Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Казунина Г. А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

	111
ˆ
x n X (z);
ˆ	ˆ
x n 1 z X (z) x 0 zX (z) z;
	ˆ	2 ˆ	2	z.
x n 2 z zX (z) zx 0 x 1 z		X (z) z		z.

Исходное уравнение преобразуется при этом в алгебраическое уравнение:

2 ˆ

X (z) z

z zX (z) z

X (z) 0;

z 1)

;

X (z)

X (z) z2 z 1.

Для восстановления оригинала x[n]

используем общую фор-

мулу коэффициентов ряда Лорана:

n 1

x n res X (zk )zk

k 1

Поскольку найденная функция ˆ имеет простые полюсы в точ-

X (z)

ках z1,2		1		3		i,		получаем
ках z1,2	2					i,		получаем
	2			2
								z	2			z		n 1																	z		2		z	n 1
x n res								z				z																			z				z
																										res
								2																		res					2
																																		z
																				1			3																		1			3
					z						z 1							z		1			3	i				z									1		z		1			3		i
											z 1							z						i													1		z							i
																				2		2																		2		2
														n 1																						n 1
													z	n 1																						n 1
													z																		z
	2 Re res																										2 Re
	2 Re res																										2 Re
										2			z																		2z 1
										2											1				3						2z 1									1			3
							z									1			z		1				3	i												z		1			3		i
																1			z							i												z							i
																					2		2																	2		3
																			n 1
															1	3			n 1											2
															1	3														2		(n 1)i
																																(n 1)i
														2		2			i											3
			2 Re											2		2										2		Re	e	3
																										2			e

													1				3i 1									3									i
													1				3i 1									3									i

112

				2			2
			cos		(n 1)	i sin		(n 1)
			cos		(n 1)	i sin		(n 1)
2		Re		3			3
						i
	3					i

2 sin 2n 2 .

3 3

Пример 5.9. Найти решение разностного уравнения:

x n 3 3x n 2 3x n 1 x n 2n ;

x 0 x 1 0;

x 2 1.

Перейдем к Z-преобразованиям:

x n

X (z);

x n 1 z X (z) x 0 zX (z);

2 ˆ

x n 2 z zX (z) zx 0 x 1 z

X (z);

x n 3 z z

2 ˆ

x 0 zx 1 x 2 z

X (z) z

X (z) z;

3 ˆ

2 ˆ

X (z) z

X (z)

3zX (z)

X (z)

z 2

;

3z 1)

z2 z

X (z)(z

;

z 2

z2 z

X (z)

(z 2)(z 1)3

(z 2)(z 1)2

И, наконец, восстанавливаем оригинал x[n]:

z z

n 1

z z

n 1

x n res

res

(z 2)(z 1)

z 2

(z 2)(z 1)

z 1

113




z	n				z	n
z					z		2n (n 1).
		2					2n (n 1).
(z 1)		2
(z 1)			z 2	z 2			z 1
			z 2

Пример 5.10. Найти решение системы разностных уравнений:

		n
x n 1 x n y n		3 ,
	n
	n
y n 1 2x n 3 .

x 0 3; y 0 0.

Переходя к Z-преобразованиям, получаем систему алгебраических уравнений:

x n X (z);

y n Y (z);

z 3

;

x n 1 z X (z)

x 0 zX (z) 3z;

y n 1 z Y (z)

y 0 zY (z);

zX (z) 3z X (z) Υ (z)

z 3

zX (z) 2 X (z)

z 3

z 3z2 9z

3z2

(z 1) X (z) Y (z)

z 3

2 X (z)

zY (z)

Решим полученную систему матричным методом, введя мат-

рицу системы:

z 1

z 2

(z 2)(z 1),

;

det A

114

3z2 8z

X (z)

а также матрицы X (z)

Y (z)

Записывая исходную систему в матричном виде

AX (z)

находим решение:

z 3

(z 2)(z 1)

z 1

z 3

3z3

z 3

;

2)(z 1)

z 3

(3z3 8z2 )

X (z)

(z 2)(z 3)(z 1)

(z 2)(z 1)(z

Y (z)

(z 3)(z 2)(z 1)

(z 2)(z 3)(z 1)

Окончательное решение получаем, восстанавливая оригиналы

x[n], y[n]:

x n res X (zk )zkn 1 res X (z)zn 1

res X (z)zn 1

k 1

z 3

(3z

8)z

n 1

(3z 8)z

res X (z)zn 1

z 1

(z 3)(z 1)

2)(z 1)

z 3

n 1

(3z 8)z

(z 2)(z

(z 1)(z 3)

2)(z 1)

z 1

z 3

												115

			z	n							2		n 1	1		n 1	11		n 1	1		n
			z								2		n 1	1		n 1	11	( 1)	n 1	1		n
												2				3					2
												2				3					2
(z 2)(z 3)											3			4			12			3
								z 1
	1 n		1					z 1
	1 n		1			n			n		n			n
		3			( 1)		2			3		( 1)			.
4		3	12		( 1)		2			3		( 1)			.
4			12

y[n] находим путем аналогичных преобразований:

y n 2( 1)n 3n 2n.

116

Приложение 1

ВЫЧЕТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

ВОСОБОЙ ТОЧКЕ. ПРИМЕНЕНИЕ

КВЫЧИСЛЕНИЮ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Точка z z0 , лежащая в конечной части комплексной плоскости, является изолированной особой точкой типа полюс для функ-

ции	f [z], если функцию в окрестности z z0						можно представить в
виде	f (z)	(z)		,	(z0 ) 0,	m −	порядок полюса,

		z z0	m

lim f (z) . .

z z0

Вычетом функции

f [z] в точке z z0

называют коэффициент

C 1 разложения

f [z] в ряд Лорана:

f (z)

C m

C m 1

...

C 1

C (z z ) ....

z z

z z m 1

z z0

Вычет в особой точке типа полюс можно вычислить по формуле

C 1

Кроме того,

			1				(m 1)
resf (z	0	)		lim	(z z	0	)m f (z)	.
resf (z		)		lim	(z z		)m f (z)	.
			(m 1)! z z0
			(m 1)! z z0

для случая m = 1 можно использовать формулу

	(z)		(z	0		)
resf (z0 ) res							,
		z z				)
	(z)		(z		0
		0

(z0 ) 0, (z0 ) 0.

Если при решении задачи необходимо найти сумму вычетов в комплексно-сопряженных точках, то удобно использовать следующую формулу:

res f ( i ) res

f ( i ) 2Re res

f ( i ).

Для вычисления несобственных интегралов можно использовать формулы

117

		N
1)	f (t)e i t dt 2 i res f (tk )e
		k 1
	при t .
		N
2)	f (t)ei t dt 2 i res f (tk )ei t
		k 1
	i	N
3)		F (z)ezt dz 2 i res f (tk )e
	i	k 1

i tk ; Imt	k	0,	f (t)	0

k ; Imtk 0 .

i tk ; Re zk .

118

Приложение 2

ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задания к главе 1.

Разложить указанную периодическую функцию в ряд Фурье. Схематично построить спектр. Найти среднее значение функции на периоде.

f (t)

				t
−L	0	L

2.			f (t) t

f (t)

−2	0	2

4.	f (t) sin t
4.

	0		t

	119
5.	f (t)	sin t

Ответы:

f (t)

(2n 1) t

cos

n 0 (2n 1)2

f (t)

2( 1)k 1

sin kt

k 1

f (t) 1

2( 1)k

k t

sin

k 1

f (t)

sin t

cos 2nt

n 1 4n2 1

f (t)

cos 2nt

n 11 4n2

Задания к главе 2.

1. Для заданной функции найдите спектральную плотность


S( ) ,	амплитудный			спектр	S( )	,	фазовый	спектр

( ) arctg		V ( )	. Постройте графики амплитудного и					фазового

		U ( )

спектров

	120
1)	2)	f (t)
1)	2)
	f (t)

E	E

				t	0	L
–L	–l	0 l	L	t	0	L
–L	–l	0 l	L

3) f (t) exp( t ),

6)f (t)

sin t

0

8) f (t) (t) ,
Ответы:

	1				f (t)	t
4)	f (t)		,	5)
4)	f (t)	t 4 1	,	5)		(1 t 2 )2
						t	2
			7)	f (t) exp(				)
			7)	f (t) exp(				)

9) cos( 0t) , 10) f (t) exp t cos t

1. S( )

3. S( )

5. S( )

7. S( )

E(cos L cos l)

(l L) 2

1

2 2
e
4
		2	2
	exp
2	exp	4
2		4

2. S( )			E		sin L i(cos L 1)
2. S( )		2			sin L i(cos L 1)
		2
4. S( )		1
				exp				sin


		2					2		2	4
6. S( )		1				1 cos i sin

	2 (1 2 )

	2	2 2 2
10. S( )	2	( )2 2 ( )2
10. S( )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.20191.76 Mб2К р № 2 для ГФ.doc
#
10.05.2015540.67 Кб63к.р. №1.doc
#
09.11.2018317.44 Кб2К2.doc
#
09.11.2018288.77 Кб2К3.doc
#
25.11.2019538.62 Кб7кабели электро.doc
#
16.03.20162.06 Mб62Казунина Г. А..pdf
#
03.05.2019143.36 Кб9КВ-АП_Эксплуатационные_свойства.doc
#
10.05.2015288.35 Кб22КДиП.pdf
#
22.11.201947.34 Кб5кейс 1.doc
#
22.11.201951.76 Кб1кейс 2.docx
#
22.11.201947.68 Кб5кейс 4.docx