ledenev-a
.pdfФормула Грина. Рассматривается напряженно деформированное состояние трехмерного типа, занимающего область S, ослабленную полостями S0 и ограниченного поверхностью Г. Материал области изотропный линейно-деформируемый. Объект подвержен действию массовых сил Xi и поверхностных нагрузок (или реакций) на границе Г. Состояние тела характеризуется полями перемещений Ui, относительных деформаций εij и внутренних напряжений σij (i, j = 1, 2, 3).
Принимаются смешанные граничные условия. На части границы Гu заданы кинематические условия первой краевой задачи
ui (N ) = ui0 (N ) ; N Гu ,
где ui0 (N ) – известные функции, представляющие распределение пе-
ремещений на границе.
На части Гσ выполняются статические условия нагружения
P (N ) = P0 |
(N ) = σ |
ij |
(N ) n (N ) ; |
N Г |
σ |
, |
|
i |
i |
|
ij |
|
|
где nij (N ) – направляющие косинусы внешней единичной нормали
поверхности Г.
Вводится в рассмотрение основное и вспомогательное состояние с использованием теоремы Бетти о взаимности суммарных работ, соответствующих компонентов двух состояний деформируемого тела S. Работа поверхностных нагрузок и реакций представляется интегральными выражениями на Г, и работа массовых сил будет выражаться объемными интегралами по S.
Формула Грина представлена в виде обобщенного функционального состояния:
**
∫xi*ui ds + ∫ Pi(n) ui(n) dГ = ∫ xiui*ds + ∫ Pi(n)ui(n) dГ .
S |
Г |
S |
Г |
Распределение контактных напряжений под жестким фундаментом: круглым при центральной нагрузке
σ z |
= |
|
F |
|
|
; |
|
|
|
|
|||
πz 2 2 1− p 2 |
|
|||||
|
|
z 2 |
круглым при внецентренной нагрузке (К.Е. Егоров)
|
|
3eg |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 F |
|
|
|
z 2 |
|
|
|||
σ z = |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
||
2πz 2 |
|
r 2 − x2 − y 2 |
||||
|
|
|
|
161
ленточные при внецентренной нагрузке
σz |
= |
|
F |
|
|
+ 2 |
ex |
||
|
|
|
1 |
|
, |
||||
|
|
|
a 2 |
||||||
π a2 − x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
где r – радиус круглого жесткого фундамента; ρ – расстояние от центра фундамента до рассматриваемой точки; a – полуширина ленточного фундамента.
Вертикальные напряжения по оси площадок в форме круга вычисляют по формулам:
фундамент гибкий
|
|
|
1 |
|
|
σ z |
= p 1 |
− |
|
; |
|
(1+ r 2 R2 ) 3/ 2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
фундамент жесткий
|
|
|
F |
|
|
0,5 |
|
(z R)2 |
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
z |
πR |
|
|
+ (z R)2 |
[1 + (z R) |
|
] |
|
|||||
|
|
2 |
1 |
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Напряжения в любой точке основания ленточного фундамента от действия вертикальной, горизонтальной силами и моментом можно вычислять по формулам А.Я. Медведева (1958)
Сосредоточенная сила:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
η |
2 |
|
|
|
|
S |
|
|
|
||||||||
σ y |
= |
|
p ξη[A + 2η(η − 2β)] |
c1 − |
− |
ηA(η − 2β) − 2ξ |
|
|
+ |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A2 |
+ 4ξ2η2 |
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
πa |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξη[A + 2η(η − 2β)] |
|
3 |
|
2 |
η |
2 |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
ηA(η − 2β) − 2ξ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
σx |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
S1 |
+ |
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
A2 |
+ 4ξ2η2 |
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
πa |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
η |
2 |
|
|
− ξη[A + 2η(η − 2β)] S − |
c2 |
|
|||||||||||||||||||
τ |
xy |
= − |
|
+ |
ηA(η − 2β)− 2ξ |
|
|
|
c |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
πa |
|
2 |
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ξ = x a ; |
|
η = − y a ; |
|
|
β = ln(3 − 4μ) |
|
|
|
2π ; |
|
A = ξ2 − η2 −1 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
= |
|
|
e |
−β(ϕ1−ϕ2 ) |
|
|
cos |
β ln |
p2 |
|
+ |
|
|
1 |
|
(ϕ + ϕ |
|
) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
= |
|
e |
β(ϕ1 −ϕ2 ) |
|
|
cos |
βln |
p2 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
(ϕ + ϕ |
|
|
) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
= |
|
e |
−β(ϕ1−ϕ2 ) |
|
|
sin |
βln |
|
p2 |
+ |
|
|
|
1 |
(ϕ + ϕ |
|
) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
e |
β(ϕ1−ϕ2 ) |
|
|
sin |
βln |
|
p2 |
|
|
|
− |
1 |
(ϕ + ϕ |
|
|
) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = arctg |
|
|
|
|
η |
|
; |
|
|
|
ϕ = arctg |
|
|
η |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
(ξ2 −1) 2 + η2 |
; |
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
= |
(ξ2 + 1) 2 + η2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Горизонтальная сила: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 4βη − 4β |
2 |
|
|
|
|
|
ηA(η + 2β) − 2ξ |
2 |
η |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ y = − |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
− |
|
c1 + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1+ |
|
4β2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2βξ |
|
|
|
|
ηξA + |
2ξη |
2 |
(η + 2β) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(1+ 4βη − |
4β2 )c |
|
+ 4ξβS |
|
] ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ 4β2 |
|
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1+ 4β2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(1− 4βη − 4β |
2 |
) |
|
|
|
|
ηA(η + 2β) − 2ξ |
2 |
η |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σx = − |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
c1 + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1+ 4β2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + |
4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
6βξ |
|
|
|
|
ηξA + |
2ξη |
2 |
(η + 2β) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
S |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(1+ 4βη − |
4β2 ) c |
|
+ 4ξβS |
] ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ 4β2 |
|
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1+ 4β2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
2βξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ηξA + |
|
2ξη |
2 |
(η + 2β) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 4βη − 4β |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
τxy |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 4β2 |
|
|
|
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 + 4β |
2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
πa 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ ηA(η + 2β) − 2ξ |
2 |
η |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[4βξc |
|
− (1 + 4βη − 4β2 ) S |
|
] . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 + 4β2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163
|
Момент: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
2ηA |
|
|
|
|
|
|
|
3ξ |
|
|
|
|
|
4ξη |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
σx |
= − |
|
|
3 (η + 2β) |
− |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|||||||||||||||||
πa2 |
|
|
|
1 + 4β2 |
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
+ 4β2 |
A2 |
+ 4ξ2η2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(η − 2β) c2 |
+ ξS2 ] ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 + 4β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
η + 2β |
|
|
|
|
2ηA |
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
4ξη |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
σ y |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
c1 − |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
S1 + |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + 4β2 |
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa2 |
|
|
|
|
|
|
1 + 4β2 |
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(η − 2β) c2 |
+ ξS2 |
] ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ 4β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
4ξη |
2 |
|
|
|
|
η + 2β |
|
|
|
|
2ηA |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
τxy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
− |
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
πa2 |
|
|
|
|
|
A2 + 4ξ2η2 |
1 + |
4β2 |
A2 + 4ξ2η2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 4β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ξc2 − (η − |
2β) S2 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4β2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По решению Nishida (1996) напряжения на глубине z от действия равномерно распределенной по круглой площадке нагрузки интенсивностью P на глубине h (рис. 8.1) вычисляют по формуле.
Рис. 8.1. Схема расположения нагруженной круглой площадки
164
|
|
|
P |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
(1− 2μ)(z − h) |
|
|
− |
|
|
+ |
− |
1 |
− |
||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 + (x + h)2 |
|
|
|
z2 + (x − h)2 |
|
|
z − h |
|
|
||||
|
|
|
4(1− μ) |
|
|
|
|
|
|
z + h |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + h |
|
|
|
|
|
|
|
|
3(3 − 4μ)z(z |
+ h) |
− 3h(x + h)(5z − h) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(z + h) |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
t + (x + h) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+1− |
z − h |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
z + h |
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6hz |
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + h) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z2 + (z − h) |
|
|
|
|
|
z2 + (z − h)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для примера в табл. 8.1 приведены относительные напряжения.
8.1. Величины относительных напряжений ниже центра площадки
z/z |
µ |
|
Напряжение σz/p при h/z, равном |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
0 |
1 |
2 |
3 |
8 |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1,00 |
0,71 |
0,57 |
0,53 |
0,50 |
|
1 |
0,25 |
0,64 |
0,46 |
0,39 |
0,29 |
0,26 |
|
2 |
0,28 |
0,18 |
0,15 |
0,13 |
0,11 |
||
|
|||||||
4 |
|
0,09 |
0,07 |
0,06 |
0,09 |
0,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1,00 |
0,75 |
0,58 |
0,54 |
0,50 |
|
1 |
0,5 |
0,64 |
0,45 |
0,38 |
0,35 |
0,34 |
|
2 |
0,28 |
0,22 |
0,18 |
0,15 |
0,14 |
||
|
|||||||
4 |
|
0,09 |
0,08 |
0,07 |
0,04 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение осадки жесткого заглубленного прямоугольного фундамента. Приближенное значение осадки жесткого фундамента можно определить, используя установленное рядом исследователей равенство объема эпюры осадок жесткого и гибкого фундаментов одинаковых размеров, несущих равную нагрузку. Это положение можно применить и при определении осадки прямоугольного фундамента,
втом числе и заглубленного, как это было сделано при определении приближенного значения осадки жесткого круглого заглубленного фундамента [37]. Если представить поверхность объемной эпюры осадок
ввиде эллиптического параболоида, то средняя осадка прямоугольно-
го фундамента Wm может быть вычислена по следующей формуле:
165
Wm = 2Wc + Wy , 3
где Wc – осадка центра прямоугольного фундамента; Wy – осадка его
угла.
Для определения перемещений от сосредоточенной силы, приложенной к линейно-деформируемому полупространству на некоторой глубине от его поверхности, используется решение Р. Миндлина. Однако оно обладает известным недостатком, вытекающим из постановки задачи: напряжения и деформации в равных условиях воспринимаются всей средой полупространства, находящейся как ниже глубины приложения нагрузки, так и выше ее.
Ввиду отсутствия решений, лишенных этого недостатка, возможно предложить способ приближенного вычисления осадки жесткого прямоугольного заглубленного фундамента, используя для определения Wc и Wy решение Р. Миндлина и метод угловых точек [45].
Осадка угловой точки 0 (см. рис. 8.1) от общей нагрузки на фундамент N 0 определяется как сумма осадок этой точки от двух, равно-
мерно загруженных давлением p0 = N0 ab , прямоугольных треуголь-
ников I и II (для которых точка 0 является общей вершиной). Обозначим для прямоугольного фундамента с размерами сторон
2a и 2b при глубине его заложения H отношения a / b = n0 и H / b = λ0 . Тогда формулу для вычисления осадки можно записать в таком виде:
|
|
|
|
|
|
|
W = |
1 − μ02 |
|
N0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W m , |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
E0 |
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m = |
1 |
[4 |
|
|
(n = n ; λ = λ |
|
) + |
|
|
|
(n = n ; λ = λ |
|
2) ]. |
||||||
W |
W |
y 2 |
0 |
W |
y 2 |
0 |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что Wy = WyI + WyII , после интегрирования окончательно получаем:
|
|
= |
1 − μ02 |
|
N0 |
|
|
|
(n, λ) = |
1 − μ02 |
|
|
|
|
(n, λ) , |
|
W |
y |
|
W |
y |
p |
bnW |
y |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
E0 |
|
b |
|
E0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
166
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
(n, λ) = |
|
|
|
|
|
2λ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
||||||||||||
Wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8πn(1 |
− μ |
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
1+ n |
|
|
|
n |
|
+ 4λ |
1 |
+ 4λ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
8(1− μ0 ) |
|
− (3 |
− 4μ0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
+ n |
2 |
+ |
2 |
|
+ n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+ |
|
ln |
|
4λ |
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ n |
2 |
+ |
2 |
|
− n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 4μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ n |
2 |
2 |
+1 |
1+ n |
2 |
+ n |
|
|
1+ n |
2 |
+1 |
|
||||||||
+ n ln |
|
|
+ 4λ |
|
+ |
ln |
|
+ n ln |
|
|
|
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1+ n |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
1+ n |
2 |
− n |
|
1+ n |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
+ 4λ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1+ n |
2 |
2 |
|
+ 4λ[4(1− μ |
|
)2 − (3 − 4μ |
|
)]arccos |
4λ |
|
+ 4λ ) |
. |
||
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(1 |
+ 4λ2 ) (n |
2 + 4λ2 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисленные значения Wy (n, λ) при μ0 = 0,3 приведены в табл. 8.1.
В таблице 8.2 приведены значения Wm , вычисленные для тех же
значений п и λ.
Рекомендуемую формулу для определения осадки прямоугольного фундамента на поверхности ( H = λ = 0 ) можно сопоставить с известными решениями других авторов. Так, для n0 = 2 получим значения
Wm : по формуле предложенному решению Wm = 0,638, по формуле
8.2. Величины перемещений угловой точки и середины фундамента
|
|
|
|
(n, λ) |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
Значения |
Wy |
при п, равном |
Значения Wm при п, равном |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
1,5 |
|
2,0 |
1,0 |
|
1,5 |
2,0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,0 |
0,561 |
|
0,453 |
|
0,383 |
0,935 |
|
0,754 |
0,638 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5 |
0,494 |
|
0,410 |
|
0,352 |
0,835 |
|
0,690 |
0,592 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1,0 |
0,423 |
|
0,359 |
|
0,314 |
0,729 |
|
0,616 |
0,536 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2,0 |
0,352 |
|
0,300 |
|
0,264 |
0,611 |
|
0,519 |
0,457 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3,0 |
0,323 |
|
0,272 |
|
0,239 |
0,559 |
|
0,472 |
0,415 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4,0 |
0,307 |
|
0,257 |
|
0,224 |
0,527 |
|
0,442 |
0,387 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5,0 |
0,297 |
|
0,247 |
|
0,215 |
0,509 |
|
0,425 |
0,370 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7,0 |
0,286 |
|
0,236 |
|
0,204 |
0,486 |
|
0,403 |
0,346 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10,0 |
0,278 |
|
0,228 |
|
0,196 |
0,469 |
|
0,386 |
0,333 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167
Ф. Шлейхера [80] Wm = ωn0 = 0,65 ; по формуле М.И. ГорбуноваПосадова [17] Wm = k0 n0 = 0,61 . Получаемые коэффициенты отли-
чаются между собой менее чем на 5%.
Уменьшение значений Wm с глубиной примерно аналогично из-
вестным опытным данным [36].
Определение крена заглубленного прямоугольного фундамента с использованием уравнений Р. Миндлина (В.В. Леденев, А.И. Анань-
ин, 1971).
Пусть горизонтальная площадка с размерами 2a×2 b расположена на глубине h (рис. 8.2) [37].
Рис. 8.2. Схема к определению крена жесткого заглубленного штампа
168
Осадка любой точки М(x, y) от действия сосредоточенной силы F(s, η) может быть вычислена по формуле Р. Миндлина:
ω(x, y, s, η) = |
F (s, η) |
|
3 − 4μ |
+ |
8(1 − μ)2 − (3 − 4μ) |
+ |
|
|
|
|
|||
16π(1 − μ)G |
R |
R |
||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(3 − 4μ)4h2 |
− h2 |
+ |
24h4 |
|
|
|
|
, |
||
R3 |
|
R3 |
|||
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
где R12 = (x − s)2 + ( y − η)2 , R22 = R12 + 4h2 .
При F = 1 это уравнение является функцией влияния осадка (функцией Грина). Перемещение от любой нагрузки f (s, η) может быть определено с помощью интеграла
a b
ω(x, y) = ∫ ∫ ω (x, y, s, η) f (s, η) dsdη .
−a −b
Для линейного изменения нагрузки
f (s, η) = a + βs.
С учетом этого после интегрирования имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
+ x |
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
+ y |
|
|
|
|
|||||||||||||||
ω(x, y,) = |
(α + αβξ) b |
|
− 4μ) ∑ yi ln |
|
τi |
|
+ ∑ xi |
|
|
i |
|
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
− x |
|
|
p |
|
|
− y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16π(1 − μ)G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τi |
2 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
xi y1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− 4λ(1 − |
2μ)2 |
|
|
arctg |
|
+ |
|
∑ |
arctg |
|
|
|
|
|
|
+ (5 −12μ + 8μ2 ) × |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2λτi |
|
|
|
2λτi + |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
× |
|
|
|
|
|
|
τ2i + x1 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
τi |
|
+ y1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
y |
|
ln |
|
|
|
|
|
x |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τi+ |
2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
i |
|
|
n τ2i − x2 |
|
∑ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
i=1 |
+ |
8λ x |
|
|
|
|
|
|
βb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2λ y |
|
2 |
|
3 |
+ x y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∑ |
i |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ |
4λ2 |
|
|
|
|
|
+ 4λ2 ) τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y2 |
|
i=1 |
|
(x2 |
i |
+2 |
|
|
|
|
|
16π(1 − μ)G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
− 4μ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
+ y |
|
|
|||||||||||||||
(3 |
∑( yi |
|
|
|
|
− yi p2i−1) + |
∑(−1)i |
(4λ2 + xi2 ) ln |
|
i |
|
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τi+2 − y2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(−1) |
i |
y |
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
i |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
− 2λ2 (5 − 8μ)∑(−1)i − 8λ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(4λ2 + x2 ) τ |
|
(4λ2 + x |
2 ) |
τ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i+2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Здесь приняты следующие обозначения: ξ = x/a, n = a/b, λ = n/b, x1 = (ξ + 1)/n, ξ = y/b, y1 = ξ + 1, y1 = 1 – ξ, ρ2 = x2 + y2, z2 = ρi + 4λ2.
169
Уравнение для осадки от равномерно распределенной нагрузки получим, положив α = 0, β = 0. При линейной нагрузке, которая приводится к одной паре α = 0, β = 3M/4ba3. Получается при этом поверхность осадок может быть использована для приближенного определения крена фундамента. С той целью подберем такую плоскость ω(x) = kx, которая имела бы минимум среднеквадратичного отклонения от поверхности осадок
∫[ω(x, y) − kx]2 dA = min.
A
Коэффициент k равен среднему значению тангенса угла наклона на гибкой площадке и его можно считать приближенным значением крена жесткого фундамента
a b |
ω(x, y)xdxdy |
|
|
||
i = ∫∫ |
|
|
|
= i M / a |
3E . |
x |
2 |
dxdy |
|||
|
|
|
|
После численного интегрирования получим
i = 1 − μ2 3M i Y 4a 2
Некоторые величины i для µ = 0,3 приведены в табл. 8.3. Изменение крена с глубиной можно аппроксимировать простой
зависимостью
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ 0,18n |
|
|||
|
|
|
M |
1 |
|
|
|
|
|
0,054 |
|
||||
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
iz = − |
|
|
|
1 + 2 λ |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a3 E |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
8.3. Значения безразмерных функций i |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
0,25 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
1,0 |
|
2,0 |
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
0,142 |
|
|
0,312 |
|
|
|
|
0,501 |
|
0,826 |
|||
0,5 |
|
0,113 |
|
|
0,303 |
|
|
|
|
0,473 |
|
0,749 |
|||
1 |
|
0,091 |
|
|
0,215 |
|
|
|
|
0,344 |
|
0,648 |
|||
2 |
|
0,078 |
|
|
0,172 |
|
|
|
|
0,265 |
|
0,538 |
|||
3 |
|
0,072 |
|
|
0,158 |
|
|
|
|
0,255 |
|
0,480 |
|||
5 |
|
0,070 |
|
|
0,151 |
|
|
|
|
0,244 |
|
0,396 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
По СНиП 2.82.01.–83* |
|
|||||||||||
0 |
|
0,136 |
|
|
0,373 |
|
|
|
|
0,455 |
|
0,793 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170