Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Казунина Г. А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

101

Символ [....] ввели для обозначения дискретной переменной n (дискретного времени), принимающей только целочисленные значения.

Кроме того, при решении некоторых задач специально переходят от непрерывных функций к дискретным, взяв периодическую выборку из непрерывной функции: an f (nT ) . Здесь Т − некото-

рый выбранный период. Например, от непрерывной экспоненты

e at можно перейти к ее дискретному аналогу, вычислив значение функции в точках, кратных выбранному периоду Т:

1, e aT , e 2aT ,	.... , e naT , .... ,
f [nT ] e anT ;	n 0, 1, 2,....

По аналогии с функцией-оригиналом для непрерывных функций вводят решетчатую функцию или дискретную функциюоригинал: an f (nT ) , которая удовлетворяет следующим условиям:

1.f [n] 0 для всех n 0

2.| f [n] | Mean.

5.2. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Линейные разностные уравнения играют по отношению к решетчатым функциям такую же роль, как и линейные дифференциальные уравнения по отношению к непрерывным функциям. Численное интегрирование дифференциальных уравнений обычно включает в себя разностные уравнения как промежуточный этап. Действительно, при численном дифференцировании первую производную приближенно заменяют согласно соотношению

dx	x(t t) x(t)	x .
	t
dt		t

Принимая t n 1, t n, получаем аналог первой производной − первую прямую конечную разность:

x n x n 1 x n .

102

Аналогом второй производной является вторая конечная разность:

2 x n x n 1 x n x n 2 2x n 1 x n .

Аналогом производной порядка k служит k-я конечная разность:

k
k x n k 1x n 1 k 1x n ( 1)k Ckl x n k l .	(5.1)
l 0

Для функций дискретного аргумента уравнение в конечных разностях является аналогом дифференциального уравнения для непрерывных функций:

b k x n b k 1x n .... b			x n f n .	(5.2)
0	1	k
Здесь x[n]	− искомая функция,	f [n] − заданная функция. За-

меняя конечные разности согласно (5.1), переписываем уравнение

(5.2) в виде

a0x n k a1x n k 1 .... ak x n f [n].

(5.3)

Последнее уравнение позволяет восстановить искомую функцию x[n] по заданным начальным условиям:

x 0 x0; x 1 x1, ..... x k 1 xk 1.

Для решения разностных уравнений удобен метод Z-пре- образований, которые являются аналогом преобразований Лапласа для решетчатых функций.

5.3. Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Z -преобразованием для числовой (действительной или комплексной) бесконечной последовательности an x[n] называют

103
функцию комплексной переменной	ˆ	которая определяется как
функцию комплексной переменной	X (z),	которая определяется как

разложения в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки z :

ˆ			x n
X (z)				.	(5.4)
		n 0 z n
Если функция x[n]	является решетчатой функцией и удовле-

творяет условию x n Me n , то ряд Лорана (5.4) сходится в об-

ласти z e , то есть вне круга с центром в начале координат и ра-

диусом R e . Функция X (z) является в этой области аналитической функцией.

Рассмотрим примеры нахождения Z -преобразований для простейших решетчатых функций x[n].

Пример 5.1. Найти Z-преобразование функции x n A n , n 0.

Разложение функции в ряд Лорана имеет вид

X (z) A

n 0

n
zn	A
zn	n 0

n.z

Так как данный ряд является геометрической прогрессией со

знаменателем q		и первым членом прогрессии, равным A , то
	z
сумма ряда равна:
		ˆ			A	Az
		X (z)					.
		X (z)				z	.
			1 z
Область сходимости ряда:				z	.
Область сходимости ряда:				z	.

В дальнейшем будем обозначать соответствие между решетчатой функцией и ее Z-преобразованием следующим образом:

ˆ	n	Az
X n X (z); A			.
		z

104

Пример 5.2. Найти Z-преобразование для функции x[n] 1. Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:

ˆ		1		1		z
X (z)							.
X (z)						z 1	.
	n 0 zn				1	z 1
	n 0 zn		1	z
			1	z

Область сходимости ряда определяется соотношением:

или z 1.

Пример 5.3. Найти Z-преобразование функции

x n n 1, n 0 .0, n 0

Разложение в ряд Лорана функции имеет вид

1z 1

	ˆ		n
	X (z)		zn	1.
		n 0	zn			n l
	1, n l						1
				ˆ			1
Для	x n n l	получим X (z)						, так
	0, n l				n 0	zn	zl

как в этом случае остается только одно слагаемое, соответствующее n l.

Пример 5.4. Найти Z-преобразование функции x[n] e n . Разложение в ряд Лорана функции имеет вид

ˆ		e n
X (z)
X (z)		zn
	n 0	zn

n 0

		n
	e
		z

	1		z	;

1		e	z e
1		z
		z

e n	z	.

	z e
	z e

Пример 5.5. Найти Z-преобразование функции x[n] sin n. Разложение в ряд Лорана функции имеет вид

105

X (z)		sin n		ei n e i n

				(2i)zn
	n 0 zn		n 0

1

2i n 0

ei nz

	e i		n



n 0		z


1	1		1		1	z	z
1	1		1		1	z	z


2i 1		ei	1	e i	2i z ei		z e i
2i 1			1
		z		z
		z		z

z e i z ei

z2 ze i zei 1

cos i sin cos i sin

z sin

;

z2 z cos iz sin z cos iz sin 1

z2 2z cos 1

z sin

sin n z2 2z cos 1.

Пример 5.6. Найти Z-преобразование функции x[n] n . Разложение в ряд Лорана функции имеет вид

n 1

X (z)

n 0 zn

n 0

(z 1)2

n 0 zn

z 1

Здесь использовали полученное ранее соотношение:

	1		1		z
	1		1		z
						;	z	1.
					z 1	;	z	1.
n 0 zn				1
				1
		1	z
		1	z

Изображения основных решетчатых функций приведены в табл. 5.1.

106

Приведем основные свойства Z-преобразований, следующие непосредственно из определения:

1. Линейность

	ˆ
Пусть x n X (z), y n Y (z). Тогда справедливо соотноше-
ние
				ˆ
	x n y n X (z) Y (z).
2. Подобие:	a	n	ˆ	z
2. Подобие:	a		x n X .
			a
								ˆ
3. Дифференцирование изображения:							nx n z	dX (z)	.
3. Дифференцирование изображения:							nx n z		.
								dz
4. Запаздывание оригинала (задержка):
	x n N (n N) Z				N		ˆ
	x n N (n N) Z					X (z).

1, n 0,

Здесь (n N ) является функцией единичного

0, n 0

cкачка.

5. Опережающий сдвиг оригинала (упреждение):

x n 1 z X (z) x 0 ;

x n 2 z zX (z) zx 0 x 1 ;

x n 3 z z2 X (z) z2 x 0 zx 1 x 2 .

Действительно, с учетом того, что

x n

x 1

x 2

....,

X (z)

n 0

(z)

x n

x 2

x 3

....,

x 1

n 0

получаем доказательство первого соотношения:

107

x 1

x 2

x 3

z x 0

..... x 0

x 1

......

Таблица 5.1

Z-изображения основных решетчатых функций

n 0

x n ,

X (z)

1, n 0,

0, n 0

n l

1, n l,

0, n

z / (z a)

z / (z 1)

z /( z 1)2

nan

az /(z a)2

e an

z /( z e a )

ean

z /( z ea )

e anT

z /( z e aT )

sin n

z sin

z2 2z cos 1

cos n

z(z cos )

z2 2z cos 1

sh n

zsh

z2 2zch 1

ch n

z(z ch )

z2 2zch 1

e an sin n

ze a sin

z2 2ze a cos e 2a

e an cos n

z2 ze a cos

z2 2ze a cos e 2a

108

Продолжение табл. 5.1


ne an			ze a
ne an			(z e a )2
			(z e a )2
an cos n		1 a cos z 1
an cos n	1	2a cos z 1 a2 z 2
	1	2a cos z 1 a2 z 2
an sin n		a sin z 1
an sin n	1	2a cos z 1 a2 z 2
	1	2a cos z 1 a2 z 2
n	ˆ	ˆ

6. Свертка: x m y n m X (z)Y (z).

m 0

5.4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ X [n] ПО Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЮ

Поскольку, согласно определению, функция ˆ является

X (z)

суммой ряда Лорана в окрестности точки z , то для восстановления решетчатой функции (последовательности) x n нужно лю-

бым способом разложить ˆ в ряд Лорана и определить коэффи-

X (z)

циенты этого разложения. Например, можно использовать общую формулу для коэффициентов ряда Лорана в окрестностях z :

x n	1	ˆ	n 1		1	N	ˆ	n 1	,
	1	ˆ	n 1		1		ˆ	n 1
		X (z) z	dz		2 i	res X (zk )zk
	2 i c				2 i	k 1
	N	ˆ	n 1	.
		ˆ	n 1
x n res X (zk )zk
	k 1

Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в конечной части плоскости.

Пример 5.7. Восстановить решетчатую функцию

	109
ˆ	1
X (z)	(z 2)(z 3)	.

Восстановим X [n] двумя способами.

Способ 1. ˆ представляем суммой элементарных дробей и

X (z)

записываем разложение в ряд Лорана:

X (z)

(z 2)(z 3)

z 2

z 3

3n 2n

3n 1 2n 1

zn 1

z n 0 zn

n 0

n 1

x n

Сопоставляя с определением X (z)

: X (z)

, получаем иско-

n 0 zn

мую последовательность:

x n 3n 1 2n 1,

n 1.

Способ 2. Функцию x[n] восстанавливаем по формуле для ко-

эффициентов ряда Лорана:

n 1

x n res X (zk )zk

k 1

имеет простые полю-

С учетом того, что данная функция X (z)

сы в точках z 2,

z 3, получаем

n 1

x n res

res

3)(z

(z 3)(z 2)

z 2

z 3

	zn1			zn1	2n1 3n1.
	z 3	z2		z 2	z3
		z2			z3
Примечание. Если x[n]			–	решетчатая функция, то, заменяя

z eq , получаем дискретное преобразование Лапласа для x[n]:

110


F (q)	x n e nq.
	n 0

Функция F (q) аналитична в области Re q . Формула обращения для дискретных преобразований Лапласа имеет вид

x n	1	i
		F (q)enqdq .


	2 i i

Все изображения функций и основные свойства изображений совпадают с аналогичными характеристиками Z-преобразований и

могут быть получены из них заменой z eq . Но поскольку все формулы при этом будут более громоздкими, в дальнейшем для решения задач будем использовать только Z-преобразования.

5.5. ПРИМЕНЕНИЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

При решении линейных разностных уравнений (5.3):

a0 x n k a1x n k 1 ... ak x n f n ; x 0 x0; x 1 x1; x k 1 xk 1.

Функции x[n], f [n] считаем решетчатыми функциями (дискретными оригиналами) и, переходя к Z-преобразованиям, получа-

ем алгебраическое уравнение относительно функции X (z) . Решив

алгебраическое уравнение, по изображению X (z) восстанавливаем оригинал x[n]и тем самым получаем искомую последовательность.

Пример 5.8. Найти решение разностного уравнения:

x n 2 x n 1 x n 0,

x 0 1, x 1 1.

Для решения уравнения перейдем к Z-преобразованиям:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015540.67 Кб85к.р. №1.doc
#
01.05.202549.09 Кб5к.р..docx
#
09.11.2018317.44 Кб18К2.doc
#
09.11.2018288.77 Кб10К3.doc
#
25.11.2019538.62 Кб14кабели электро.doc
#
16.03.20162.06 Mб68Казунина Г. А..pdf
#
03.05.2019143.36 Кб12КВ-АП_Эксплуатационные_свойства.doc
#
10.05.2015288.35 Кб22КДиП.pdf
#
22.11.201947.34 Кб6кейс 1.doc
#
22.11.201951.76 Кб3кейс 2.docx
#
22.11.201947.68 Кб12кейс 4.docx