ledenev-a

Тензор упругих модулей

cijlm (xs ) = cijlm0 + cijlm′ (xs ) ,

где cijlm0 – константы.

Перемещения ul (xs )

∞

ul = ∑u lk (xs ) ;

k =0

ul0 (xs ) = ∫Gij (xs , ξs )ρFj (ξs )dv + ∫Gij (xs , ξs )q j (ξs )ds;

3.4. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ (А.В. Андреев, 1981 г.)

Малые перемещения материальных точек определяются двумя векторными полями:

U = U (x, y, z); Φ = Φ(x, y, z),

где U и Φ – векторы, характеризующие малые перемещения и малые жесткие повороты.

В этой модели возникает напряженное состояние с несимметричным тензором напряжений ( txy ¹ tyx ). В зонах концентрации напря-

жений с высоким градиентом происходит моментная депланация сечений. Моментный депланационный сдвиг γd отличается от обычного,

что образуется в главных осях вследствие разницы величин поперечных перемещений вдоль одной из главных осей. Обычный сдвиг возникает в осях, повернутых по отношению к главным. В классической теории упругости приняты симметричный тензор деформаций и отсутствие сдвига в главных осях.

71

Приведем основные уравнения плоской (в осях xy) задачи мо- ментно-депланационной теории упругости

В моментно-депланационной теории упругости при плоской деформации три компонента деформации εxs , ε ys , γ xys выражаются через

четыре функции u(x, y), υ(x, y), ud (x, y), υd (x, y).

Если обычные напряжения σx , σ y , τxy , а депланационные σdx , τdy , τdxy , τdyz , то результирующие уравновешивающие напряжения

где γ′d xy , γ′d yx – деформации депланационного сдвига осей x и y.

72

Глава 4. АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ

По Л.И. Седову (1976) среда изотропна, если компонеты тензоров, определяющих ее свойства, не меняются при любых ортогональных преобразованиях, т.е. свойства одинаковы по всем направлениям.

В анизотропных средах свойства в разных направлениях разные. Теория анизотропных сред развивалась в трудах Н.Г. Микляева и

Я.Б. Фридмана (1969), А.Л. Рабиновича (1970), Е.К. Ашкенази (1972), С.Г. Лехницкого (1977), А.В. Павленко (1982), С.А. Амбарцумяна

(1987), Е. Рейснера (1961), А.А. Трещева (2008 – 2010) и др.

В [79] рассмотрено влияние неоднородности грунтовых оснований на распределение напряжений. В первую очередь приведены данные для оснований с горизонтальными малодеформируемыми подстилающими слоями. Это работы О.Я. Шехтер (1937), К.Е. Егорова (1939 – 1960), М.И. Горбунова– Посадова (1946 – 1953), И.К. Самарина и Г.В. Крашенинниковой (1930).

Так, для погонной сосредоточенной нагрузки максимальное сжимающее напряжение при μ = 0,5

sh = 0,822 P , h.1

где h – мощность сжимаемого слоя.

Так же в [79] обсуждается влияние толщины сжимаемого слоя на распределение контактных напряжений.

В лаборатории ФГБОУ ВПО «ТГТУ» проведены многочисленные эксперименты по изучению влияния угла наклона подстилающего слоя, его толщины шероховатости жесткого слоя, эксцентриситета и угла наклона силы на характер перемещения моделей и несущую способность основания.

По данным натурных наблюдений установлено влияние наклона верхнего, более сжимаемого слоя на характер повреждений зданий.

Для анизотропных сред Ex ¹ Ey ¹ Ez , vx ¹ vy ¹ vz .

4.1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

· Напряженное и деформированное состояния сплошного тела [30, 38, 73, 75, 76].

Ряд предложений и ограничений

1. Тело является сплошным (сплошной средой). Напряжения на любой площадке внутри и на поверхности являются силами, отнесенными к единице площади. Моментными напряжениями, которые вво-

73

дятся в ряде современных работ, пренебрегают, как это делается в классической теории упругости.

2.Связь между компонентами деформации и проекциями перемещения и их первыми производными по координатам является линейной, т.е. рассматривают только малые деформации.

3.Между компонентами напряжений и деформаций существуют линейные зависимости, т.е. материал следует обобщенному закону Гука. Коэффициенты этих линейных зависимостей могут быть как постоянными (однородное тело), так и переменными функциями координат, непрерывными или прерывными (в случае однородного тела).

4.Начальных, т.е. существующих без внешней нагрузки напряжений, в том числе и температурных, не учитывают; конкретных задач динамики не рассматривают.

Связь между составляющими деформации и проекциями перемещения в трех системах координат при малых деформациях

1. Декартова система (x, y, z):

74

Связь между составляющими деформации и проекциями перемещения в декартовой системе координат при больших деформациях

Дифференциальные уравнения равновесия и движения сплошной среды в трех системах координат

1. Декартова система координат:

75

Уравнения движения сплошной среды в декартовой системе координат при малых деформациях

∙ Обобщенный закон Гука

εx = a11σ x + a12σ y + ... + a16τxy ,