3. Случай многократных столкновений

Если α-частица пролетела вдали от центра атома, на расстоянии b ≈ 10^–6 м, то независимо от того, какой это будет атом (Томсона или Резерфорда), угол отклонения (однократное столкновение) будет мал, по порядку величины θ ≈ 10^–2 градуса. Поскольку расстояние между атомами вещества мишени ~ 10^–6 м, то это означает, что практически на каждом атоме, встречающемся α-частице вдоль траектории движения, будет происходить рассеяние.

Таким образом, многократные столкновения в мишени существуют, и число их в рассматриваемом случае примерно совпадает с числом атомных слоев. Хотя столкновение α-частицы в каждом столкновении (однократное столкновение) составляет 10^–2 градуса, можно ожидать, что в результате N-кратных (N большое число) столкновений конечный угол Θ будет произвольным, в том числе может быть и угол Θ = 180. Поскольку разброс по углам α-частиц, проходящих мишень, представляет совокупность большого числа независимых случайных процессов, то распределение по углам описывается законом нормального (гауссова) распределения:

, (60)

где – средний квадрат угла отклонения в многократных столкновениях, он пропорционален числу столкновенийN. Если – средний квадрат угла отклонения в однократных столкновениях, то

. (61)

Как показывает эксперимент, многократные столкновения дают заметный вклад при рассеянии на малые углы ~ 2–3.

4. Случай однократных столкновений

В случае модели Резерфорда однократные столкновения в мишени могут играть существенную роль в рассеянии. Если α-частица приблизится к ядру на расстояние ≤ 10^–9 м, то угол рассеяния θ, например для ядра золота, будет больше (для многократных столкновений средний угол рассеяния ~ 2–3). Картину рассеяния можно представить такой: α-частица большую часть пути в мишени двигается почти прямолинейно, словно скользя по атомам, затем, сильно сблизившись с ядром, отклонится на большой угол, после чего опять будет двигаться почти прямолинейно. Ясно, что вероятность такого сближения невелика.

Вероятность резерфордовского рассеяния под углом θ в элемент этого угла dθ есть отношение числа частиц dА, попавших в единицу времени в элемент dθ, к полному числу частиц А, упавших в единицу времени на мишень. Учитывая выражения (57) и (59), имеем

, (62)

где n₀ – концентрация атомов мишени; L – толщина; S – площадь мишени под пучком. Коэффициент 2π получается в результате интегрирования по углу φ. Поскольку для резерфордовской мишени угол вылета из мишени Θ = θ, то в дальнейшем угол рассеяния можно обозначить через Θ.

Опыт Резерфорда по зондированию α-частицами тонкой золотой мишени позволил установить ядерное строение атома и лег в основу современных методов исследования микромира. Основными узлами экспериментальной установки являются источник α-частиц и детектор, регистрирующий рассеянные под различными углами α-частицы. Задача состоит в определении углового распределения рассеянных частиц. Как было сказано, величиной, характеризующей это распределение, является дифференциальное сечение рассеяния dσ. Полученная для него Резерфордом теоретическая формула выведена для случая кулоновского взаимодействия частиц:

. (63)

Эта формула выведена в предположении, что масса α-частицы много меньше массы рассеивающего атома.