Казунина Г. А

31

32

3. Дифференцирование

Если S( ) является преобразованием Фурье для функции f (t) , то для производной f (t) преобразованием Фурье будет функция

4. Преобразование свертки

Преобразованием Фурье свертки двух функций f (t) и g(t) является произведение их преобразований Фурье:

f ( )g(t )d S f ( )Sg ( ).

5. Преобразование произведения

Преобразование Фурье произведения двух функций f (t)g(t)

является сверткой их преобразований Фурье:

g(t) f (t) Sg ( )S f ( )d .

6. Теорема Парсеваля

Интеграл f (t) 2 dt называют полной энергией временного сигнала

f (t) , а S( ) 2 – энергетическим спектром. Тогда согласно теореме

Парсеваля полная энергия равна сумме энергий всех его частотных составляющих.

Класс абсолютно интегрируемых функций, для которых можно непосредственно найти преобразование Фурье, достаточно узок. Так, не являются абсолютно интегрируемыми функции

34

f ( ) ( )d f (0).

Приведем также интеграл свертки с производной -функции:

f ( ) (t )d f (t).

Действительно, выполнив свертку (t) и f (t) , получим

Дельта-функцию можно истолковать как предельный физический процесс (импульсное воздействие), в котором рассматривается бесконечно большая величина (например, сила), действующая в бесконечно малый промежуток времени с суммарным эффектом, равным единице. Формально это утверждение можно записать в виде условий:

Дельта-функция может быть смоделирована при помощи предельного перехода любой функции, ведущей себя неограниченно в окрестности нуля. Приведем примеры:

37

Согласно свойству симметрии преобразований Фурье получаем преобразование Фурье для постоянной f (t) 1 (рис. 2.15):

связаны соотношением

t const .

Для смещенных импульсных функций (t ) , (t ) преобразования Фурье имеют вид

Используя далее свойства линейности и симметрии преобразований, можно записать следующие соотношения:

38

В заключение найдем спектральную плотность ступенчатой функции Хевисайда. Для этого рассмотрим вспомогательную функ-

цию e t (t) , которая при условии стремится к (t) .

39

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

3.1. ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО ЛАПЛАСУ. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Преобразованием Лапласа для функции f (t) называется функция

F ( p) f (t)e ptdt L f (t) ,

0

где p i − комплексная переменная. Функция f (t) является комплексной функцией действительного аргумента и называется функцией-оригиналом. Эта функция обладает следующими свойствами:

1)f (t) 0 для всех t 0 ;

2)f (t) интегрируема на любом конечном интервале;

3)f (t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют такие M 0 и 0 0 , что для всех t спра-

ведливо| f (t) | M exp( 0t).

Число 0 называют показателем роста функции f (t) . При этих условиях несобственный интеграл сходится абсолютно:

f (t)e ptdt .

0

Данные условия выполняются для большинства функций, описывающих физические процессы. При этом момент начала наблюдения над процессом всегда можно принять равным нулю, а всю информацию до момента начала наблюдения включить в начальные условия задачи.

Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция Хевисайда

1, t 0,

(t)

0, t 0.

40

При умножении на единичную функцию любая функция (t) , удовлетворяющая только второму и третьему условиям, может быть преобразована в функцию, удовлетворяющую также и первому условию:

Для обозначения соответствия функции-оригинала ее изображению по Лапласу введем знак :

f (t) F( p).

Cправедлива теорема: для всякого оригинала f (t) изображение по Лапласу F ( p) определено в полуплоскости Re p 0 и

является в этой полуплоскости аналитической функцией, то есть F( p) 0 при условии p равномерно относительно аргумента arg p и имеет конечную производную.

Действительно, с учетом того, что

Рассмотрим примеры нахождения преобразований Лапласа для простейших функций: