Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Казунина Г. А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Y ( p)( p2 3 p 2) 2 p 6

;

p 1

Y ( p)( p2 3 p 2) 2 p 6

2 p( p 2)

;

p 1

Y ( p)

2 p( p 2)

2 p

( p

1)( p 1)( p 2)

p2 1

Возвращаясь к оригиналам, находим решение исходного урав-

нения:

y(t) 2cht et

e t .

Пример 4.2. Найти частное решение дифференциального

уравнения

;

y(0)

5y 6y

1; y (0) 0.

Переходя к изображениям

y(t) Y ( p); e2t

;

y (t) pY ( p) y(0) pY ( p) 1;

		2				2
y (t)	p Y ( p) py(0) y (0) p Y ( p) p,
получаем алгебраическое уравнение
p2Y ( p) p 5 pY ( p) 5 6Y ( p)							4	,

							p 2
							p 2
Y ( p)( p2 5 p 6)		4		p 5	4 p2	2 p 5 p 10			p2 3 p 6	.
Y ( p)( p2 5 p 6)		p	2	p 5		p 2			p 2	.
		p	2			p 2			p 2

Операторное решение Y ( p) получаем в виде

	72
Y ( p)	p2	3 p 6	.
Y ( p)			.

( p 2)( p 2)( p 3)

Переходя к оригиналу, например, по второй теореме разложения, найдем y(t) :

Y ( p) y(t) res Y ( p)e pt

res Y ( p)e pt

p 2

p 3

3 p 6)e

3 p

6)e

3 p 6)e

( p

( p 2)( p 3)

( p 2)( p 2)

p 2

Пример 4.3. Найти частное решение уравнения

p 3

5y 3;

(0) 1; y (0)

Переходя к изображениям

; y(t) Y ( p);

y (t) pY ( p) 1;

y (t) p Y ( p)

получаем операторное уравнение

p2Y ( p) p 2 pY ( p) 2 5Y ( p)

и его решение

Y ( p)

p 2

p2 2 p 3

p( p2

2 p

5) p2

2 p 5 p( p2

2 p 5)

Переходя к оригиналам, получаем искомое решение:

y(t) res Y ( p)e pt

2 Re res Y ( p)e pt

p 0

p 1 2i

2 Re

( p2 2 p 3)e pt

p 1 2i

cos 2t

sin 2t.

p( p 1 2i)

При решении операторным способом правая часть уравнения может быть задана функцией, имеющей точки разрыва 1-го рода.

Пример 4.4. Найти частное решение уравнения, для которого правая часть x(t) приведена на (рис. 4.1):

y y kx(t), k > 0;

x(t) (t a) (t b); y(0) 0; y (0) 2.

x(t)

Рис. 4.1

Переходя к изображениям

y(t) Y ( p);

y (t) pY ( p) y(0) pY ( p);

y (t) p2Y ( p) y(0) p y (0) p2Y ( p) 2;

e ap e bp

x(t) p p ,

получаем алгебраическое уравнение

Y ( p)( p2 p) 1p (e ap e bp ) 2.

Тогда решение запишется в виде

Y ( p)

e ap e bp

p( p 1)

2 ( p 1)

Переходя к оригиналам и используя свойство запаздывания

оригинала, получаем решение:

2 2e t ;

res

p( p 1)

p( p

p 0

p 1

res

( p 1)

p 0

( p 1)

p 1

t t 1.

p 1

p 0

p 1

Результат записывается следующим образом:

y(t) 2 2e t (e (t a) (t a) 1) (t a) (e (t b) (t b) 1) (t b),

2 2e t ; 0 t a;

y(t) 2 2e t e (t a) t a 1 1 a 2e t e (t a) t; a t b;

y(t)

1 a 2e t e (t a) t e (t b) t b 12 a b 2e t e (t a) e (t b) ; t b.

4.2. ЗАПИСЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Линейное дифференциальное уравнение в общем виде

an y(n) an 1 y(n 1) ... a1 y a0 y bm x(m) bm 1 x(m 1) b1 x b0 x

моделирует систему вход – выход. Здесь x(t) − некоторое входное (внешнее) воздействие на систему, а y(t) − выходной сигнал (отклик системы на входное воздействие) (рис. 4.2).

При переходе к изображениям при	x(t)		y(t)
нулевых начальных условиях получаем		H (p)
алгебраическое уравнение		H (p)
алгебраическое уравнение
Y ( p)Kn ( p) X ( p)Dm ( p).
		Рис. 4.2

Передаточной функцией Н ( p) при нулевых начальных усло-

виях называют отношение изображения сигнала на выходе Y ( p) к изображению сигнала на входе X ( p) :

H ( p) = Y ( p) Dm ( p) .

X ( p) Kn ( p)

Тогда изображение сигнала на выходе системы легко получается умножением изображения сигнала на входе на передаточную функцию:

Y ( p) H ( p)X ( p) .

Переходя затем к оригиналу, получаем отклик системы на входное воздействие

y(t) Y ( p).

Пример 4.5. Найти ток для простейшей RL-цепи (рис. 4.3).

			76
Записывая уравнения Кирхгофа
простейшей RL-цепи с входным
простейшей RL-цепи с входным
напряжением U (t) , получаем
							R
							R
дифференциальное уравнение				U(t)
L	dJ	RJ U (t).					L
							L

	dt						Рис. 4.3



Переходя		к	изображениям	с учетом	начального условия
J (0) 0 , запишем			алгебраическое	уравнение		для искомого тока

J ( p) :

LpJ ( p) RJ ( p) U ( p) ,

решая которое, получаем:

J ( p)( pL R) U ( p);

J ( p)

H ( p);

U ( p)

L p

J ( p) H ( p) U ( p)

U ( p)

L p

Таким образом, определив передаточную функцию H ( p), можно найти реакцию системы (ток) при любом внешнем воздействии (входном напряжении).

Пусть U (t) имеет вид прямоугольного импульса:

0, t 0,

U (t) E, 0 t 2,0, t 2.

Такую функцию легко записать одной формулой, применяя функцию Хевисайда (t) :

U (t) E (t) (t 2) .

Используя свойство линейности и свойство запаздывания ори-

гинала, получаем изображение для U ( p):	U ( p)	E	(1 e 2 p ).
		p

J (t)

E		2 R
		2 R

	1 e L
	1 e L
R

0	2			t
	Рис. 4.4
В результате ток на выходе системы		J ( p)	E(1 e 2 p )			.
В результате ток на выходе системы		J ( p)		R		.
				R
			L p		p
			L p		p
				L

Возвращаясь к оригиналу, получаем зависимость тока от времени (рис. 4.4):

(t 2)

J (t)

(t)

(t 2).

При переходе к оригиналу воспользовались второй теоремой

разложения:

res

p p

p 0

e pt

1 e

L .

p 0

Пусть входное напряжение U (t) eat (t),					a 0. Тогда ток J ( p)
будет задаваться выражением
J ( p)		1		.

		R
		R
	L p		( p a)
	L p		( p a)
		L

Возвращаясь к оригиналу, получаем



	1			e	pt
	1			e
j(t)		res
j(t)		res		R
	L			R
			p		( p a)
			p		( p a)
				L



		e	pt
		e
	res
	res	R
		R
	p		( p a)		R
	p		( p a)

p a		L		p
					L

	1
	1
		eat
		eat
	aL R

	R
		t
	L	t
e	L	(t).

4.3. ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ СВЕРТКИ. ФУНКЦИЯ ГРИНА

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Y ( p) H ( p)X ( p).

Пусть входное воздействие является импульсной функцией(t). Поскольку (t) 1, изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией:

Y ( p) H ( p) .

Функцией Грина (или функцией веса в теории управления) линейного дифференциального уравнения называют отклик системы на импульсное входное воздействие или оригинал передаточной функции:

w(t) H ( p).

Поскольку изображение выходного сигнала Y ( p) является произведением изображений, то и оригинал y(t) можно представить как свертку оригиналов x(t) и w(t):

y(t) w( )

x(t )d w(t )x( )d .

Таким образом, при известной функции Грина можно найти

отклик системы на любое внешнее воздействие.

Пример 4.6. Решить пример 4.5 с использованием свертки.

Для RL-цепи оригинал передаточной функции

H ( p)

или от-

клик системы на импульсное воздействие имеет вид

w(t)

(t).

L p

Тогда

отклик

системы

на

прямоугольный

импульс

U (t) E( (t) (t 2))

получаем с использованием свертки:

(t )

E t

J (t) U ( )w(t

)dt

( )e

d (t )e

L 0

t t

(t) e

t t

e L

(t) e

e L

(t) e

e L

(t 2)

e L

E 1

	R
		t
	L	t
e	L	(t)

1 e

t , 0 t 2;

(t 2)

e L 1 e L

, t 2.

Как видно из данного выражения, результат совпадает с результатом, полученным ранее.

Пример 4.7. Найти частное решение дифференциального уравнения

y y x(t) , y(0) y (0) 0.

Взяв в качестве правой части импульсную функцию x(t) (t) и переходя к изображениям, получим передаточную функцию

H ( p):

p2Y ( p) pY ( p) x( p) 1;

H ( p)	Y ( p)	1	.

	X ( p)	p( p 1)

Возвращаясь к оригиналам, получаем функцию Грина:

w(t) (1 e t ) (t).

Теперь, задавая любым образом правую часть x(t) , можно найти решение дифференциального уравнения.

Пусть x(t) e2t (t) . Тогда

			t									t
y(t)			x(t		)w( )d e2(t ) (1 e )d
			0									0
	2t	t		2			3						2t			1			2	t	1		3	t
	2t	t		2			3						2t			1			2	t	1		3	t
e		(e				e			)d e					(				e				e		)
e		(e				e			)d e					(		2		e			3	e		)
		0																		0				0
																				0				0

						(		1		1	e	t			1	e	2t		) (t).

								2		3					6
								2		3					6

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.20191.76 Mб2К р № 2 для ГФ.doc
#
10.05.2015540.67 Кб63к.р. №1.doc
#
09.11.2018317.44 Кб2К2.doc
#
09.11.2018288.77 Кб2К3.doc
#
25.11.2019538.62 Кб7кабели электро.doc
#
16.03.20162.06 Mб62Казунина Г. А..pdf
#
03.05.2019143.36 Кб9КВ-АП_Эксплуатационные_свойства.doc
#
10.05.2015288.35 Кб22КДиП.pdf
#
22.11.201947.34 Кб5кейс 1.doc
#
22.11.201951.76 Кб1кейс 2.docx
#
22.11.201947.68 Кб5кейс 4.docx