Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Кузбасский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Казунина Г. А

..pdf
Скачиваний:
62
Добавлен:
16.03.2016
Размер:
2.06 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

91

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e5t 3te5t

1

(te5t 3t2e5t te5t ) e5t 2te5t

 

3t2

e5t x(t);

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

5t

 

1

 

2

 

5t

 

 

 

Y ( p)

 

 

 

 

 

 

 

te

 

 

 

 

 

t

 

e

 

y(t).

( p 5)2

( p

5)3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение системы имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

3

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

5t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (t) e

 

t

t 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй способ. Используем матрицу отклика и свертку оригиналов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) x0g11(t) y0g12 (t) g11(t ) f1( )d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3(t ) d

g12 (t ) f2 ( )d e5t (1 3t) e5t e5(t )

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

5t

(1

3t) e

5t

 

 

t

 

3t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5t

 

 

 

 

 

5t

 

 

 

2

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

5t

 

 

0

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

(1 3t) e

 

t 3t

 

 

 

 

 

 

t

 

 

e

1 2t

 

 

 

t

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t) x0g21(t) y0g22 (t)

g21(t ) f1( )d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g22 (t ) f2 ( )d e5t t

 

e5t e5(t ) (t

)d

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5t

 

 

 

5t

 

 

 

2

 

 

t

 

5t

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

t e

 

t

 

 

 

e

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92

Пример 4.11. Найти токи в электрическом контуре при последовательном замыкании ключей K1, K2 (рис. 4.7).

 

 

R

 

 

 

 

 

C

J3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (t)

J1

K2

J2

R = 10 Ом,

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

С = 10–4 Ф,

 

K1

 

 

Uс (0) = 0.

 

 

 

 

Рис. 4.7

Пусть ключ K2 разомкнут, замкнут только ключ K1 . Тогда при выбранных начальных условиях напряжение на конденсаторе имеет вид

 

1

t

1

t

Uc (t) Uc (0)

J2 (t)dt

J2 (t)dt.

C

C

 

0

0

Записывая уравнения Кирхгофа, получаем систему уравнений:

J

J

 

J

 

,

1

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1 t

 

 

 

J1R

 

 

 

J2 (t)dt U (t),

 

 

 

 

 

C 0

 

 

 

J R J

3

R U (t),

1

 

 

 

 

 

 

 

исключая J3(t) , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t

 

 

J1(t)R

 

J2 (t)dt U (t),

C

 

 

 

0

 

 

2RJ1(t) RJ 2 (t) U (t).

Далее переходим к изображениям с учетом начальных условий

J1(0) 0; J2 (0) 0;

93

J1(t) J1( p);

J2 (t) J2 ( p);

J1( p) R Cp1 J2 ( p) U ( p),

J1( p) 2R RJ 2 ( p) U ( p).

Матрица коэффициентов системы имеет вид

 

 

 

1

R

 

 

 

 

 

A( p)

 

 

Cp ,

 

2R

 

 

 

 

R

ее определитель равен

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

2

 

det A( p) R2Cp 2R

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

Обратная матрица или матрица Грина записывается следую-

щим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

G( p)

 

 

p

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

( p

 

 

R

 

 

 

 

 

R

 

 

) 2R

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при любом входном напряжении U (t) U ( p)

ток в системе равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( p)

1

G( p)U ( p).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J2 ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

94

Пусть U (t) E 20

 

B. Тогда U ( p)

 

E

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ep

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ep

 

 

 

 

 

 

p

 

 

Cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

( p

 

 

 

 

 

 

)

2R R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

( p

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвращаясь к оригиналам, окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ep

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ER

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J1(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

R2 ( p

 

 

 

) p

 

 

 

Cp

 

 

 

 

 

R2 ( p

 

 

) R2Cp( p

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

e 2000 t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

RC

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2R

 

 

 

 

2R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EpR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

e

 

2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e 2000 t ;

J

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

p p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

3

(t) J

(t) J

2

(t) 1 e 2000 t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее находим переходные токи после замыкания ключа K2 , при U (t) E 20 В. Начальные условия в этой задаче уже не явля-

ются нулевыми. С учетом того, что lim J3(t) 1, напряжение на

t

конденсаторе будет Uc (0) J3(t) R 10 B. Уравнения Кирхгофа переписываются следующим образом:

Переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений:
0
J2 (t)dt Uc (0) U (t),
t
1С
J1(t)R J2 (t)R U (t).
95

1

 

J2 ( p)

Uc (0)

 

E

,

 

 

 

 

 

p

p

Cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

RJ

 

 

( p) RJ

 

( p)

;

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

J2 ( p)

10

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

Cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

RJ

 

 

( p) RJ

 

( p)

.

1

2

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица коэффициентов системы имеет вид

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

A( p)

 

Cp ;

det A( p)

 

.

 

Cp

 

 

 

 

 

 

R

R

 

 

 

Обратная матрица (матрица Грина) запишется:

 

 

 

R

 

1

 

 

 

 

1

 

G( p)

Cp

 

 

 

Cp R

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

 

 

Cp .

 

 

 

 

 

R

R

 

0

 

 

R

0

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

Ток в системе находится как произведение матриц:

 

J ( p)

 

 

 

 

Cp R

J ( p)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J2

( p)

 

R

 

 

 

 

 

R

Возвращаясь к оригиналам,

 

 

10

 

 

 

 

10R

 

20

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

Cp

 

p

 

Cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

20

 

 

 

10R

 

.

 

 

 

 

 

R

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим переходные токи:

96

J1( p) 10C pR20 10 3 (t) 2 (t);

J2 ( p) 10C 10 3 (t).

Заметим, что исходную систему можно решить и методом исключений, сведя к одному дифференциальному уравнению. Так, система

 

1

t

J1(t)R

J2 (t)dt U (t),

C

 

0

2RJ1(t) RJ 2 (t) U (t)

равносильна дифференциальному уравнению:

J (t)R

2

J

(t)

1

U (t) U (t).

C

CR

1

1

 

 

Переходя к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях, определяем передаточную функцию системы H ( p) (проводимость):

H( p)

J1 ( p)

 

CRp 1

;

U ( p)

 

2

 

 

 

CR2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CR

 

функцию веса или функцию Грина:

 

1

 

 

1

 

e

2

t (t);

w(t) H ( p)

(t)

 

 

 

CR

R

 

CR2

 

 

 

 

 

 

 

 

переходную функцию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

2

t

 

 

 

1

 

 

 

 

h(t) w( )d

 

1

e

CR

 

(t).

 

 

0

 

2R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя эти функции, можно найти реакцию системы на любое входное напряжение U (t) .

97

Пример 4.12. Найти токи в электрической цепи при замыкании ключей K1, K2 , L 10 2 Гн, R 10 Oм (рис. 4.8).

R

J 2

U (t)

R

K 2

R

J 1

K 1 L J 3

Рис. 4.8

Запишем уравнения Кирхгофа и получим систему дифференциальных уравнений при замыкании ключа K1:

 

J1 J2 J3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)R U (t),

 

 

 

J (t)R J

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

dJ2

 

 

 

 

J (t)R J

2

(t) R L

 

U (t).

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исключая переменную J3(t),

получаем систему из двух уравнений:

J (t) 2R J

 

 

(t)R U (t),

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

J (t) R J

2

(t)R L

dJ2

 

U (t).

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к изображениям с учетом нулевых начальных усло-

вий J1(t) J2 (t) 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( p) 2R J

 

(t)R U ( p),

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( p) R (R Lp)J

2

( p) U ( p).

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98

Матрица коэффициентов системы имеет вид

 

2R

R

 

 

3R

A( p)

 

 

,

det A 2RL p

 

,

 

 

 

R

R Lp

 

2 L

обратная матрица (матрица Грина) записывается:

G( p)

1

 

 

R Lp

R

 

 

 

 

R

.

 

 

 

 

3R

2R

 

2RL p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 L

 

 

Cледовательно, ток в системе после замыкания ключа K1 находится как произведение матриц:

J1

( p)

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

R Lp

J ( p)

 

 

G( p)B( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

3R

 

J

2

( p)

 

 

2RL( p

)

 

 

 

 

 

 

2 L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2R

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

2RL( p

3R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

2 L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь приняли U (t) E const Ep .

 

1

 

 

R

 

 

 

p

 

 

 

 

2R

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

2E

E

 

2E

 

3R

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3R

 

 

 

 

 

3R 3R

2R

 

3R

 

 

 

 

 

 

 

 

Lp p

 

 

 

 

2R p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2E

 

 

E

 

 

3R

t

 

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1500 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

2L

 

e

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3R

6R

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3R

 

 

 

 

 

( p)

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

2L

 

2L

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

J

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

3R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L 3R 3R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Lp p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3R

 

 

 

 

 

1

 

1500 t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

e

 

t

 

2

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3R

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установившееся значение тока J

 

 

( )

2

при t . Поэтому

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при замыкании ключа K2

начальные условия уже не будут нулевы-

ми: J2 (0) 23 . Для падения напряжения на катушке индуктивности справедливо:

 

dJ

2

 

 

 

2

 

UL (t) L

 

L pJ2 ( p) J2

(0) L pJ2

( p)

 

.

dt

3

 

 

 

 

 

Записываем систему уравнений Кирхгофа в операторной форме и решаем методом исключений:

 

 

J3 ( p)

 

 

E

 

 

E

(t) 2 (t);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 2 ( p)

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

3(R Lp)

 

 

 

R

3

 

p

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lp p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lp p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

t

 

E

 

 

E

 

 

t

 

 

E

 

 

t

 

 

2

 

 

t

 

 

 

4

 

 

1000 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

L

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

L

 

 

 

 

1 e

L

 

 

 

 

e

 

L

 

 

 

 

2

 

e

 

 

 

(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходную систему (при разомкнутом ключе K2 )

можно пре-

образовать в равносильное дифференциальное уравнение:

 

 

100

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

t

 

E

 

E

 

t

 

E

 

t

 

 

2

 

t

 

 

 

4

 

 

1000 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

L

 

 

 

 

 

e

L

 

 

 

 

1

e

L

 

 

 

 

e

L

 

2

 

 

e

 

(t).

3

 

R

R

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) 3RJ1(t)

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2LJ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

u (t) 2u(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях,

получаем передаточную функцию H ( p):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( p)

 

J1( p)

 

 

2R Lp

 

 

 

 

 

 

Lp 2R

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( p) (2Lp 3R)R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2RL p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

а также другие характеристики системы: функцию Грина (функцию веса)

w(t) H ( p); w(t) 21R (t) 41L

и переходную функцию системы

t

 

 

 

1

3R

t

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h(t) w( )d

 

 

 

e 2L

 

3R

6R

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3Rt

e 2L (t)

(t).

5. Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ДИСКРЕТНЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

5.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТА

ИРЕШЕТЧАТОЙ ФУНКЦИИ

Вэтом разделе будем рассматривать функции, которые не яв-

ляются функциями непрерывного аргумента, а представляют собой счетные последовательности: an f (n) .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности