Казунина Г. А
..pdf51
Способ 3. Записав производную через единичные функции, с учетом граничных условий найдем изображение, а затем применим свойство интегрирования оригинала:
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
p |
|
4 p |
; |
||
g (t) = |
|
(t 1) |
(t 4) ; |
L g (t) = |
|
|
|
e |
|
||||||||||||
3 |
3 p |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
4 p |
|
|
|
|||||
|
|
L g(t) = |
L g (t) |
+ |
g(1)e |
|
|
|
g(4)e |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
2 |
|
e p e 4 p + |
1 |
e p 3e 4 p . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 p2 |
p |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.3.9. Преобразования Лапласа периодических функций
Для периодической функции-оригинала |
с периодом T : |
f (t) f (t T ) построим вспомогательную функцию: |
|
f (t), 0 t T , |
|
(t) = f (t) f (t T ) (t T ) |
t T. |
0, |
|
Тогда преобразование Лапласа для этой вспомогательной функции с учетом свойства запаздывания имеет вид
L (t) ( p) F( p) F( p)e pT .
Для основной функции получаем соотношение
|
|
|
T |
f (t)e ptdt |
|
|
|
|
Ф( p) |
|
|
|
|
F ( p) |
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
e pT |
|
1 e pT |
|||
1 |
|
|
|
|||
Пример 3.13. Найти преобразование Лапласа для периодически повторяющегося сигнала в виде прямоугольных импульсов, заданного функцией (рис. 3.6):
(t) 1, 0 t ,0, t T.
52
(t)
1
t
1 |
T |
Рис. 3.6
|
|
|
|
|
|
L (t) |
e ptdt |
|
1 e p |
||
0 |
|
||||
|
. |
||||
|
|
||||
1 e pT |
|
p(1 e pT ) |
|||
Пример 3.14. Найти преобразование Лапласа сигнала периодических треугольных импульсов, заданных на основном периоде функцией (рис. 3.7):
t, |
0 t 1, |
f (t) |
|
|
f (t) |
t,1< t 2. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
t |
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 3.7 |
|
Предварительно удобно |
найти изображение производной |
|||
(рис. 3.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
1, |
0 t 1; |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f (t) |
1 < t 2. |
|
t |
|
|
1, |
–1 |
||
|
|
|
|
|
Рис. 3.8
f(t) (t) 2 (t 1) 2 (t 2) 2 (t 3) 2 (t 4)........
1p 2p e p 2p e 2 p ....
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
1 2( e p |
e 2 p e 3 p ...........) |
= |
||||||||||||||
p |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
p |
|
|
1 e |
p |
|
|
|
|||
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 e |
|
p(1 e |
) |
|
|
|||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L f (t) 1 e p . p2 (1 e p )
3.3.10. Умножение изображений (изображениe свертки)
Сверткой функций f (t) и g(t) |
называется функция, которая |
|
обозначается f g и определяется равенством |
||
t |
|
t |
f g f ( )g(t )d f (t )g( )d . |
||
0 |
|
0 |
Свертка симметрична |
f (t) g(t) g(t) f (t) и является ориги- |
|
налом. Найдем изображение этой функции: |
||
|
t |
|
( p) ( f (t) g(t))e ptdt ( f ( )g(t )d )e ptdt. |
||
0 |
0 |
0 |
Поскольку двойной интеграл сходится абсолютно в области Re p 0 , то изменяя порядок интегрирования (рис. 3.9), получаем:
( p) f ( )d e pt g(t )d
0 |
|
|
|
f ( )e p d g(z)e pzdz F ( p)G( p) . |
|
0 |
0 |
54
|
t = |
|
t
Рис. 3.9
Таким образом, произведению изображений соответствует свертка оригиналов:
t
f ( )g(t )d F ( p) G( p).
0
Cледствием этой теоремы является интеграл Дюамеля:
t
pF ( p)G( p) f (0)g(t) f ( )g(t )d
0
t
f (0)g(t) f (t )g( )d
0
t
f (t)g(0) g ( ) f (t )d
0
t
f (t)g(0) g (t ) f ( )d .
0
Действительно,
pF( p)G( p) f (0)G( p) f (0)G( p) G( p) pF( p) f (0) f (0)G( p)
t |
t |
|
f (0)g(t) g( ) f |
|
|
(t )d f (0)g(t) g(t ) f |
( )d . |
|
0 |
0 |
|
Рассмотрим примеры на использование этого свойства.
55
Пример 3.15. Найти изображение оригинала:
t
(t )2 cos 2 d .
0
Здесь f (t) t2 , g(t) cos 2t . Поэтому
F ( p) |
2 |
, |
G( p) |
|
|
p |
. |
|
|
|||
p3 |
p2 4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
|
2 p |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
(t )2 cos 2 d |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
p3( p2 4) |
p2 |
p2 |
4 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
Полученное свойство оригиналов и изображений может быть использовано для нахождения оригиналов по их изображениям.
Пример 3.16. Показать справедливость соотношения:
|
1 |
|
|
1 |
sin t t cost . |
|
L 1 |
|
|
|
|||
|
p2 )2 |
2 |
||||
(1 |
|
|
|
|||
Здесь f (t) g(t) sin t , так как
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|||
( p2 1)2 |
( p2 1) |
( p2 1) |
Искомый оригинал получаем, вычисляя интеграл по переменной , считая t const :
t |
|
|
|
|
1 |
t |
cos(t 2 ) cost d |
||
(t) sin( t )sin d |
|
||||||||
2 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
sin( t 2 ) cos t |
|
||||
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
1 1
2 2
sin t |
1 |
sin t t cost |
|
|
1 |
sin t t cost |
|
|
|
||||
2 |
|
|
2 |
. |
||
|
|
|
|
|||
56
3.3.11. Предельные соотношения
Пусть f (t) , f (t) являются оригиналами, тогда выполняются соотношения:
lim |
pF ( p) lim f (t) f (0), |
|
p |
t 0 |
|
lim pF ( p) lim |
f (t) f ( ). |
|
p 0 |
t |
|
Действительно, ранее получено (дифференцирование оригинала), что
f (t) pF( p) f (0) .
Данное изображение является функцией аналитической при
р :
lim ( pF ( p) f (0)) 0,
p
lim |
pF ( p) lim |
f (0) 0, |
|
p |
p |
|
|
|
lim |
pF ( p) f (0). |
|
|
p |
|
|
Также по свойству дифференцирования оригинала имеем
f (t)e ptdt = pF ( p) f (0).
0
При условии р 0 :
|
|
|
f ( f (0)) |
|
|
|
|
|
|
f (t)dt lim f |
(t)dt lim |
|||
0 |
0 |
|
|
|
|
lim ( pF ( p) f (0)), |
|
||
|
p 0 |
|
|
|
|
lim pF ( p) lim f (t). |
|
||
|
p 0 |
t |
|
|
57
Предельные соотношения удобно использовать в тех случаях, когда изображение F ( р) имеет сложный вид и трудно указать точный оригинал, соответствующий изображению. Предельные соот-
ношения помогают оценить начальное |
f (0) и конечное |
f ( ) зна- |
|||||||||
чения функции оригинала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.17. Найти предельные соотношения изображения |
|||||||||||
|
F ( p) |
|
p2 |
|
|
. |
|
|
|||
|
p3 5 p 1 |
|
|
||||||||
Оценки начального и конечного значений f (t) имеют вид |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
||||
lim pF ( p) |
lim |
|
|
|
|
1 f (0) , |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
p |
|
p p3 5 p 1 |
|
||||||||
lim pF ( p) lim |
|
|
|
p3 |
|
0 f ( ) . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
p 0 |
p 0 p3 5 p |
1 |
|
||||||||
Пример 3.18. |
Найти |
|
преобразование Лапласа |
функции |
|||||||
f (t) t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1 0 значение функции |
f (0) , и функция не яв- |
||||||||||
ляется оригиналом (не выполняется условие определения оригинала). Однако при 1, Re p 0 интеграл F( p) t e ptdt схо-
дится. Вычисляя интеграл при помощи замены переменной pt = ,
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д( 1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
получаем |
F( p) t |
|
e |
|
dt |
|
|
|
|
|
e |
|
|
d |
|
|
|
или |
|||||||||
|
|
|
p |
1 |
p |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
( 1) ; |
1, Re p 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Г ( ) − гамма-функция Эйлера, |
которая может |
быть |
||||||||||||||||||||||||
найдена по таблице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
В частном случае Г (1/ 2) |
|
|
и |
|
|
|
|
. Основные изоб- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
p |
|
|
|
|
|||||
ражения для функций-оригиналов приведены далее в табл. 3.1.
58
3.4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ (ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА)
3.4.1. Простейшие приемы восстановления оригиналов
Во многих случаях восстановить оригинал f (t) по известному изображению F ( p) можно, используя таблицу соответствия оригиналов и изображений (табл. 3.1), а также их свойства.
Рассмотрим примеры нахождения оригинала изображения
F ( p) .
|
Пример 3.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F( p) |
|
p 3 |
|
|
|
p 3 |
|
|
|
|
p 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p2 4 p 13 |
p2 4 p 4 9 |
( p 2)2 9 |
||||||||||||||
|
p 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
p 2 |
|
1 |
|
3 |
|
|
||
|
|
( p 2)2 |
|
|
( p 2)2 9 |
|
|
|
|
||||||||
|
( p 2)2 9 |
9 |
|
3 |
|
( p 2)2 9 |
|||||||||||
e 2t 
310 sin( 3t ); arctg3.
Здесь использовали таблицу и свойство смещения изображе-
ния.
Пример 3.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) |
1 |
|
|
A |
|
B |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
( p 1)( p 2) |
p 1 |
p 2 |
|||||||||
1 |
|
|
A( p 2) B( p 1) |
, |
|
||||||
|
|
|
( p 1)( p 2) |
|
|||||||
|
( p 1)( p 2) |
|
|
||||||||
1 A( p 2) B( p 1), A 1, B 1,
F ( p) |
1 |
|
|
1 |
et e2t . |
|
p 1 |
p 2 |
|||||
|
|
|
||||
Эта же задача может быть решена и с использованием изображения свертки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
||
1 |
|
|
1 |
|
|
t |
|
t |
||||||
|
|
|
|
et e2 d et e d |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
p |
|
||||||||
|
p 1 |
|
2 |
0 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t ) et (et 1) e2t et . |
|||
|
|
|
e d et (et |
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F ( p) |
e p |
|
|
e 2 p |
(t 1) |
1 |
sin 2(t 2) (t 2). |
|||||||
|
|
p2 4 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь использовали таблицу и свойство запаздывания ориги-
нала.
Пример 3.22.
F ( p) |
p2 |
2 |
. |
||
p( p2 |
4) |
||||
|
|
||||
Первый способ основан на разложении изображения в сумму элементарных дробей:
F( p) |
p2 2 |
|
12 |
|
12 p |
|
1 |
|
1 |
cos2t. |
|
p( p2 4) |
p |
p2 4 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Второй способ также основан на разложении в сумму дробей и использовании свойства интегрирования оригинала:
F ( p) |
p2 |
2 |
|
|
p |
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
cos 2t, |
p( p2 4) |
p2 |
|
p( p2 |
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
4) |
2 |
|
2 |
|
|||||
так как
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
t |
|
|
1 |
|
t |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
sin 2tdt |
cos 2t |
|
|
cos 2t, |
||||||||
p( p2 |
|
2 p( p2 4) |
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
|
2 |
|
0 |
|
|
4 |
|
0 |
4 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
cos 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
60
3.4.2. Формула обращения
Пусть справедливо соотношение
f (t) F( p) .
Если функция-оригинал f (t) непрерывна в точке t и имеет в этой точке непрерывные конечные производные, то
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
f (t) |
|
|
F ( p)e ptdp . |
|
||||||
|
|
|
2 i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||
Здесь 0 , 0 − показатель роста функции-оригинала |
f (t) . |
||||||||||||
Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию |
|||||||||||||
g(t) f (t)exp( t) , |
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Функция F( p) F( i t) является преобразованием |
Фурье |
||||||||||||
для функции g(t) , так как |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F ( p) F ( i t) f (t)e ptdt f (t)e t e i t dt |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(t)e i t dt g(t)e |
i t dt S( ). |
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для обратного преобразования Фурье получаем |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
g(t) |
|
S( )ei td |
|
F ( i )ei td . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
Делая замену переменной p i , dp id , получаем |
|||||||||||||
|
|
|
t |
1 |
|
i |
F ( p)e pte t dp. |
|
|||||
f (t)e |
|
|
|
|
|||||||||
2 i |
|
||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|||
|
|
|
f (t) |
|
|
F ( p)e pt dp. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 i i |
|
|
|||||