ledenev-a

где cijkl – модуль упругости; sijkl – коэффициенты податливости. Эти

формы соотношений сохраняются и для адиабатических процессов деформирования неоднородных тел. Адиабатические модули упругости и коэффициенты податливости мало отличаются от соответствующих изотермических величин.

∙ Постановка краевых задач Граничные условия

при заданных на поверхности s тела внешних поверхностных

σij n j s = qi (xs ) ,

–при заданных на границе тела перемещениях

Уравнения движения в перемещениях

–для анизотропного неоднородного упругого тела

–для изотропного неоднородного упругого тела

Уравнения равновесия в перемещениях

61

Постановка статической задачи в перемещениях

Постановка динамической задачи в перемещениях

62

где V[uk ] – функционал, равен работе напряжений σij на деформациях εij

V [uk ] = ∫Wdv,

v

здесь W – плотность потенциальной энергии деформации.

Вариационное уравнение Лагранжа

здесь напряжения выражены через перемещения в соответствии с принципом Лагранжа

Вариационная постановка задачи теории упругости неоднородных тел

ui su = ϕi (xs ).

∙ Общие теоремы

Рассмотрим краевую задачу упругого неоднородного тела, занимающего ограниченную область v пространства, граница s которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.

Здесь λ(xs ) и μ(xs ) непрерывны, имеют непрерывные частные производные в области v + s и удовлетворяют в этой области условиям

λ+ 2 μ > 0, μ > 0. 3

63

Теорема единственности. При заданных массовых Fi (xs ) и по-

верхностных qi (xs ) силах и перемещениях ji (xs ) краевая задача оп-

ределяет единственное решение sij (xs ) (если оно существует) в клас-

се непрерывных с непрерывными производными в области v + s функций. При su ¹ 0 , единственность в том же классе функций имеет место и для перемещений ui (xs ) .

Теорема взаимности Бетти. Работа сил rFi , qi на перемещени-

ях ui′ , вызванных второй системой сил rFi′ , qi′ , равна работе сил rFi′ ,

Тензор Грина. Единственное решение краевой задачи при дополнительных условиях: перемещение и поворот в точке отсутствуют

Gik (xs , xs ) представляет собой тензор Грина краевой задачи упругости

неоднородных тел, соответствующей заданию на границе тела силовых граничных условий. Он определяется формой тела и упругими модулями l(xs ) , m(xs ) и не зависит от внешних сил.

· Метод возмущений

Метод возмущений – один из наиболее эффективных общих методов теории упругости неоднородных тел, применимый при произвольной неоднородности упругих свойств.

Рассмотрим краевую задачу для неоднородного анизотропного упругого s тела при заданных на поверхности тела силах плотностью qi (xs )

64

здесь тензор упругих модулей

Решение исходной краевой задачи

3.2.ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

∙Постановки основных краевых задач Силовые граничные условия на контуре L

σ11n1 + σ12 n2 = q1, σ21n1 + σ22 n2 = q2

или

65

σij n j |L = qi (xs ) ,

где n1, n2 – компоненты внешнего единичного вектора, нормального к контуру L,

кинематические условия

ui |L = ϕi (xs ) ,

смешанные условия

Постановка плоской задачи в напряжениях при силовых граничных условиях на контуре L

Условие совместности

Уравнения равновесия

∂σij + ρF = 0.

∂x j i

Закон Гука

εij = γσnnδij − q (σnnδij − σij ).

Постановка плоской задачи относительно функций σij , ui

внутри области s

66

на контуре L области

sij n j |Lσ = qi (xs ) , ui |L = ji (xs ) .

· Функция напряжений в плоской задаче

Тензорная форма функции напряжений

Дифференциальное уравнение относительно функции F(x1, x2)

· Метод возмущений в плоской задаче

Краевая задача, заданная для напряжений sij дифференциальными уравнениями и граничными условиями

67

s0

ij = 0, Ñ2s0 , s0 n = 0 ,

¶x j nn ij j L

краевая задача для sijk

Краевая задача, заданная для функций напряжений F (x1, x2 ) дифференциальными уравнениями и граничными условиями:

где f1 , f2 – заданные на L функции. Решение задачи

∞

F = ∑ck Fk ,

K =0

68