Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Псковский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Бандурин TOE_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

7.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

uCсв (0) = uC (0) − uпрС (0) = 200 − 200sin 90 = 0 В.

4. Рассчитывается операторная схема после коммутации для свободных составляющих, где источники ЭДС закорочены, ветви с источниками тока разорваны, Причем индуктивности и емкости изображаются так:

Iсв(p)

LiL

св (0)

D( p)

( p) =

= −

Uсв(p)

Iсв

uCсв (0)

p B( p)

LiLсв (0)

( p) = 0 .

св

Рис. 40

5.По теореме разложения и принципу наложения находим

		n =1	D( pk )
i(t) = iпр (t) + ∑				e pk t = 2sin(100t + 180 ) − 2 А.

		k =1	B' ( p )
			k
u	J	(t) = u (t) + u (t) = 282sin(100t + 45 ) В.
		прJ	св

Метод переменных состояния

Метод переменных состояния используется для численного расчета переходных процессов особенно в цепях высокого порядка (n>2), когда применение аналитических методов затруднительно. Суть метода заключается в сведения дифференциального уравнения электрической цепи n - того порядка к системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Система дифференциальных уравнений первого порядка должна быть разрешена относительно производных. Коэффициенты при производных должны быть равны единице. Такая форма записи называется форма Коши. В качестве переменных состояния выбираются величины, однозначно определяющие состояние цепи – величины, подчиняющиеся законам коммутации, т.е. – токи в

индуктивностях и напряжения на емкостях.

Т.о., составляются уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений в послекоммутационной цепи, записываются в нормализованной форме или форме Коши и решаются численно с помощью встроенных функций Mathcad или Matlab.

Уравнения состояния в матричной форме:

′	(1)
[X (t)] = [A] [X(t)] + [B] [F(t)],

[X′(t)] – матрица-столбец производных от токов в индуктивностях и

напряжений в емкостях (n - элементов);

A – квадратная матрица коэффициентов при переменных состояния (n – строк и n – столбцов);

[B] – прямоугольная матрица связи, состоящая из коэффициентов перед источниками ЭДС и тока (n – строк, m – столбцов);

[F(t)] – матрица-столбец (независимых) источников ЭДС и тока (m –

элементов);

D(x, t) – расширенная матрица.

Алгебраические уравнения для выходных величин в матричной форме:

[Y(t)] = [C]×[X(t)] + [D]×[F(t)].

(2)

[Y(t)] – матрица-столбец выходных величин (k - элементов);

[C]– прямоугольная матрица связи выходных величин с переменными состояния (k – строк, n – столбцов);

[D]– прямоугольная матрица связи выходных величин с источниками (k

– строк, m – столбцов).

Порядок расчета

1.ННУ. Определяем независимые начальные условия в цепи до коммутации iL (0− ) ; или uC (0− ) .

2.Для схемы после коммутации по законам Кирхгофа составляем уравнения (1-2).

3.Решаем уравнения (1-2) численно с помощью встроенных

функций Mathcad или Matlab.

Записываем окончательное решение и строим график.

Пример решения в Mathcad

Находим матрицу состояния A, используя операции Given и Find.

Составляем уравнения по законам Кирхгофа в послекоммутационной схеме, исключая в них все величины кроме переменных состояния UC , iL и их производных.

Given	R	L iL
	R	L iL
iL R + L diL + UC E	E	С
iL C dUC
	iL
	C
Ao(UC , iL , E) := Find(dUC , diL) →	C
Ao(UC , iL , E) := Find(dUC , diL) →	−(iL R + UC
	−(iL R + UC	− E)

	L

Записываем матрицу переменных состояния A и матрицу-столбец правых частей B.

A := augment(Ao(1 , 0 , 0) , Ao(0 , 1 , 0)) B := Ao(0 , 0 , E)

A →

B →

−1

−R

Дано:

E := 8

L := 100 10− 3

R := 220

C := 0.22 10− 6

B :=

A :=

−1

−R

Определяем собственные числа матрицы состояния A => λ.

−1.1 × 103 + 6.652i × 103

λ := eigenvals(A)

λ =

−1.1 × 103

− 6.652i × 103

Для проверки определяем корни характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p)

	1		solve , p	(−1100.)	− 6651.7 i
Z(p) := L p +		+ R	→

	C p		float , 5	(−1100.)	+ 6651.7 i

Для проверки определяем принуждённые составляющие.

iLпр := 0

Ucпр := E

−A	− 1		8
−A		B =
			0

Ucпр

=iLпр

0

Составляем расширенную матрицу.
D(t , x) := A x + B
τ :=	1				− 4

		→		τ = 9.091 × 10		:= 3τ	N := 100
		→		τ = 9.091 × 10	T	:= 3τ	N := 100
		max(Re(λ ))
x :=		0					i := 0 .. N
x :=	rkfixed		, 0	, T , N , D	t := x 0		i := 0 .. N
		0

Строим графики искомых UC , iL (переменных состояния).

20
(x 1 ) 10
i
0	0.001	0.002
	ti

			0.01
(	2 )		0
	x	i	0
		i
			0.01 0	0.001	0.002
				ti

Определим для приведенной схемы токи. Для этого нужно расширенную матрицу умножить на диагональную матрицу, состоящую из ёмкости индуктивности.

iC		C 0		(x 1 )		i
i	:=		D t ,
					(x 2 )
UL		0 L	i
i						i

				20
(	1 )			10
	x		i	10
UL		i
		i		0	0.001	0.002
				0	0.001	0.002
				10
					ti

0.01
(x 2 )
i
0
iCi
0.01 0	0.001	0.002
	ti

					Переходные и импульсные характеристики.
Переходные h(t) и импульсные K (t) характеристики используются
для расчета переходных процессов при нулевых начальных условиях и
импульсных воздействиях на линейные пассивные цепи. Для получения
этих характеристик применяются две специальные функции.
Единичная функция							1( t )
		0				t < 0;	1( t )
		0			при	t < 0;	1
1(t) =						t > 0.	1
		1			при	t > 0.	t
1(t)		=	.	1			t
			.	1
	.			p			0
	.


							Рис. 41
Единичный импульс							δ( t )
(дельта-функция)							t → 0
δ (t) = d1(t) ,							t
δ (t) = d1(t) ,
				dt			1
δ (t) . =. 1,							1
δ (t) . =. 1,							t
					∞		t
при этом					∫ δ (t)dt =1,		0
					−∞		Рис. 42
δ (0) = ∞

Переходная характеристика h(t) зависит от времени t, параметров цепи R, L, C и может быть безразмерной , иметь размерность сопротивления или проводимости. Переходные характеристики h(t) определяются экспериментально или аналитически, например, операторным методом при подключении ЭДС в 1 (В) или источника тока в 1 (А).

Если Y (t) – прямоугольный импульс источника ЭДС или тока

Y( t )

0t и

Рис. 43

Тогда X (t) – напряжение или ток

a)	на интервале 0 < t < tи		равен X (t) = Y h(t) ;
b)	при	t > tи	X (t) = Y h(t) − Y h(t − tи ) ,

где h(t) – переходная характеристика.

Импульсная характеристика К(t) – это реакция цепи в виде тока или напряжения на единичный возмущающий импульс δ (t) источника при нулевых начальных условиях.

Импульсная характеристика

K (t) = h(0) δ (t) + dh(t) dt

Пример

J( t )			R

				+
		R	С



					u C



			i( t )
	Рис. 44

Дано:
J (t) =	J	при	0 < t < tи
J (t) =
	0	при	t > tи
J = 2 А, С = 100 мкФ,
R = 100		Ом , tи = 0,01 с.
Определить:
h(t),	K (t) для i(t) ,
i(t) = ?

1.Переходную характеристику h(t) для i(t) найдем операторным методом.

1.1. ННУ.

uC (0) = uC (0− ) = 0

1.2. Операторная схема По правилу разброса

h( p) =			1			R	=
h( p) =				2R + 1			=
			p	2R + 1
						pC
						pC
=		RC			=	0,01		=	D1( p)
		RC				0,01			D1( p)

	1 + 2RCp					1 + 0,02 p			B1( p)

1		R
p		R
	R		1




			pC
			pC

h(p)

			Рис. 45
1.3. По теореме разложения
n=1		( pk )
h(t) = ∑	D1		e pk t = 0,5e−50t – переходная функция.
	'
	B ( p )
k =1 1		k

2. Для i(t)

найдем K (t) операторным методом

1.4. ННУ.

uC (0) = uC (0− ) = 0

1.5. Операторная схема

По правилу разброса

K ( p) = 1

RCp

2R +

1 + 2RCp

K ( p) =

2RCp + 1 − 1

= 0,5 −

0,5

2(1 + 2RCp)

1 + 2RCp

K (p)

= 0,5 −

0,5

= 0,5 −

D2 ( p)

1 + 0,02 p

B2 ( p)

Рис. 46

1.6. По теореме разложения

n =1

( pk )

K (t) = 0,5 δ (t) − ∑

e pk t

= 0,5 δ (t) − 25e−50t ,

k =1

( pk )

– импульсная характеристика.

3. Определяем ток

а) на интервале 0 < t < t

i(t) = J h(t) = 1 e−50t А;

б) на интервале t > tи

i(t) = J h(t) − J h(t − t

) = 1 e−50t − 1 e−50(t −tи ) А.

Метод интеграла Дюамеля

Интеграл Дюамеля используется для расчета переходных процессов в линейных пассивных цепях с нулевыми начальными условиями при воздействии импульса произвольной формы источника электр. энергии.

Пусть на такую цепь воздействует импульс источника Y(t) произвольной формы, который заменим ступенчатой функцией

Y(t )

Y(0)

Y(t)

0 τ τ

Рис. 47

Тогда ток или напряжение согласно наложению составят:

X (t) = Y (0) h(t) + ∑ X ,

где

X = Y h(t −τ ) = (

τ tgα ) h(t −τ ) = τ Y' (τ ) h(t −τ ) .

X (t) = Y (0) h(t) + ∫Y ' (τ ) h(t −τ )dτ – интеграл Дюамеля.

Если

X (t) является iL (t) или uC (t)

тогда X (t) = ∫Y (τ ) K (t −τ )dτ .

Y( t )

Если X (t) является сложной

Y1(0)

Y1( t )

Y2 ( t )

функцией:

тогда

а) на интервале 0 < t < t1

X (t) = Y1(0) h(t) + ∫Y1' (τ ) h(t −τ )dτ ;

б) на интервале t > t1

X (t) = Y1(0) h(t) + ∫Y1' (τ ) h(t −τ )dτ + [Y2 (t1 ) − Y1(t1 )] h(t − t1 ) +

+ ∫Y2' (τ ) h(t −τ )dτ .

Пример

Дано:

e(t) = 100e−200t

В,

e( t )

L =1 Гн,

Ом .

R = 100

i( t )

Определить:

Рис. 48

i(t) = ?

Переходную

характеристику

h(t)

для

i(t) найдем

операторным методом.

1.1. ННУ.

iL (0) = iL (0− ) = 0

	1.2. Операторная схема
По правилу разброса						R
	1
h( p) =		p	=		1		pL
h( p) =		RpL	=		p	R
	R +

						h(p)
	R + pL					h(p)
=	R + Lp			=	D( p)	Рис. 49
						Рис. 49
	p(R2	+ 2RLp)			B( p)
	p(R2	+ 2RLp)			B( p)

1.3. По теореме разложения

n=2	D( pk )			1		1	−	R		1
									t
h(t) = ∑		e pk t
			=		−		e 2L ,

k =1	B' ( p )			R		2R				Ом
	k

– переходная проводимость.

2.Расчет i(t) интегралом Дюамеля

i(t) = e(0) h(t) + ∫e′(τ ) h(t −τ )dτ

e(0) = 100 В,

e′(τ ) = −2 10

−200τ B

c ,

−

(t −τ )

= 0,005 − 0,0025 e−100(t −τ ) 1

h(t −τ ) =

−

e 2 L

Ом

−100(t −τ )

−100t

−200τ

i(t) = 0,5 − 0, 25 e

+ ∫ −2 10

0,005 − 0,0025 e

dτ =

= 0,5 − 0, 25 e−100t − 100∫e−200τ dτ + 50 e−100t ∫e−100τ dτ =

= 0,5 − 0, 25 e−100t

+ 0,5 e−200τ

− 0,5 e−100t

e−100τ

= 0,5 − 0, 25 e−100t + 0,5 (e−200t

− 1) − 0,5 e−100t

(e−100t − 1) =

= 0, 25 e−100t

А.

Проверка:

i(∞) = 0,

i(0+) = e(0) / 2R = 0.25 A.

Нелинейные цепи

Нелинейные резистивные элементы.

НРЭ имеют нелинейную ВАХ i(u) и необратимо преобразуют электрическую энергию в тепло. К нелинейным резистивным элементам относятся, например:

•лампа накаливания, имеет симметричную вольт-амперную характеристику;

i(u)

• полупроводниковый диод, с несимметричной ВАХ;

i(u)

	i								u
	i

			+ u					0
• биполярный транзистор, имеет семейство ВАХ;
							+	iK	iБ3
	iБ				K iK		+	iK (uK )
	iБ				K iK			iK (uK )
+									iБ2
		Б				uK
		Б
uБ				Э					iБ1
uБ				Э					iБ1
									iБ =0

0 uK

• фотодиод (активный НРЭ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.201950.08 Кб1АЯ 0762 Экзамен Актуальная версия.docx
#
11.11.2019223.23 Кб7Б3. Б4. История мировой (античной) рабочая прог...doc
#
11.11.2019183.3 Кб2Б3.Б 1_Введение в спецфилологию.ЕВК.ИВМ.doc
#
11.11.2019143.87 Кб3Б3.Б6. Древнерусская литература.doc
#
15.03.20162.08 Mб42Бандурин TOE 1.pdf
#
15.03.20167.22 Mб31Бандурин TOE_2.pdf
#
15.03.2016789.99 Кб74Бандурин Методичка расчет ПП.pdf
#
15.03.2016454.37 Кб62Бандурин Методичка расчет эм полей.pdf
#
15.03.20166.58 Mб45Бандурин Теоретич основы электротехн Теория электрич цепей электромагн поля С.А.Башарин 2004.djvu
#
15.03.20162.76 Mб679Бандурин ТОЭ-3 лекции.docx
#
10.04.2015392.84 Кб32БД теория_.docx