Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Казунина Г. А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Пусть x(t) (t 2) (t),

y(t) ( 2)(1 e (t )

то решение имеет вид

t t

)d ( 2)d ( 2)e (t )d

	o		0		0
2		t	e t ( 2)e e	t
		t

	2
2				0
2		0

	t	2			t	2		t
			2t e	t (t 2)et et 2 1			t e

2					2

Пусть x(t)	3		. Тогда решение имеет вид

	1 et
t	3		t		1	t
y(t)	3	(1 e (t ) )d 3			1	d


01 e				1	e
01 e			0	1	e	0

1 (t).

e	t	e
e		e	d
				.
1 e				.
1 e

Вычисляя интегралы с помощью замены переменной z e ,

получаем
	e	t
		t
y(t) 3 ln			e t ln(1 e )	t
y(t) 3 ln			e t ln(1 e )	t
	1 e
				0
				0
		0
		0

e t ln(1 et ) e t ln 2

e t ln

3 ln

ln 2

1 e

Пример 4.8. Найти частное решение дифференциального уравнения

y y x(t), y(0) 0.

Правая часть уравнения задана функцией (рис. 4.5):

0, t 0,

x(t) 1 t 1, 0 t 2,

0, t 2.

x(t)

Рис. 4.5

Для применения формулы свертки следует записать x(t) , используя ступенчатые функции Хевисайда:

	1		1
x(t)		t 1 (t)		(t 2) 2 (t 2).
x(t)		t 1 (t)		(t 2) 2 (t 2).
	2		2

С учетом того, что функция Грина для этого уравнения имеет вид w(t) e t (t), получаем решение y(t) :

		1		t		1	t
y(t)		1		( 2)e (t )d		1	( 2) ( 2)e (t ) (t )d
y(t)				( 2)e (t )d			( 2) ( 2)e (t ) (t )d
2				0		2	2
	1			t				1	t
	1		e t		2 e d (t)			1	e t	( 2)e d (t 2)
			e t		2 e d (t)				e t	( 2)e d (t 2)
2								2
2				0				2	2

		1	e t 2 e e								t (t)				e t		( 2)e e						t (t 2)
		1													e t
		2
											0					2							2
											0					2							2
1	e t tet 2et					et 1 (t)						e t	(tet 2et						et 4e2 e2 ) (t 2)
	e t tet 2et					et 1 (t)							(tet 2et						et 4e2 e2 ) (t 2)
2										2
			1		1		1		t					1				1	3		(t 2)
				t				e		(t)						t				e		(t 2)
				t				e		(t)						t				e		(t 2)
			2		2		2							2				2	2

12 (t e t 1) (t) 12 ( t 1 3e (t 2) ) (t 2).

Существует и другой способ записи решений дифференциальных линейных уравнений с использованием свертки. Он основан на формуле Дюамеля. Характеристикой системы в этом случае служит переходная функция h(t) , которая определяется как реакция

(отклик) системы на постоянное воздействие x(t) (t) 1p :

Y ( p) H ( p) X ( p)	H ( p)	;	h(t) Y ( p).

1	p		1

Из последнего выражения и свойства интегрирования оригинала следует, что функции w(t) и h(t) связаны соотношениями:

h(t) w( )d , h (t) w(t).

С учетом того, что

H ( p) pY1( p) ,

Y ( p) H ( p)X ( p) pY1( p)X ( p),

оригинал y(t) можно записать по формуле Дюамеля следующим образом:

	t		t
y(t) h(0)x(t) h ( )x(t )d h(0)x(t) h (t )x( )d
	0		0
t		t
h(t)x(0) x ( )h(t )d h(t)x(0)		x (t )h( )d .
0		0

Заметим, что при условии h(0) 0 две первых формы записи решения совпадают с записью

y(t) w( )x(t )d .

Также напомним, что в силу условий вывода формулы Дюамеля приведенные формулы можно непосредственно использо-

вать для непрерывных функций x(t) . В том случае, если функция x(t) имеет точки разрыва первого рода, следует точно записывать эту функцию, учитывая скачкообразное изменение функции в точках разрыва или другим способом учесть эти изменения. Например, если правая часть x(t) имеет вид

f (t), 0 t T ; x(t)

0, t T ,

L x (t) pF ( p) f (0) f (T )e pT ,

то и формула Дюамеля принимает вид

Y ( p) pY1( p) X ( p) pY1( p) X ( p) x(0)Y1( p) x(T )e pTY1( p)

x(0)Y1( p) x(T )e pTY1( p)

Y1( p) px( p) x(0) x(T )e pT x(0)Y1( p) x(T )e pTY1( p) .

Переходя к оригиналам, получаем

y(t) x(0)h(t) (t) x ( )h(t )d x(T )h(t T ) (t T ).

Применим формулу Дюамеля для решения примера 4.8. Производная функции, стоящей в правой части уравнения,

равна


	1	x (t)
	1	(t) (t 2) .

x (t)	2
		1/2
		0	2	t
			Рис. 4.6

Переходная функция системы имеет вид

h(t) 1 e t (t).

Тогда, вычисляя по формуле

)d x(T )h(t T ) (t T ) ,

y(t) x(0)h(t) x (t)h(t

с учетом того, что x(0) 1,

x(2) 2, получаем

(t )

x(t) 1 e

(t)

d (t)

d (t

2 1 e (t 2) (t 2) 1 e t (t)

t 1 e t (t)

t 3 e (t 2)

(t 2) 2 1 e (t 2) (t 2)

1 t e t (t)

t 1 3e (t 2)

(t 2)

1 t e t (t),

t 2,

t 2.

(t 2)

Пример 4.9. Найти частное решение дифференциального

уравнения

y y x(t),

y(0)

y (0)

Переходную функцию для данного дифференциального уравнения можно получить, интегрируя функцию Грина:

w(t) (1 e t ) (t),

h(t) t (1 e )d t 1 e t (t).

Проверить самостоятельно, что для x(t) e2t (t) и x(t) (t 2) (t) вычисления по формуле

y(t) h(t)x(0) x ( )h(t )d

дадут тот же результат, что получен ранее другими способами:

y(t) (t e t

2 (t e

(t ) 1) (t )d

1) (t) 2e

(t).

y(t) 2(t e t 1) (t) (t e (t ) 1) (t )d

t e

1 (t).

4.4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ.

МАТРИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

x a11x a12 y f1(t),y a21x a22 y f2 (t)

c начальными условиями x(0) x0; y(0) y0.

Считая функции x(t); y(t); f1(t); f2 (t) функциями-оригина- лами и переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений относительно переменных X ( p), Y ( p) :

( p a11) X ( p) a12Y ( p) x0 F1( p),

a21X ( p) ( p a22 )Y ( p) y0 F2 ( p).

Решая эту систему методом исключений, методом Крамера или матричным методом, находим изображения X ( p), Y ( p) . Возвращаясь к оригиналам, получаем решение:

x(t) X ( p);

y(t) Y( p).

Рассмотрим более подробно матричный метод решения полученной алгебраической системы, вводя следующие матрицы:

p a11

A( p)

X ( p) X ( p) Y( p)

a		матрица коэффициентов системы;
12		матрица коэффициентов системы;
p a22
p a22

	матрица искомых функций;

x	F ( p)		матрица, включающая начальные условия и
B( p) 0	1		матрица, включающая начальные условия и
y	F	( p)
0	2

изображения правых частей.

Исходная система записывается как матричное уравнение:

A( p) X ( p) B( p),

решением которого является матрица:

X ( p) A ( p)B( p) G( p)B( p).

Здесь A 1( p) G( p) называется преобразователем Лапласа фундаментального решения системы или матрицей Грина. По правилу нахождения обратной матрицы получаем

G( p)					1							p a22			a12
															p a		.
	p2	(a	a		) p (a		a		a				a				.
	p2	(a	a	22	) p (a	11	a	22	a	21	a )		a	21		11
		11		22		11		22		21	12			21		11

Оригинал G(t) матрицы G( p) называют матричной функцией отклика, фундаментальным решением или матричной функци-

ей Грина:

g	11	(t)
G(t)	11
g21		(t)

g12 (t)

g22 (t)

g		( p)	g ( p)
	11		12	.
g21 ( p)			g22 ( p)

Таким образом, решение системы записывается в виде матрицы:

ˆ				X ( p)			g11( p)						g12			( p) x0		F1( p)
X ( p)
				Y ( p)			g	21			( p)		g		22	( p) y	0	F ( p)
																				2
	g ( p)x g ( p) y								0			g ( p)F ( p) g ( p)F ( p)
		11		0	12							11				1		12			2
	g		21	( p)x g		22	( p) y			0		g	21	( p)F ( p) g					22	( p)F ( p) .
				0												1					2

Переходя к оригиналам в каждой из строк этой матрицы, получаем окончательное решение системы:

	X ( p)		X (t)	X (t).
X ( p)				X (t).

Y( p)		Y(t)

Можно записать решение, используя свертку оригиналов:

			t	t
		x0 g11(t) y0 g12 (t) g11(t ) f1( )d g12 (t ) f2 ( )d
ˆ	X (t)		0	0
X (t)						.
			t	t
	Y (t)		t	t
		x0 g21(t) y0 g22 (t) g21(t ) f1( )d g22			(t ) f2 ( )d
			0	0
	Отметим,		что матричная функция отклика	G(t)	совпадает с

матрицей e At , которая представляет собой фундаментальное решение системы, а приведенная выше форма записи решения совпадает с формой записи решения с использованием матричной экспоненты:

ˆ	At	X0 e	At t	A	F ( )d e	At	t	A(t )	F ( )d
X (t) e		X0 e	e		F ( )d e		X0 e		F ( )d
			0				0

G(t) X0 G(t )F ( )d .

Пример 4.10. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

dx 2x 9 y e5t ;dt

dy x 8y; x(0) 1; y(0) 0.

Переходя к изображениям:

x(t) X ( p); y(t) Y ( p);

x (t) pX ( p) x(0) pX ( p) 1;

y (t) pY ( p) y(0) pY ( p),

получаем систему алгебраических уравнений:

		1			1
pX ( p) 1	2X ( p) 9Y ( p)		,	( p 2) X ( p) 9Y ( p) 1		,
pX ( p) 1	2X ( p) 9Y ( p)	p 5	,	( p 2) X ( p) 9Y ( p) 1	p 5	,
		p 5			p 5

pY ( p) X ( p) 8Y ( p);				X ( p) ( p 8)Y ( p) 0.
Матрица А( p) этой системы имеет вид

			p 2			9
		A( p)		1			,
				1	p 8
обратная матрица A 1( p) G( p) :
G( p)		1	p 8	9		1			p 8	9
										.
	p2	10 p 25					( p 5)			.
	p2	10 p 25	1	p 2			( p 5)	2	1	p 2

Переходя к оригиналам:

p 8

g11

( p)

( p 8)e pt p 5

e pt ( p

8)te pt

(1 3t)e5t ,

( p 5)2

9te5t

p 5

g12

( p)

( 9e pt ) p 5

9te5t ,

( p 5)2

p 5

g21

( p)

) p 5 te

( p 5)2

p 2

g22

( p)

( p 2)e pt p 5

e pt t( p 2)e pt

(1 3t)e5t ,

( p 5)2

1 3t

p 5

записываем матрицу отклика:

G(t) e5t

1 3t

Решение системы запишем двумя способами.

Первый способ. Введем матрицу B( p)

5 .

												p 8				9						1
		X ( p)								1								1
		X ( p)								1								1
X ( p)			G( p)B( p)																		p		5
X ( p)			G( p)B( p)																		p		5

		Y ( p)							( p 5)2				1		p 2
		Y ( p)							( p 5)2				1		p 2					0
																				0
							( p 8)				p 8				p 8
				p	8
													5)2		( p 5)3
		1					( p	5)
		1					( p	5)		( p
							1				1				1				.
	( p 5)2				1		1				1				1				.
					1	p 5					( p		5)2		( p 5)3
						p 5					( p		5)2		( p 5)3
		p 8			p 8											1

X ( p)								( p			8)e pt						( p 8)e pt
X ( p)		( p 5)2			( p 5)3			( p			8)e pt						( p 8)e pt
														p 5	2									p 5
														p 5										p 5

e pt ( p 8)te pt		1	te pt t2 ( p 8)e pt te5t


	p 5	2		p 5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.20191.76 Mб2К р № 2 для ГФ.doc
#
10.05.2015540.67 Кб63к.р. №1.doc
#
09.11.2018317.44 Кб2К2.doc
#
09.11.2018288.77 Кб2К3.doc
#
25.11.2019538.62 Кб7кабели электро.doc
#
16.03.20162.06 Mб62Казунина Г. А..pdf
#
03.05.2019143.36 Кб9КВ-АП_Эксплуатационные_свойства.doc
#
10.05.2015288.35 Кб22КДиП.pdf
#
22.11.201947.34 Кб5кейс 1.doc
#
22.11.201951.76 Кб1кейс 2.docx
#
22.11.201947.68 Кб5кейс 4.docx