ledenev-a

В случае, если огибающую аппроксимировать наклонной прямой, то

Для идеально сыпучего грунта

sin ϕ = σ1 − σ3 .

σ1 + σ3

По условию Сен-Венана для идеально связных грунтов

σ1 − σ3 = 2c = 2τs .

Теория Мизеса. Интенсивность касательных напряжений есть величина постоянная

τi = τs = const ;

(σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ2 )2 = 6τ2s .

По условию Мизеса– Шлейхера

τ1 = f (σm ) ,

где σm – среднее нормальное напряжение.

Боткин А.И. предложил (1940) для грунтов линейный вид этой зависимости

τi = (H + σm ) tgψ ,

где H = τn / tgψ – параметры прямой τi − σm и ψ – угол трения на

октаэдрической площадке.

Для одноосного сжатия– растяжения (условие Мизеса– Губера)

(σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ2 )2 = 2τ2s .

В пространстве главных напряжений σi условие предельного состояния выражают в виде предельной поверхности

Φ(σ1, σ2 , σ3 ) = 0.

Боткин А.И. использовал (1940) понятие об октаэдрических (равнонаклонных к главным осям) площадках

τoct = (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ2 )2 ;

141

σoct и koct – характеристики прочности. По Малышеву М.В. (1994)

c ctgϕ = Koct ctgδoct ; G = τoct / γ oct .

До наступления предельного состояния напряженное состояние определяется тензором σij . После достижения напряжениями гипер-

поверхности fτ (σij ) возникают пластические деформации. Они могут

происходить с упрочнением или без него. Условие прочности записывается в виде

fτ (σ1, σ2 , σ3 ) = 0.

В шестимерном пространстве компонентов напряжений

fτ (σij ) = 0.

Это условие является уравнением гиперповерхности Στ , от которой начинается проявление пластичности.

Размеры, форма и положение поверхности пластичности зависят от всех типов загружения. По постулату Друкера эта поверхность является выпуклой.

Ассоциированный закон пластического течения. Математи-

ческое выражение закона, совмещенное с условием прочности,

dεijp = ∂f (σij ) dλ ,

где f (σij ) – пластический потенциал; dλ – множитель Лагранжа.

В процессе пластического деформирования не происходит изменение объема, т.е.

dεijp = 0.

Для материалов с упрочнением

142

Линии скольжения. По Курдюмову В.И. (1916) линии скольжения – геометрическое место плоскостей скольжения эллипсов напряжений в различных точках сыпучего тела. Дальнейшее развитие теории предельного равновесия (В.В. Соколовский 1942, 1954, 1960 и В.Г. Березанцев 1952, 1970) связано термином линий скольжения как линий, касательные к которым совпадают с плоскостями скольжения и вдоль них выполняется условие предельного состояния Кулона

τn = σn tgϕ + c.

Имеется два семейства линий скольжения. Гениев Г.А. считает (1982), что видимые смещения происходят вдоль одного из них, совпадающего с направлением максимальных скоростей деформаций сдвига. Шильд Р. (1975) теоретически показал, что векторы скоростей в зоне максимального напряженного состояния не совпадают с линиями скольжения, а отклоняются от них на угол φ. Кинематическая схема выпирания по Прандлю– Шильду рассмотрена М.В. Малышевым (1994).

Подробную информацию о линиях скольжения в металлах можно получить в книгах Л. Прандля (1948), А. Надаи (1954), В. Прагера, Ф.Г. Ходжа (1956), В.В. Соколовского (1969), Н.Н. Малинина (1975) и др.

По теории Мора– Кулона предельное состояние наступает при определенном соотношении между интенсивностью касательных напряжений и средним нормальным напряжением.

В предельном состоянии в каждой точке грунта имеются две сопряженные площадки скольжения, наклоненные под углом (45 – φ/2) к линии действия максимального и (45 + φ/2) – минимального главного напряжения.

Условия прочности для сыпучих грунтов имеют вид

Для связных грунтов:

где σc = c / tgϕ – давление связности.

143

По решению Прандтля (1921) и Рейсснера (1920) предельное давление на невесомый связный грунт (γ = 0) в условиях плоской задачи определяют по формуле

Для идеально связного грунта (φ = 0, с ≠ 0), (Прандтль, плоская задача)

pu = 5,14c + q.

Для водонасыщенных связных грунтов (А.С. Строганов, осесимметричная задача, 1977)

pu = 6,025c + q.

По решению К. Терцаги (1948) угол наклона грани уплотненного ядра к подошве φ. Предельное давление на весомое основание:

pu = N γ γв + N q γh + Nc c. 2

По решению В.В. Соколовского (1942) при действии наклонной нагрузки на основание ленточного фундамента (рис. 7.4) в любой точке основания грунт находится в предельном состоянии.

Рис. 7.4. Расчетная схема к задаче В.В. Соколовского

144

Предельное давление вычисляется по формуле

pu = Nγ γ у + Nq q + Ncc,

где коэффициенты несущей способности – N γ , Nq , Nc = f (ϕ).

Предельное давление под жесткими фундаментами определяют с учетом уплотненного ядра под подошвой. По решению В.Г. Березанцева [3] угол наклона уплотненного ядра к подошве принимается рав-

ным 45°.

При этом предельное давление для круглого фундамента определяется по формуле

pu = N γ,c γD + N q,c γ′d + Nc,c c, 2

где N γ, c , N q,c , Nc, c – коэффициенты несущей способности, опреде-

ляются по таблицам; γ и γ′ – удельный вес грунта ниже и выше по-

дошвы фундамента; d – глубина заложения подошвы фундамента. Для определения несущей способности основания при действии

на ленточный заглубленный фундамент вертикальной нагрузки, при наличии в грунте трения и сцепления, используется трехчленная формула в виде

Fu = 1 γbiN γ + qNv + c + Nc . bl 2

Величины коэффициентов несущей способности N γ , N q , Nc ,

вычисленные по решениям У. Ренкина (1856), К. Терцаги (1925), В.Г. Березанцева (1952), Г.Г. Мейергофа (1973), Л. Прандая– Х. Дейснада (1920), В.В. Соколовского (1954), Й. Бринч– Б. Хансена (1957), А. Како– Ж. Керизеля, приведены в работе М.В. Малышева (1994). Коэффициенты N γ , N q , Nc = f (ϕ). Результаты Й. Бринч– Б. Хансена час-

тично непользованы и в наших нормах:

где коэффициенты, обозначенные буквой i, связаны с наклоном нагрузки, s – с формой подошвы фундамента;

145

В основу ряда расчетов положено условие пластичности. Приведем некоторые положения В.Г. Березанцева (1965) по рас-

чету предельного давления на основание для фундаментов глубокого заложения в случае значительного развития областей сдвига.

Установлена зависимость между относительной осадкой S = S/B и степенью развития областей сдвигов грунта. Результаты опытов приведены в табл. 7.1 и на рис. 7.5, 7.6.

В случае осесимметричной задачи решение одного из уравнений предельного состояния при задании очертания линий скольжения представлено в виде

σu = Bk γB,

где В – ширина фундамента, Bk = Bk (ϕ, D / B) – коэффициент, приведенный в табл. 7.1.

Рис. 7.5. Расчетная схема для определения критического давления в случае плоской задачи (L/B > 4)

146

7.1. Результаты полевых опытов

147

Дилатация грунтов. Это явление связано с изменением объема грунта при сдвиге. Часто происходит разрыхление. Пластическое деформирование в условиях плоской деформации описывают уравнением

ε1p, 2 = λ (Л* ±1) ,

2

где ε – пластические составляющие главных деформаций; Л* – параметр дилатации; λ – малая скалярная величина.

Если течение происходит при постоянном объеме, то

ε1p, 2 = ± λ , 2

а на площадках, наклоненных под углом 45° по отношению к осям главных напряжений,

В [82] приведены уравнения текучести (предельного напряженного состояния) жесткопластических тел (сред) (табл. 7.2).

Концентрация напряжений. Нарушения гладкости формы конструкции, наличие отверстий, трещин, выточек приводит к повышению местного уровня напряжений, создает неблагоприятные условия работы материала, приводит к преждевременному разрушению.

Так, наличие отверстия в растянутой пластине вызывает резко неравномерные нормальные напряжения (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Распределение напряжений в сечении с отверстием

149