Казунина Г. А

2

УДК 517.445

ББК 22.1

К 14

Рецензенты:

Кафедра высшей и прикладной математики ФГБОУ ВПО «Кемеровский институт (филиала) Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова»

Доктор физико-математических наук А. В. Ханефт (ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»)

Казунина Г. А. Математика: преобразования Фурье, преобразования Лапласа : учеб. пособие / Г. А. Казунина ; КузГТУ. − Кемерово, 2015. − 258 с.

ISBN 978-5-906805-08-9

Последовательно и доступно изложен теоретический материал по дискретным и интегральным преобразованиям Фурье и Лапласа. Теоретические положения сопровождаются большим количеством подробно разобранных задач, в том числе с применением к расчету электрических цепей. Приведены задания к каждому разделу для самостоятельной работы студентов.

Рекомендовано для студентов высших учебных заведений технических направлений подготовки бакалавров по дисциплинам «Математика», «Высшая математика».

Печатается по решению редакционно-издательского совета КузГТУ.

УДК 517.445 ББК 22.1 К 14

КузГТУ, 2015

Казунина Г. А., 2015

ISBN 978-5-906805-08-9

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.2.Ортогональность основной системы тригонометрических

2.5.Преобразования Фурье неабсолютно интегрируемых функ-

3.1.Оригинал и изображение по Лапласу. Условия существова-

3.2.Соответствие между преобразованиями Фурье и преобразо-

4

янными коэффициентами операторным методом

4.2.Запись решения линейных дифференциальных уравнений в

4.3.Запись решения линейного дифферециального уравнения

4.4.Решение систем линейных дифференциальных уравнений

5.1.Понятие функции дискретного аргумента и решетчатой

5.4.Восстановление последовательности (функции)

5.5Применение Z-преобразований для решения линейных раз-

5

Предисловие

Пособие посвящено специальным и практически важным для подготовки бакалавров направления «Электроэнергетика и электротехника» по образовательной программе «Электротехнические комплексы и системы» разделам курса математики: тригонометрические ряды и преобразования Фурье, интегральные и дискретные преобразования Лапласа ( Z -преобразования). Методы решения линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений, основанные на этих преобразованиях, находят широкое применение, например, в электротехнике, теории автоматического управления, теории надежности.

Уровень строгости изложения сориентирован на студентовбакалавров и предполагает знакомство с основами теории функций комплексной переменной, особенно с теорией вычетов.

Поскольку пособие рассчитано на организацию самостоятельной работы студентов, оно содержит кроме теоретического материала большое количество подробно разработанных задач, демонстрирующих технику конкретных вычислений, а также задания для выполнения самостоятельной работы и ответы к ним.

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

1.1. ПОНЯТИЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ (СПЕКТРАЛЬНОМ) АНАЛИЗЕ

Колебательные движения играют большую роль в самых различных областях техники (механика, теория упругости, электротехника). Простейшим периодическим движением является гармоническое колебание, которое математически задается функцией

характеристики которого однозначно определяются из соотношений:

7

Конечная сумма гармонических колебаний с периодом T 2l задает сложное колебательное движение:

называют коэффициентами тригонометрического ряда, а члены ряда

называют гармониками, соответствующими частоте k.

Отметим, что в физике представление сложного периодического движения как суммы (конечной или бесконечной) простых гармонических колебаний одного периода широко распространено. При этом выделение из сложного периодического движения составляющих его гармонических колебаний имеет большое практическое и теоретическое значение, в различных областях физики и техники для этой цели существуют специальные приборы (резонаторы, спектрометры). Дискретным частотным спектром периодической функции называют полученный при помощи этих приборов набор гармонических колебаний, который формирует сложный сигнал. В математике выделение гармонических составляющих делают, разлагая функцию в тригонометрический ряд, что и составляет основную задачу теории тригонометрических рядов Фурье.

8

1.2. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ

Систему функций 1(x) , 2 (x) ,…, n (x) , непрерывных на (a,b) , называют ортогональной на этом интервале, если для скалярного произведения функций справедливо

b

n (x), k (x) n (x) k (x)dx 0

a

при всех n k . Если при этом выполняется условие

b

n (x), n (x) 2n (x)dx 1,

a

то систему функций называют ортонормированной, а число

Покажем, что данному определению ортогональности на интервале ( l,l ) удовлетворяет основная система тригонометрических функций:

Можно сказать, что система функций является базисом бесконечной размерности в линейном пространстве функций, которые являются периодическими с периодом T 2l . Поэтому периодическая функция, заданная на ( l,l ), может быть представлена в виде линейной комбинации с коэффициентами ak , bk :

Предположим, что тригонометрический ряд (1.7) сходится и допускает почленное интегрирование. Интегрируя почленно ряд

(1.7), имеем

как интеграл от нечетной функции на симметричном интервале. В результате этих вычислений получаем, что