Глава 2 ПАРАЛЛАКТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК СВЕТИЛА И ЕГО РЕШЕНИЕ

§4. ПАРАЛЛАКТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО РЕШЕНИЕ ПО ОСНОВНЫМ ФОРМУЛАМ

Формулы, связывающие координатные системы между собой, проще всего получить путем решения сферических треугольников на небесной сфере.

Параллактический треугольник. Построив сферу для наблюдателя в данной широте и проведя меридиан и вертикал светила С, получим сферический треугольник PzC, в который входят координаты основных систем и географические координаты места (рис. 11).

Параллактическим треугольником светила называется сферический треугольник PzC, имеющий вершины в повышенном полюсе, зените и месте светила и связывающий между собой основные системы сферических координат. Напомним, что в северной широте повышенный полюс — PN, в южной — PS. Элементами этого треугольника, т.е. его сторонами и углами,

являются: сторона zP — дуга меридиана наблюдателя, равная 90°–ϕ; сторона

PC — дуга меридиана светила, равная 90°—δ; сторона zC — дуга вертикала светила, равная 90°—h; угол при зените, равный азимуту светила в полукруговом счете; угол при повышенном полюсе, равный часовому углу в практическом (полукруговом) счете; угол при светиле q — параллактический угол, также в полукруговом счете. Как видим, в треугольник входят полярные координаты, поэтому его иногда называют полярным треугольником светила.

Формулы, связывающие три данных элемента и один искомый элемент сферического треугольника, называются основными (см. приложение 2). В них углы и стороны должны быть меньше 180°*. В параллактическом треугольнике это достигается использованием полукругового счета t, А и q, стороны же

* Треугольники со сторонами, меньшими 180°, называются эйлеровыми. Возможны сферические треугольники с элементами от 0 до 360° (Мебиуса). В них при тех же формулах правила счета и знаков другие (см. «Курс кораблевождения», т. II, 1963, с.30).

20

всегда меньше 180°. Следовательно, параллактический треугольник можно решать по основным формулам сферической тригонометрии.

Особое значение параллактического треугольника, отличающее его от других, заключается в том, что он связывает сферические координаты светила с географическими координатами места наблюдателя. Широта входит в сторону zP, а долгота — в угол t; это всегда местный часовой угол tM, а по формуле (3) tM=tГР—λW. Поэтому, решая параллактический треугольник, по известным координатам светил можно определить координаты места.

Решение параллактического треугольника но основным формулам.

Для решения или для построения треугольника РzС должны быть известны три его элемента. Тогда по основным формулам можно определить остальные его элементы в общем виде, а затем с помощью таблиц функций вычислить эти элементы с нужной точностью.

Треугольник может быть косоугольным при произвольном значении его элементов, прямоугольным, если один или несколько его углов прямые, или четвертным при стороне, равной 90°. Во всех случаях будут справедливы основные формулы, хотя есть и частные формулы и правила для каждого случая. Рекомендуется применять четыре основные формулы сферической тригонометрии, которые следует знать наизусть (см. приложение 2); нужно выучить также формулу пяти элементов, применяемую при выводах.

Общий порядок решения параллактического треугольника следующий:

— сделать чертеж треугольника, пометить данные и искомые величины;

21

—подобрать формулы для получения искомых величин, как правило, через данные и привести их к простейшему виду;

—исследовать формулы на знаки функций (по тригонометрическим четвертям) при данных значениях аргументов;

—составить простейшие схемы вычислений;

—произвести вычисления по таблицам логарифмов или натуральных значений тригонометрических функций;

—приписать искомым наименования;

—произвести контроль вычислений.

Переход от экваториальных координат к горизонтным. Положим, что в треугольнике zРС (см. рис. 11) заданы ϕ, δ, и t, требуется определить высоту и азимут. Отметим в параллактическом треугольнике заданные элементы крестиком (X), а искомые — знаком вопроса (?).

Для получения h применим формулу, связывающую три стороны и угол треугольника, т.е. формулу косинуса стороны (см. приложение 2) к стороне zC:

Для получения азимута через заданные величины ϕ, δ, и t, применим формулу для четырех рядом лежащих элементов, т.е, формулу котангенсов (см. приложение 2), к углу А:

ctgA sint=ctg (90°—δ)sin (90°—ϕ) — cost cos (90°—ϕ)

Исследование формул на знаки. Исследование производится определением знака тригонометрической функции при данной величине и знаке координаты с последующим перемножением знаков. Исследование выполняется, чтобы определить: будет ли в правой части двучленной формулы сумма членов (т.е. +I + II; —I — III) или их разность (например, —I + II); знак искомой функции, а по нему тригонометрическую четверть или знак искомой

22

координаты.

Правила исследования формул на знаки:

1.Широта всегда меньше 90° и считается положительной независимо от наименования (N или S), поэтому все ее функции имеют знак «+».

2.Склонение всегда меньше 90°, но может иметь знак «+», если она одноименно с ϕ, и знак «—», если разноименно с ϕ (знак «—» означает четвертую тригонометрическую четверть). Если δ одноименно с, все функции δ

имеют знак «+»; если же δ разноименно с ϕ, то cosδ и secδ имеют знак «+», остальные функции — знак «—».

3.Высота всегда меньше 90°, но может иметь знак «+» или «—». Если знак высоты «+», то все ее функции положительны, если же знак «—», то cos h

иsec h имеют знак «+»; остальные функции — «—».

4.Часовой угол вводится в треугольник всегда меньшим 180° (Оst или W). Если t<90°, т.е. в первой тригонометрической четверти, то все его функции имеют знак «+». Если же t>90°, т.е. во второй четверти, то sin t и cosec t имеют знак «+», остальные функции — «—».

5.Азимут в треугольнике всегда в полукруговом счете, т.е. А может быть в первой и второй четвертях. Поэтому независимо от его наименования, если А<90°, все его функции имеют знак «+»; если же А>90°, то sin A и cosec А имеют знак «+», остальные функции — «—».

6.Параллактический угол имеет величину от 0 до 180°, и знаки его функций определяются аналогично А и t.

Эти же правила применяются и при определении знака или величины искомой координаты.

Пример 3. Дано: ϕ=60°S; δ=15°S; h=–10; заход Солнца. Определить и исследовать формулу на знаки.

Решение. Применяя формулу косинуса к стороне Сz (см. рис. 11), получим формулу (4), из которой определим:

23

В соответствии с правилами функции ϕ имеют знак «+», функции δ — также «+», a sin (—h) — знак «—». Результат исследования запишем в условном виде справа: —I член, — II член.

Так как оба члена имеют знак «—», то они складываются (таблица α, МТ—75). а общий знак результата будет «—», т.е. cost отрицателен. Это возможно, если t но второй четверти, т.е. t>90°. Из таблиц всегда выбирается угол меньше 90°, поэтому пишем 1800—t=60° (из таблиц) или t=180°–60°=120°W.

Рассмотрим полное решение параллактического треугольника на примере

4.

Пример 4. Дано: ϕ=55°45,6'N; δ=10°13,4'S; t=62°24,5' W. Определить высоту и азимут светила.

Решение. Применяя к треугольнику zРС формулу косинуса стороны и формулу котангенсов, получим формулы (4) и (5) для h и А:

Исследуем эти формулы на знаки. Все функции ϕ будут, как всегда,

иметь знак «+». Так как δS разноименно с ϕN, то его знак будет «—» (что аналогично четвертой четверти), поэтому sinδ и tgδ имеют знак «—», a cosδ — знак «+». Величина t<90°, поэтому все функции его имеют знак «+», Результат перемножения знаков записывается справа; в первой формуле получим (—I +II), во второй (—I — II), т.е. в первой формуле будет разность (β), во второй

— сумма (α).

Составляем схему и производим вычисления по табл. 5-а, 3-а, 3-б МТ—

75.

24