Казунина Г. А

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

оригиналом является функция

f (t) (t), где

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Пример 3.23. Найти оригинал изображения

F ( p)

p2 2 p 2

p e

pk t

f (t)

2 i

res

2 i

2 p 2

2 i

2 p 2

k 1

( Re pk , pk 1 i − полюсы первого порядка),

res

2 Re

2 p 2

p 1 i

Re 1 i e( 1 i)t Re(1 i)e t eit

1 i 1

Re e t (1 i)(cos t i sin t) e t (cost sin t).

Таким образом, по известному изображению F ( p) оригинал f (t) может быть восстановлен путем вычисления интеграла обращения. Интеграл обращения может быть вычислен с применением теории вычетов. Поэтому при нахождении оригиналов обычно используют теоремы разложения, которые следуют непосредственно из формулы обращения.

3.4.3. Первая теорема разложения

Пусть изображение Лапласа F ( p) является функцией, аналитической в окрестности p , и разложение в ряд Лорана в окрестности p имеет вид

F ( p) .

k 1 pk

Для доказательства подставим разложение F ( p) в ряд Лорана в формулу обращения:

p t

f (t)

e ptdp

dp .

2 i

k 1

2 i

i k 1 p

Несобственный интеграл вычисляем, применяя теорию выче-

тов.

Особая точка p 0 является полюсом порядка k :

	1 pt	p2t2	...	pk 1tk 1	pktk	...
e pt				(k 1)!
	2!				k!
pk			pk

t 2

...

t k 1

t k

...

pk 1

2! pk 1

p(k 1)!

Непосредственно видно, что

k 1

res

1)!

Тогда получаем

tk 1

C tk 1

f (t)

2 i

k 1 2 i

(k 1)!

k 1

1)!

Пример 3.24. Найти функцию-оригинал для функцииизображения:

F ( p) e p 1.

Для восстановления оригинала f (t) (t) разлагаем функциюизображение в ряд Лорана:

F( p) 1	1	1	1	...	( 1)k	... 1
	p	2! p2	3! p3		k! pk

				1		1	1			...			( 1)k		...
				p		2! p2		3! p3		...			k! pk		...
				p		2! p2		3! p3					k! pk
	( 1)	k					( 1)		k		tk 1			t		t	2
Отсюда Ck	( 1)		,		f (t)		( 1)					1		t		t		... .
Отсюда Ck			,		f (t)							1						... .
	k!					k 1 k!(k 1)!							2		12

Сопоставляя это разложение с формулой Маклорена:

						2
			f (0)
f (t) f	(0) f	(0)t			t		...,
			2!
получаем начальное значение функции				f (0) 1, начальную ско-
рость изменения функции		1/ 2 .
	f (0)

lim

Пример 3.25. F ( p)		p 2		.

		p3 4 p2
			p
Функция является	аналитической в окрестности p :

F ( p) 0 . Разложение в ряд Лорана для такой функции можно

выполнить путем операции деления многочленов:

p+2			p3 4 p2 p
p+2			p3 4 p2 p
	1
p 4 p		p	2	2 p	3	7 p	4 .....
			2		3		4 .....

_ 2 p 1

2 8 p 1 2 p 2

_ 7 p 1 2 p 2

7 p 1 28 p 2 7 p 3

..................................

Используя таблицу, находим

F ( p)	1	2	7	... t t2	7	t3	...
	p2	p3	p4
					3!

Сопоставляя полученное выражение с разложением Маклорена, получаем

f (0) 0,		1.
	f (0)

3.4.4. Вторая теорема разложения

Пусть изображение Лапласа F ( p) является правильной дро-

бью:

F ( p) Pn ( p) ; n m.

Qm ( p)

Тогда оригиналом является функция	f (t) (t), где
n	)e pk t .
f (t) res F ( p	)e pk t .
k
k 1

Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в конечной части комплексной плоскости.

Если изображение F ( p) является неправильной дробью, то необходимо выделить целую часть и при нахождении оригинала использовать свойство линейности.

Доказывается вторая теорема разложения непосредственным вычислением интеграла обращения по теореме о вычетах:

	1	i		pt		1	n	pk t
f (t)			F ( p)e	pt	dp		2 i res F ( p )e	pk t
f (t)			F ( p)e		dp		2 i res F ( p )e
							k
	2 i i					2 i	k 1

где вычеты берутся по всем особым точкам, лежащим в конечной части комплексной плоскости: Re p .

Покажем, как находятся оригиналы f (t) при помощи второй теоремы разложения. При этом будем рассматривать те же задачи, которые решали ранее другими методами.

Пример 3.26. F ( p)	p 3		.


	p2 4 p 13
Так как дробь правильная,		сразу находим особые точ-

ки: p 2 3i , которые являются простыми полюсами. Сумму вычетов в комплексно сопряженных точках удобно находить по фор-

муле

p t

res F( p)e p t

i + res F ( p)e

= 2Re res F ( p)e pt p i .

( p 3)e

3)e

( p

f (t) 2 Re res

2 Re res

2 p

4 p 13 p 2 3i

p 2 3i

( 2 3i 3)e( 2 3i)t

(1 3i)e 2t (cos 3t i sin 3t)

2 3i 2

( i 3)(cos 3t i sin 3t)e

cos 3t

sin 3t .

Пример 3.27. F ( p)

( p 1)( p 2)

f (t) res

res

( p 1)( p

( p 1)( p 2)

p 1

p 2

e pt

et e2t

p 2

p 1

p 2

Пример 3.28. F ( p)

p( p2 4)

2)e

( p

f (t) res

2Re res

p( p

p 0

p 2i

( p2 2)e pt

( 4 2)e2it

2 Re

p2 4

p 0

p( p 2i)

p 2i

2i(4i)

( 4 2)e2it

( 2)e2it

2Re

2i(4i)

Re(cos2t i sin 2t)

cos2t.

Пример 3.29. F ( p)

( p2 1)2

f (t) res

res

( p

p i

( p

p i

2 Re res

2 Re

( p

p i


2 Re			te pt ( p i)2	2( p i)e pt
2 Re				i)4
			( p	i)4					p i

2 Re	te pt	( p i) 2e pt				2 Re	t2i 2			eit
2 Re			( p i)3		p i	2 Re		(2i)3		eit
			( p i)3		p i			(2i)3

Пример

ti 1		t	i
	(cos t i sin t) Re			cost i sin t
2i	(cos t i sin t) Re			cost i sin t
2i		2	2

12 (sin t t cost).

3.30. F ( p)	p2
		.
	p2 4

p2	p2	4 4	1	4		(t) 2sin 2t.
p2 4	p2 4			p2	4

Таблица 3.1

ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

f (t)

F ( p)

f (t)

F ( p)

(t)	1		n		at	n!
		t		e
						( p a)n 1

(t)

pF(P) f (0)

F( p) pf (0) f (0)

(t)

a t

f (t)

F( p a)

p a

sin t

t sin t

2 p

p2 2

( p2 2 )2

cos t

t cos t

p2 2

( p2 2 )2

sh t

t sh t

2 p

p2 2

( p2 2 )2

ch t

t ch t

p2 2

( p2 2 )2

e t sin t

f ( )g(t )

F( p)G( p)

( p )2 2

cos t

f (0)g(t)

pG( p)F( p)

( p )2 2

( )g(t )d

f (t )

F( p)

p 2

t n

n 1

t n ,

Г (n 1)

n – неце-

pn 1

лое число

4 . ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

4 . 1 . Р ЕШ Е НИ Е Л И Н Е ЙН Ы Х Д ИФ Ф Е Р Е Н Ц ИА ЛЬН Ы Х

УР А В Н Е Н ИЙ С П О С ТО Я Н НЫ М И К ОЭ ФФ И Ц ИЕН Т А М И

ОП Е Р А Т ОР НЫ М М Е ТО Д О М

Задача Коши для линейного уравнения

an y(n) an 1y(n 1) ... a1y a0 y x(t)

состоит в нахождении частного решения y(t) по заданным начальным условиям


		,			, ............y0		n 1	(0)	y0	n 1	.
y(0) y0, y (0)	y0	,	y (0)	y0	, ............y0			(0)	y0		.
Полагаем, что правая часть уравнения x(t)						и искомая функция

y(t) являются оригиналами. Тогда для них существует преобразование Лапласа:

x(t) X ( p), y(t) Y ( p) .

Применяя правило дифференцирования оригинала

y (t) pY ( p) y(0),

y (t) p2Y ( p) py(0) y (0),

y (t) p3Y ( p) p2 y(0) py (0) y (0)

и используя свойство линейности, переходим в исходном дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям. При этом исходное дифференциальное уравнение переходит в алгебраическое уравнение относительно Y ( p) :

K ( p)

an ( pnY ( p) pn 1y0 ...y0(n 1) ) ... a0Y ( p) X ( p).

Тогда

Y ( p)(an pn an 1 pn 1 ... a0 ) X ( p) M ( p);

Y ( p) K( p) X ( p) M ( p);

K( p) an pn an 1pn 1 ...a1 p a0;

Y ( p) X ( p) M ( p) .

B этом выражении стоящий в знаменателе многочлен K ( p)

называется характеристическим многочленом, а функция выра-

жает влияние начальных условий.

Решение исходного дифференциального уравнения получаем, возвращаясь к оригиналам Y ( p) y(t) .

Пример 4.1. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

		2y 6 e	t	; y(0)	2;		0.
y	3y	2y 6 e		; y(0)	2;	y (0)	0.
Переходя к изображениям Y (t) Y ( p);					x(t) 6e t			6	;

								p 1
								p 1

y (t) pY ( p) y(0) pY ( p) 2;

y (t) p2Y ( p) py(0) y (0) p2Y ( p) 2 p,

получаем операторное уравнение

p2Y ( p) 2 p 3 pY ( p) 6 2Y ( p) p6 1,

решая которое, получаем Y ( p) :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.20191.76 Mб2К р № 2 для ГФ.doc
#
10.05.2015540.67 Кб63к.р. №1.doc
#
09.11.2018317.44 Кб2К2.doc
#
09.11.2018288.77 Кб2К3.doc
#
25.11.2019538.62 Кб7кабели электро.doc
#
16.03.20162.06 Mб62Казунина Г. А..pdf
#
03.05.2019143.36 Кб9КВ-АП_Эксплуатационные_свойства.doc
#
10.05.2015288.35 Кб22КДиП.pdf
#
22.11.201947.34 Кб5кейс 1.doc
#
22.11.201951.76 Кб1кейс 2.docx
#
22.11.201947.68 Кб5кейс 4.docx