ledenev-a

при Эйлеровом представлении (рис. 2.5):

Рис. 2.5. Начальное и конечное положения двух линейных элементов (первоначально параллельных декартовым осям) в поле однородной деформации при Эйлеровом представлении деформации

51

∙ При малых поворотах

Линейные деформации. Если производные в поперечном направлении достаточно малы, чтобы их квадратами можно было пренебречь по сравнению с первой производной в направлении рассматриваемого перемещения. При этом предположении уравнения для линейных деформаций принимают следующий вид:

при Лагранжевом представлении:

при Эйлеровом представлении:

∙ При малых деформациях

Линейные деформации

при Лагранжевом представлении:

52

Деформации сдвига

при Лагранжевом представлении:

при Эйлеровом представлении:

∙ При малых поворотах и малых деформациях

Линейные деформации

ε x = ∂u / ∂x.

Деформации сдвига

2.3. УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ СЕН-ВЕНАНА

53

2.4. ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Рассмотрим теорию Л.И. Седова [30]. Движения определяются по отношению к некоторой прямолинейной или криволинейной системе координат. Линии, на которых какие-либо координаты сохраняют постоянные значения, называют координатными. Касательные к координатным линиям образуют триэдр. Если координатные линии

x1, x2 , x3 прямые, то система координат прямолинейная, если кривые – криволинейная.

Движение точки относительно системы координат x1, x2 , x3

xi = f i (t) , i = (1, 2, 3) .

Функции xi называются законом движения точки.

Сплошная среда – непрерывная совокупность точек. Координаты точек в начальный момент времени t0 обозначают a, b, c или

Если a, b, c фиксированы, а t – переменная, то будет закон движения одной точки; а если a, b, c – переменные, а t – фиксирована, то функции дадут распределения точек континуума в пространстве в данный момент времени; если a, b, c и t – переменные, то формулы опреде-

ляют движение сплошной среды. Основная задача механики сплош-

ной среды заключается в определении ранее записанных функций.

Лагранжевы переменные. Координаты a, b, c или ξ1, ξ2 , ξ3 ,

индивидуализирующие точки контура и время t, называют переменными Лагранжа. В кинематике сплошную среду рассматривают как абстрактный образ, а не только как материальное тело. При изучении деформаций опираются на аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Функции, входящие в закон движения континуума, имеют непрерывные частные производные по всем аргументам.

Решение ранее приведенного уравнения можно представить в виде

ξi = ξi (x1, x2 , x3 , t) .

54

Закон движения можно рассматривать как взаимно-однозначное и непрерывное отображение области деформируемого тела в различные моменты времени.

В Лагранжеву систему координат входят и сопутствующие ко-

ординаты ξ1, ξ2 , ξ3 индивидуальных точек, т.е. подвижная деформи-

руемая криволинейная система координат. Все точки сплошной среды покоятся относительно подвижной сопутствующей системы координат

ξ1, ξ2 , ξ3 . Эти координаты не меняются, а сама система движется,

растягивается, сжимается, извивается. Таким образом, когда необходимо индивидуализировать точки, то пользуются Лагранжевыми координатами. При этом подразумевается наличие системы отсчета

x1, x2 , x3 .

Скорость индивидуальной точки относительно системы отсче-

та x1, x2 , x3 – v = ∂z / ∂t , где z – радиус-вектор, зависящий в общем

случае от ξ1, ξ2 , ξ3 . Относительно сопутствующей системы координат

среда покоится.

Ускорение точки сплошной среды

где ai = ai (ξ1, ξ2 , ξ3 , t) – компоненты ускорения.

Таким образом, с точки зрения Лагранжа нас интересует история движения индивидуальных точек сплошной среды.

Переменные Эйлера. С точки зрения Эйлера рассматривают, что происходит в разные моменты времени в данной геометрической точке

пространства. Геометрические координаты пространства x1, x2 , x3 и

время t носят название переменных Эйлера. Движение считается

известным, если

v = v (x1, x2 , x3 , t) ; a = a (x1, x2 , x3 , t) ; T = T (x1, x2 , x3 , t) .

При фиксированных x1, x2 , x3 и переменном t определяют изме-

нения во времени скорости, ускорения, температуры и т.д. в данной точке пространства для различных приходящих в эту точку частиц.

При фиксированном t и переменных x1, x2 , x3 функции дают

распределения характеристик движения в пространстве в данный момент времени.

55

При переменных x1, x2 , x3 и t определяют распределения харак-

теристик движения в пространстве в разные моменты времени. Рассмотрим переход от переменных Лагранжа к переменным Эй-

лера. По Лагранжу закон движения сплошной среды

xi = xi (ξ1, ξ2 , ξ3 , t) .

Решив его относительно ξ1, ξ2 , ξ3 , получают

ξi = ξi (x1, x2 , x3 , t) ,

т.е. переходят к переменным Эйлера.

При фиксированных x1, x2 , x3 указывают те точки ( ξ1, ξ2 , ξ3 ),

которые в разные моменты времени приходят в данную точку пространства.

При изучении движения рассматривают скалярные и векторные величины. Совокупность значений той или иной величины, заданных в каждой точке рассматриваемой области, называются полем этой величины. Поля могут быть скалярными и векторными.

Процессы и движения считаются установившимися, если характеризующие их величины не зависят явно от времени. Для каждого поля, например, скорости, можно построить линии тока, по которым с точностью до направления известен вектор.

Упругое тело – среда, в которой компоненты тензора в каждой частице являются функциями компонента тензора деформации, компонент метрического тензора, температуры и других параметров физикохимической природы. Раздел механики сплошной среды, в котором изучается поведение сплошных сред, подчиняющихся закону Гука,

носит название теории упругости.

2.5. ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИЙ

Рассматривается система координат x1, x2 , x3 , относительно которой движется тело, положение его в начальный момент времени t0 и

в некоторый произвольный момент t. С каждой точкой движущегося тела связывают сопутствующую (с телом) систему координат

о

ξ1, ξ2 , ξ3 . Векторы базиса в момент времени t0 Эi и в момент t0 ξˆ i будут разными. Для абсолютно твердого тела, в которого вморожена

о

система ξ1, ξ2 , ξ3 , триэдры Эˆ i можно получить из триэдров Эi путем поступательного перемещения и поворота.

56

В случае деформируемого тела расстояние между точками меняется, т.е. тело сжимается, растягивается, искривляется. Координатные линии, сопутствующие системе координат, деформируются. Изменя-

ются во времени и углы между векторами базиса Эˆ i .

Коэффициент относительно удлинения l

l = (ds − ds′) / ds′ ,

где ds и ds′ проходят в соответствующие моменты времени через одни и те же индивидуальные точки.

Если коэффициент l в каждой точке деформируемой среды и в каждом направлении мал, то деформация называется малой, если l имеет конечные значения, то деформация конечная.

Деформации в момент времени t зависят не только от рассматриваемого состояния, но и от какого-то начального. За начальное состояние может быть принято состояние, в котором структура каждого элемента сплошной среды упорядочена и на него не действуют никакие силы.

Уравнения движения

57

В сокращенном виде систему записывают в виде

Уравнения неразрывности или совместности деформаций СенВенана имеют вид:

В сокращенном виде

Likl L jmnεim, kn = 0.

Однородная деформация. Потенциал перемещения. При одно-

родной деформации компоненты ui вектора перемещения u являются линейными функциями координат (С.П. Демидов, 1979)

58

ui = ui0 + cij x j ,

где ui0 и cij – постоянные.

Компоненты тензора деформаций и тензора малого поворота – постоянные величины

εij = (cij + c ji ) / 2;

ωij = (cij − c ji ) / 2,

т.е. все частицы тела деформируются одинаково.

При однородной деформации прямые линии остаются прямыми после деформации, параллельные плоскости и параллельные прямые преобразуются в параллельные плоскости и параллельные прямые после деформации, и сфера преобразуется в эллипсоид. Поле перемещений – градиент скалярного поля ψ(xi) (потенциальное поле).

Глава 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Основные сведения приведены в [38, 39].

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам реализуемых машин, конструкций и сооружений, уменьшению их веса и размеров. Это приводит к необходимости создания новых методов расчета, наиболее полно и адекватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследователей к задачам теории упругости неоднородных тел.

Линейная теория упругости неоднородных тел основана на использовании закона Гука, в котором параметры, определяющие упругие свойства среды (например, параметры Ламе) – функции координат [39]. Наиболее естественной как с математической, так и с физической точки зрения является классификация, основанная на характере зависимости параметров Ламе от координат. Целесообразно выделить три основные группы задач, в которых параметры Ламе:

а) непрерывные детерминированные функции координат; б) кусочно-постоянные функции координат; в) случайные функции координат.

Выделяют следующие три основных раздела теории упругости неоднородных тел:

а) упругие тела с непрерывной неоднородностью; б) кусочно-постоянные упругие тела; в) случайно-неоднородные упругие тела.

59