100  1 (см), m = 52  1 (гр).

Такая запись означает, что цифры 1, 0, 0 и 5, 2 – это верные цифры. Если в процессе измерения у нас получилось, например, число 52,46  0,06, то последняя цифра 6 является сомнительной и подлежит удалению:

(52,46 + 0,04)  (0,06 + 0,04) = 52,5  0,1.

В физике приходится иметь дело, как правило, с числами, запись которых возможна лишь в стандартном виде, например:

(6,023  0,001) ^. 10²⁶ (молекул в киломоле вещества).

Качество измерения оценивает т. н. относительная погрешность:

 = /x_изм –

а точнее её граница

 = x/x_изм  || = ||/x_изм.

И чем больше разрядов с верными цифрами в числе, тем меньше процент относительной погрешности, например

 = 0,1/52,5 ^. 100% = 0,2% и  = 1/52 ^. 100% = 2%.

Определение погрешностей при прямых измерениях.

Измерения могут быть прямыми и косвенными. В ходе прямых измерений сразу же определяется и абсолютная погрешность. Так, если измерительный прибор имеет шкалу, то x полагается равной целому делению шкалы, чтобы учесть все причины погрешностей.

Электроизмерительные приборы имеют шкалу, однако им присваивается класс точности

 = x/x_пред ^. 100%,

поэтому x =  ^. x_пр/100%. Допустим вольтметр с пределом измерения 12 (В) и классом точности 2,5% показал в одном случае U₁ = 2 (В), а во втором случае U₂ = 11 (В). Абсолютная погрешность вольтметра составляет

U =  ^. U_пр/100% = 2,5% ^. 12/100% = 0,3 (В).

Результаты измерения выглядят так:

U₁ = 2  0,3 (В) и U₂ = 11  0.3 (В).

Качество полученных результатов явно разное:

₁ = U/U_изм = 0,3/2 ^. 100% = 15% и ₂ = U/U_изм = 0,3/11 ^. 100% = 3%.

Измеряя время секундомером, мы должны повторить измерение несколько раз, а затем усреднить результат и найти среднее же значение абсолютной погрешности:

t_ср = t₁+t₂+…+t_n / n = t_i / n

и

t_ср = t₁+t₂+…+t_n / n = t_i / n,

где t_i = t_ср – t_i.

Приведённые примеры не охватывают все возможные ситуации, они лишь подсказывают нам, как мы должны проводить прямые измерения. Причём наличие ошибки х определяет точность, с которой имеет смысл производить запись величины х_изм.

Определение погрешностей при косвенных измерениях.

Когда искомая величина отыскивается косвенным образом, погрешность и качество измерения находятся следующим образом. Из курса высшей математики известно, что приращение функции y = f(x) равно производной этой функции умноженной на приращение аргумента (бесконечно малым слагаемым пренебрегаем):

y = f ^/(x) x. (1)

Относительную погрешность находим обычным способом:

_у = у/у_изм = f ^/(x)/у_изм x. (2)

Пусть искомая величина зависит от нескольких переменных, т. е.

f(М) = f(x, y, z,…). (3)

Тогда полное приращение функции, соответствующее приращениям х, у, у, и т. д., переменных x, y, z,…, представляет собой функцию

f(М) = f(x+x, y+y, z+z,…) – f(x, y, z,…). (4)

В курсе высшей математики доказывается, что полное приращение функции многих переменных равно сумме произведений её частных производных и приращений соответствующих аргументов, а именно:

f = f_х^/ x + f_у^/ у + f_z^/ z +… (5)

Это выражение и определяет абсолютную погрешность искомой величины. Поделив (5) на (3), найдём относительную погрешность величины (3):

 = f/f(x, y, z,…) = (f_х^/ x + f_у^/ у + f_z^/ z +)/f(x, y, z,…). (6)

Допустим, что мы изучаем основной закон динамики вращательного движения:

 = FR/mr².

Ускорение вращающегося тела зависит от четырёх величин. Соответственно приращение ускорения можно представить в виде

 = (FR/mr²)^/_F F + (FR/mr²)^/_R R + (FR/mr²)^/_m m + (FR/mr²)^/_r.r =

= (R/mr²) F + (F/mr²) R + (– FR/m²r²) m + (– 2FR/mr³).r.

Поделив последнее соотношение на  = FR/mr² и учтя, что абсолютная погрешность равна модулю приращения, найдём относительную погрешность для :

_= / = F/F + R/R + m/m + 2r/r = _F + _R + _m + 2_r.

Приведённый пример показывает, что в ходе исследовательской работы необходимо провести прямые измерения всех величин, входящих в формулу искомой величины, оценив абсолютную и относительную погрешность каждой. Затем находится относительная и абсолютная погрешности искомой величины. Для упрощения данной работы можно пользоваться следующей таблицей:

№ п/п	Математическая операция (функция)	Погрешность
		Абсолютная Х = x . X/100% =	Относительная x = Х/Хизм . 100% =
1	Х = аxm/n	m/n . аxm/n - 1 . х	m/n . x
2	X = sin x	cos x . х	ctg x . х
3	X = cos x	sin x . х	tg x . х
4	X = tg x	х/cos2 x	2х/sin2x
5	X = ctg x	х/sin2 x	2х/sin2x
6	Х = х1 + х2 +	х1 + х2 +	х1 + х2 + / х1 + х2 +
7	Х = х1 – х2 	х1 + х2 +	х1 + х2 + / х1 – х2 
8	Х = х1 . х2	х2 . х1 + х1 . х2	х1/х1 + х2/х2
9	Х =х1 . х2 . х3	(x1 + x2 + x3) . х1 . х2 . х3	x1 + x2 + x3
10	Х = х1/х2	(х1/х1 + х2/х2) . х1/х2	x1 + x2
11

Существует ещё т. н. метод Стьюдена, когда абсолютную погрешность а определяют по формуле

а = t_s S_a,

где t_s – коэффициент Стьюдена, определяемый из таблицы:

N	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
ts	12,7	3,18	2,57	2,36	2,26	2,20	2,16	2,13	2,11	2,09	1,96

а S_a =  (а_ср – а_i)² /n(n – 1) – среднеквадратичная ошибка при n измерениях искомой величины.