Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Казунина Г. А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

l, l . Умножая ряд

(1.7)

на

cos

n x

n 1,2,3,...

выполняя

почленное интегрирование, получаем:

n x

f (x) cos

n x

k x

n x

k x

n x

cos

dx b

sin

cos

(1.9)

2 l

k 1

cos2

k x

dx akl.

При вычислении интеграла использовали свойство ортого-

нальности (1.1) и нормы (1.4).

Из (1.9) следует

1 l

k x

f (x) cos

dx .

(1.10)

l l

Аналогично, умножая

обе

части

ряда (1.7)

на

sin

n x

почленно интегрируя, имеем

1 l

k x

f (x) sin

dx.

(1.11)

Коэффициенты (1.8), (1.10), (1.11) называют коэффициента-

ми Фурье.

Определение. Тригонометрический ряд (1.7), коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье, называют рядом Фурье периодической функции, заданной на симметричном интервале l,l .

При условии l коэффициенты и ряд Фурье имеют простой

вид:

	a0
f (x)	a0	a	cos kx b sin kx;
f (x)		a	cos kx b sin kx;
2		k	k
2		k 1

f (x)dx; ak

f (x) cos kxdx;

f (x)sin kxdx; k 1,2,3,...

Пример 1.1. Разложить

функцию, заданную на

l,l

-l 0

l 2l

(рис. 1.1):

Рис. 1.1

0, l x 0, f (x)

1, 0 x l,

в ряд Фурье по тригонометрическим функциям.

Замечая, что период f (x) равен T = 2l, вычисляем коэффициенты Фурье:

ak 1 l

l l

bk	1		l
			f (x)sin
		l
			l

f (x)dx

dx dx

l l

k x

f (x)cos

0 cos

dx cos

sin

k x

0 sin

dx sin

0, k 2n,

(cos k 1)

, k 2n 1,

k x dx l

l		k x	l

	cos

k		l	0

сучетом того, что cos k ( 1)k .

Врезультате получаем, что разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид:

f (x)

2 sin

1			2	sin		x		2		sin
				sin			3			sin
2						l	3
2n 1
					x
					x
		l				...			1		2
	2n 1					...		2

3 x

n 0

	2	sin	5 x		...
	5	sin	l		...
	5		l
	2n 1
sin				x
sin				x
		n				.
	2n 1					.
	2n 1

По известному разложению в ряд Фурье легко построить дискретный частотный спектр периодической функции, который наглядно показывает вклад каждой из гармоник в сложное колебательное движение. Для этого строят диаграмму в координатах

(k, Аk ) , где k − номер гармоники;				Аk	− амплитуда.
Для рассматриваемой функции k 2n 1, и спектр имеет вид,
показанный на рис. 1.2:

	A	a2	b2
	k	k	k
			2/
			1/2		2/(3 )	2/(5 )
			1/2
						k
			0	1	3	5

Рис. 1.2

Учитывая четность подынтегральных функций, можно устано-

вить особенности разложения в ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Так, если функция f (x) − четная, получаем

f (x)dx

f (x)dx;

2 l

k x

1,2,3,...;

bk 0,

f (x) cos

dx;

и разложение в ряд имеет вид

k x

f (x)

a cos

(1.7a)

k 1

Если f (x) − нечетная, справедливо: a0 0 , ak 0, k 1,2,...

2 l

k x

f (x)sin

и разложение в ряд имеет вид

k x

f (x) bk sin

(1.7б)

k 1

Пример 1.2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, за-

данную на полуинтервале:

sin t, 0 < t / 2,

f (t)

/ 2 < t < .

f (t)

-1

Рис. 1.3

Функция задана на полуинтервале (0, ) . Для того, чтобы разложить ее в ряд по синусам, необходимо продолжить функцию на полуинтервал (– ,0) нечетным образом (рис. 1.3). Поскольку иско-

мое разложение в ряд имеет вид

f (t) bk sin kt ,

k 1

нужно вычислить только коэффициенты bk :

																					15

	2		2																2				1		2
bk	2			sin t					sin ktdt										2				1		cos(t kt) cos(t kt) dt
bk				sin t					sin ktdt																cos(t kt) cos(t kt) dt
			0																		2				0
																k																							k
						(1 k) sin										k									(1 k) sin														k
			1												2						2															2						2
																					1 k 2
																					1 k 2

								(1 k) cos k																	(1 k) cos k
							1														2																				2
																					1 k 2									k
																					1 k 2
															1						2k
																		1 k 2 cos																.
																		1 k 2 cos												2				.
																										2k cos								k
																								1
								k 1,							b	= lim								1									2					1			;
								k 1,							b	= lim																									;
															1			k 1 1 k 2																				2
																		k 1 1 k 2																				2
															k 2,										b2 =			4				;

																												3
															k 3,										b3 0 ;
													k 4,								b4								4		2				.
													k 4,								b4														.
																													15
Обобщая полученный результат, получаем
f (t)		1			sin t					4			1	sin			2t					4				2		sin 4t									4			3		sin 6t ...
f (t)					sin t									sin			2t											sin 4t														sin 6t ...
	2											3													15													35
									1								4										n 1 n sin 2nt
											sin t									( 1)
											sin t									( 1)														4n2 1 .
									2								n 1																	4n2 1 .

1.3. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ

Если функция f (x) с периодом Т 2l и ее производная f (x) , определенные на интервале ( , ), являются на отрезке l,l

непрерывными или кусочно-непрерывными (имеют на заданном отрезке конечное число точек разрыва первого рода и конечное число экстремумов), тогда справедливо:

1) ряд Фурье функции		f (x)		сходится к самой функции для
всех x ( , ) и сумма ряда S(x)				равна
S(x) lim	a0	n			k x	b		k x	;
		a	k	cos			sin

					l	k
n 2		k 1						l

2)в точках непрерывности S(x) f (x) ;

3)в точках разрыва

		S(x		)		1	f (x		0) f (x		0) ,
		S(x	0	)	2		f (x	0	0) f (x	0	0) ,
			0					0		0

где	f (x0	0) lim			f (x0 ); f (x0 0) lim							f (x0 );
		x x0		0							x x0	0
	4) для непрерывной					f (x) сходимость ряда является равномер-

ной.

Таким образом, любая кусочно-непрерывная функция, заданная на интервале ( l,l) , может быть периодически с периодом

–l

0 l

Т 2l продолжена на всю действительную ось и разложена в ряд Фурье. В том случае, если функция f (x) удовлетворяет условиям сходимости и задана на полуинтервале (0,l) , ее можно разложить в ряд Фурье различными способами в зависимости от характера периодического продолжения. Так, при четном продолжении на ( l,0) функцию f (x) можно разложить в ряд по косинусам (1.7a) (рис. 1.4), а при нечетном продолжении − в ряд по синусам (1.7б).

Рис. 1.5

Однако в этом случае ряд Фурье будет сходиться к функции

в смысле среднего	кваратичного:	для	любой кусочно-
непрерывной функции (к производной			эти требования не
непрерывной функции (к производной		f (x)	эти требования не
предъявляются) справедливо:
	l
lim	f (x) Sn (x) 2 dx 0.		(1.12)
n l

Путем непосредственного вычисления интеграла (1.8) с учетом свойств ортогональности (1.1) можно получить равенство Парсеваля, которое задает средний квадрат функции f (x) на интервале ( l,l) :

		1		l	2
		1		f 2 (x)dx		a0	ak2 bk2 .	(1.13)
				f 2 (x)dx			ak2 bk2 .	(1.13)
			l	l	2		k 1
		Если переменная			х имеет смысл времени,			то величина
1		l
1		f 2 (x)dx есть средняя мощность временного сигнала. Тогда
	l	f 2 (x)dx есть средняя мощность временного сигнала. Тогда
	l	l

равенство Парсеваля утверждает следующее: средняя мощность сигнала равна сумме мощностей его гармоник.

Покажем, как использовать равенство Парсеваля для нахождения суммы числового ряда.

1
Пример 1.3. Найти сумму числового ряда S		.

k 1 k 2

Для решения задачи найдем коэффициенты Фурье для функции f (x) x, 0 x при продолжении на интервал x 0 нечетным образом (рис. 1.6):

	2			x		1

			2
bk		x sin kxdx			cos kx		cos kxdx
bk		x sin kxdx			cos kx		cos kxdx
				k		k
		0			0		0

( 1)k 1 2 ; a 0; k 1,2,3,...

		k
	k	k
	k

	2	( 1)k 1 sin kx.
f (x)

k 1 k

Теперь, используя равенство (1.13), получим:

		1						1
			x2dx 4							;



y									2
y						k 1 k			2


		2	2			1
		2		4		1	;
				4			;
		3			k 1 k 2
	x	3			k 1 k 2
				1		2
		S						.
		S						.
			k 1 k 2			6

Рис. 1.6

1.4. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Для того чтобы переписать ряд Фурье

	a0				k t			k t
f (x)		a	k	cos		b	sin

2		k 1			l	k		l

в комплексной форме, выразим входящие в формулу функции

cos

k t

и sin

k t

через экспоненты с мнимым показателем:

k t

e i

k t

e i

k t

cos

;

sin

Тогда разложение функции в ряд будет иметь вид

k t

l e

f (x)

k 1

k t

ibk

ei l

ak ibk

e i l

k 1

Вводя обозначения

, c

ak ibk

, с

ak ibk

, по-

лучим ряд Фурье в комплексной форме:

k t

f (t)

l .

Используя

выражения для

действительных

коэффициентов

ak , bk и формулу Эйлера,

запишем выражения для коэффициентов

ck и c k :

k t

f (t) cos

dt i

f (t)sin

2l l

k t

i sin

l dt;

f (t) cos

f (t)e

2l l

k t

f (t) cos

dt i

f (t)sin

f (t)e

dt.

2l l

Поскольку сk

является комплексным числом, его можно запи-

сать в тригонометрическом и показательном виде:

(ak ibk )

ak bk

i k

(cos k i sin k )

Ak e

(cos

i sin

)

A e i k ,

где модуль и аргумент ck имеют вид

ak2 bk2

; k

arctg

;

ak 2 Re ck ;

bk 2Imck .

Отметим, что для действительных функций

f (t)

справедливо:

c k ck ( ck − комплексно-сопряженное число для ck );

c k

Спектральной плотностью называют отношение коэффици-

ента сk ряда Фурье к приращению частоты k :

(k 1)

;

–

k t

S( k )

l dt.

f (t)e

Амплитудным спектром называют модуль спектральной

плотности

S( k )

, а фазовым спектром ( k )

– взятый с обрат-

ным знаком аргумент спектральной плотности ( k ) arg S( k ) .

Пример 1.4. Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме периодического прямоугольного импульса, который на основном периоде задается выражением (рис. 1.7)

0, l t l / 2,
	l / 2 t l / 2,
f (t) 1,
	0, l / 2 t l.

Для коэффициента Фурье

f(t)

имеем

l / 2

k t

l dt

f (t)e

2l l / 2

i k t

–l –l/2

l/2 l

2ik

Рис. 1.7

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.20191.76 Mб2К р № 2 для ГФ.doc
#
10.05.2015540.67 Кб63к.р. №1.doc
#
09.11.2018317.44 Кб2К2.doc
#
09.11.2018288.77 Кб2К3.doc
#
25.11.2019538.62 Кб7кабели электро.doc
#
16.03.20162.06 Mб62Казунина Г. А..pdf
#
03.05.2019143.36 Кб9КВ-АП_Эксплуатационные_свойства.doc
#
10.05.2015288.35 Кб22КДиП.pdf
#
22.11.201947.34 Кб5кейс 1.doc
#
22.11.201951.76 Кб1кейс 2.docx
#
22.11.201947.68 Кб5кейс 4.docx