ledenev-a

–закон сохранения энергии для тел конечных размеров с надежной энергетической изоляцией.

Кроме того, при решении прикладных задач инженерных дисциплин используются инварианты, вытекающие непосредственно из опытов или из следующих за ними обобщений. К таким инвариантам, например, относятся:

–применяемые повсеместно инварианты аффинноподобия;

–энергетические инварианты теории прочности, в частности,

опостоянстве потенциальной энергии разрушения материала вне зависимости от режима нагружения М. Рейнера;

–о независимости площади петли гистерезиса от частоты при стационарных колебаниях тел Н.Н. Давиденкова.

Балки с гибкой стенкой (В.В. Бирюлев и др., 1990) – конструкции, которые могут эксплуатироваться после потери местной устойчивости стенки (образование «хлопунов»). Установлено, что такие балки работают достаточно надежно, а после снятия нагрузки хлопуны исчезают. Нагрузка, вызывающая потерю местной устойчивости, существенно меньше предельной. Форма потери устойчивости зависит от действующих нагрузок (M, N, Q) и их сочетаний.

Выделены следующие стадии работы балки. Первая стадия почти не отличается от работы балки с обычной стенкой и оканчивается потерей местной устойчивости стенки. Далее (вторая стадия) наступает стадия закритической упругой работы стенки. Между деформацией стенки и нагрузкой устанавливается нелинейная зависимость. Эта ста-

дия завершается в момент достижения напряжения σт в отдельных точках стенки или поясах. В третьей стадии развиваются пластические деформации в стенке и поясах. Балка переходит в предельное состояние. Затем (четвертая стадия) происходит потеря несущей способности.

В общем случае форма потери устойчивости зависит от соотношения изгибающих моментов и поперечных сил, размеров элементов.

Хрупкое разрушение стальной конструкции является одним из самых опасных видов предельных состояний первой группы. Теориями хрупкого разрушения являются: дислокационная, энергетическая, статическая, классическая – сопротивление отрыву.

Основными факторами хрупкого разрушения сварных конструкций являются (В.В. Бирюлев и др., 1990): чувствительность стали к надрезам, конструктивные надрезы, остаточные сварочные напряжения, старение и наклеп стали, усталостные трещины, дефекты сварных швов, перегрузки и др. Факторы перечислены по мере уменьшения частоты случаев.

Отмечается повышение вероятности хрупкого разрушения элементов конструкции с ростом уровня номинальных растягивающих

181

напряжений. С увеличением срока эксплуатации конструкции до отказа резко уменьшается его долговечность с хрупким разрушением элементов, повышается уровень номинальных напряжений, снижается температура разрушения элементов.

К факторам хрупкого разрушения, кроме того, относят: снижение температуры и скорости деформирования, реализацию условий однородного плоского или объемного напряженного состояния при растягивающих главных напряжениях, концентрацию напряжений как неоднородное напряженное состояние при двухосном и трехосном растяжении.

Вязкость и пластичность заметно уменьшают влияние конструк- тивно-технологических несовершенств и дефектов конструкций на их прочность.

В работе В.В. Бирюлева и др., 1990, приведены схемы искусственного регулирования напряжений в эксплуатируемых металлических конструкциях путем: регулирования схемы нагрузки; предварительного выгиба конструкции; введения дополнительного изгибающего момента; изменения уровня опор; предварительного напряжения сжатых стержней; уменьшения расчетной длины сжатых стержней; регулирования характеристик цикла напряжения; регулирования напряжений с использованием предварительно напряженных высокопрочных элементов.

Сдвиговые деформации. Упругость, пластичность, вязкость.

Обратимся к А. Надаи [48 ]. Для абсолютно твердого тела

γi ≡ 0; εm ≡ 0 .

Для идеальной паскалевской жидкости

τi ≡ 0; εm ≡ 0 .

Другие идеализованные тела лежат в промежутке между этими. Упругость – способность тела восстанавливать свою форму и

объем после прекращения действия сил. Реологическое уравнение состояния

τi = Gγi , σm = Kεm .

Нелинейная деформация сдвига. Для сложного напряженного состояния

τi = ϕ(γi ) = G(γi ) γi .

Для чистого сдвига

τ = ϕ(γ) .

182

Нелинейные деформации включают упругую и пластические части

γi = γеi + γip ; γie = τi / G; γip = f (τi ) .

Такое деформирование называют пластическим с упрочнением dτi / dγi > 0 .

Нелинейная объемная деформация. Теория пластичности исхо-

дит из условия, что объемные деформации являются упругими и полностью обратимы, т.е. подчиняются закону Гука для идеально упругого линейно-деформируемого тела

τi = Gγi ; σm = Kεm .

Для грунтов объемные деформации нелинейные и частично необратимые

где K (εm ) − переменный модуль объемной деформации.

Полная объемная деформация складывается из обратимой и остаточной

εm = εеm + εmp .

Физическая и геометрическая нелинейность. Первая из них означает изменяемость физических характеристик (модуля упругости, коэффициента Пуассона или коэффициента вязкости и др.) в зависимости от напряжения, деформации или времени. Нелинейные соотношения могут наблюдаться и при постоянных значениях этих характеристик. К примеру, связь между удлинениями и конечными деформациями. Это – геометрическая нелинейность.

Зависимости между напряжениями и деформациями. По А.А. Ильюшину (1947)

τi = Gγi (1 − ω) ,

где ω − безразмерная функция, показывающая, насколько кривая деформирования отличается от прямой ( 0 ≤ ω ≤ 1; ω = 1 − идеальная пла-

стичность).

По Баху (1924)

τi = Aγim ,

где А – коэффициент деформирования; m ≤ 1 – коэффициент упрочнения.

183

Для чистого сдвига

τ = Aγm .

Иногда применяют комбинированные зависимости, например,

γi = τi / G + (τi / A)1/ m .

Вертикальные напряжения в основании конечной толщины

(К.Е. Егоров, 1992). В основу положена формула Ж. Буссинеска (1885)

расстояние в горизонтальной плоскости от линии приложения P. Последние две формулы позволяют определить вертикальные на-

пряжения на глубине H от действия внешней нагрузки, равномерно распределенной по площади прямоугольника

σz = σ0 − σ = α(n, m) P ,

где σ0 – вертикальное напряжение без учета трения между слоями m = H / h; n = B / A .

184

Определение реологических характеристик глинистых грун-

тов (С.С. Вялов, 1992). Работа построена по результатам опытов на

растающие напряжения); dγ / dt = const (постоянная скорость дефор-

(динаметрические испытания в условиях релаксации напряжения. Известны следующие технические теории для описания процесса

ползучести:

деформационного старения

γ& = f (τ, t) ,

течения

γ& = f (τ, t) ,

упрочнения

γ& = f (τ, y) ,

наследственности

γ1 = ∫0t f1 (γ& / τ) f2 (τ) dτ ,

где γ& – скорость деформирования; τ – сдвиговое напряжение.

По данным С.С. Вялова (1992), при τ = const все теории дают идентичные результаты, но разные при переменных нагрузках. Лучшее совпадение с опытом дает теория упрочнения в форме (см. также С.С. Вялов, 1978)

Комбинированное реологическое уравнение длительной прочности и условия прочности Мора– Кулона имеет вид

где первый член правой части определяет сцепление c(t), а второй – силы трения при постоянном значении ϕ; t f – разрушающая нагрузка;

t1 ≤ 1 .

185

Взаимодействие балки с нелинейно-неупругим неоднородным основанием во всем диапазоне нагружения (С.Н. Клепиков,

Я.Е. Слободян, 1989). Фундаменты моделируются линейно-упругими горизонтальными стержнями, работающими на изгиб. Непрерывное основание аппроксимируется дискретной моделью в виде нелинейнонеупругих вертикальных опорных стержней единичной длины, отражающих деформационные свойства грунта при сжатии. Диаграмма деформирования какого-либо участка поверхности основания, заменяемого опорным стержнем, описывается кривой гиперболического типа.

Используется шаговый метод нагружения. Компоненты напря- женно-деформированного состояния (НДС) на каждой ступени вычисляются методом конечных элементов в перемещениях.

Коэффициент жесткости линейно-деформируемого i-го участка основания

K i = σi / si , 0 ≤ σi ≤ Ri ,

где σi – среднее напряжение под подошвой фундамента от силы Р;

Ri – расчетное сопротивление i-го участка основания; si – осадка

i-го участка, определяемая с учетом неоднородности основания и влияния соседних фундаментов.

Коэффициент жесткости (касательной) нелинейно-деформируе- мого i-го участка основания Ki определяют из уравнения

где σпpi – предельное сопротивление i-го участка основания при вертикальной нагрузке; Sпp – предельное значение совместной деформа-

ции (осадки) основания.

Коэффициент жесткости при нагрузке

K pi = 4Ki .

Уравнение равновесия системы «нелинейно-неупругое основание– линейно-деформируемая балка» на n-й ступени нагружения

186

приращений заданных узловых нагрузок от веса здания P.

8.4. ТЕОРИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

Материал изложен на основе обзора, опубликованного в книге «Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976.

Теория находит применение в различных областях техники, особенно в машиностроении и строительстве. Она дает возможность найти распределение напряжений в контактирующих областях, выявить места концентрации напряжений. Рассматриваются среды упругие, анизотропноупругие, вязкоупругие или пластические, сплошные и с разрезами или трещинами. Приводятся решения статических и динамических контактных задач.

Контактные задачи для полуплоскости. Для плоских контакт-

ных задач полная система уравнений имеет вид

Эти уравнения получены для малых деформаций, когда компоненты смещения (разность координат точки до и после деформации) и их производные настолько малы, что их квадратами и производными можно пренебречь.

Неизвестными являются: σ x , σ y , τxy , u, υ .

Контактные задачи для полупространства. Компоненты пере-

мещения и напряжения в упругом полупространстве при отсутствии на границе сил трения определяются по формулам:

187

где V(x, y, z) – искомая гармоническая функция.

На полупространстве z < 0 давит штамп, ограниченный поверхностью z = f0 (x, y). Под действием нагрузки штамп переместится поступательно и повернется.

Уравнения равновесия штампа имеют вид

P = ∫∫s p(x, y)dxdy; M x = ∫∫s yp(x, y) dxdy; M y = ∫∫s xp(x, y) dxdy ,

где S – площадь контакта (основания штампа).

Рассмотрим круговой штамп. Динник А.Н. (1906) исследовал распределение напряжений в зоне контакта. Максимальные касательные напряжения находятся на некоторой глубине под подошвой штампа. Штаерман И.Я. (1949) исследовал влияние радиуса закругления края цилиндрического штампа на распределение давления под краем штампа. Ряд задач был решен А.И. Лурье (1939), В.М. Абрамовым (1939),

Л.А. Галиным (1947, 1948, 1953), Н.А. Ростовцевым (1953), В.С. Губенко (1959 – 1971) и др.

Контактные задачи для линейно-деформируемого основания.

Определяют контактные напряжения и смещения поверхностных точек

188

вне зоны контакта. Контактную задачу формируют как поиск функций, определяющих все три смещения любой поверхностной точки (x, y) основания от воздействия произвольно ориентированной единичной силы, приложенной в некоторой другой поверхностной точке (ξ, η) .

В общем случае функция представляет матрицу третьего порядка

R jk (x, y; ξ, η),

i, k = 1, 2, 3.

Ось z направлена вниз и совпадает с внутренней нормалью к поверхности основания. Первый индекс показывает по направлению какой оси действует единичная сила, а второй – по направлению какой оси рассматривается смещение точки.

Если контактная задача ставится без учета сил контактного касательного взаимодействия, то достаточно знать одну компоненту матрицы R33 (x, y; ξ, η) = R(x, y; ξ, η) – вертикальное смещение от вертикальной силы.

Эту составляющую называют ядром сечения (Б.Г. Коренев, 1954, 1960). Например,

θ ϕ

R33 (x, y; ξ, η) = K (x − ξ; y − η) = 2π ∫0 h(t)J 0 (Rt) dt,

где R = (x − ξ)2 + ( y − η)2 .

Вслучае плоских задач, в которых контактируемое тело обеспечивает условия плоской деформации для основания (перемещения поверхностных точек являются функциями одной переменной, например x, а область контакта не ограничена вдоль оси у).

Вслучае пространственных задач областью контакта может быть: вся плоскость, полубесконечная плоскость, узкая полоса, круговая и кольцевая области, эллиптическая и прямоугольная области.

Рассматривают задачи с учетом и без учета сил сцепления и трения. К примеру, для эллиптической области интегральное уравнение часто принимают в виде

Приводят решения и динамических контактных задач.

Так, решения плоских задач используют при расчете балок и плит, гидротехнических сооружений, отдельных деталей машин. К пространственным динамическим контактным задачам относят расчет фунда-

189

ментов под машины, гидротехнических сооружений, многих деталей машин.

Рассматривают следующие динамические воздействия: действие периодически изменяющейся нагрузки, движение по границе среды, колебания (например, изгибных и крутильных) конструкций, действие ударной нагрузки (например, действие на поверхности или внутри мгновенного сосредоточенного импульса), кручение или действие крутильных колебаний.

Температурные контактные задачи. Такие задачи возникают при возведении массивных бетонных и железобетонных конструкций (значительный рост температур в период строительства и твердения и медленное последующее охлаждение), в машиностроении и др.

Например, рассматривают задачу о вдавливании штампа с плоским основанием в упругую полуплоскость (плоская задача) с учетом изменения температуры границы.

Формула, устанавливающая связь вертикальных перемещений ϑ(x, 0) на границе полуплоскости с нормальными напряжениями

σ y (x, 0) и температурой T(x, 0):

где ν = a(3λ + 2μ); a – коэффициент линейного расширения. Граничные условия:

Контактные задачи для линейно-вязких тел. Рассматриваются контактные задачи для тел, обладающих свойствами ползучести (релаксации). Если механические свойства материала (полимера) не изменяются по времени, то их называют упругонаследственными и описывают теорией наследственной упругости.

190