ledenev-a

Инварианты для ортотропного тела

Преобразование приведенных упругих постоянных βij

∙Криволинейная анизотропия

Обобщенный закон Гука в криволинейной системе координат

Обобщенный закон Гука в цилиндрической системе координат

Обобщенный закон Гука в случае ортотропного тела с цилиндрической анизотропией при введении упругих характеристик – модуля Юнга и сдвига и коэффициента Пуассона

81

∙ Общие уравнения теории упругости и постановка основных задач. Важнейшие вариационные принципы

Основная система уравнений равновесия в декартовой системе координат (x, y, z, t )

где ρ – плотность материала тела.

Первая основная задача. На всей поверхности задаются внешние усилия.

Граничные условия

Вторая основная задача. На всей поверхности задаются проекции перемещения на три несовпадающих напряжениях, например,

проекции u* , v* , w* , на оси декартовой прямоугольной системы координат. Граничные условия будут иметь вид

u = u* , v = v* , w = w* .

Смешанная задача. На части поверхности задаются усилия, а на другой части перемещения. Для случая ортотропного тела, движуще-

82

гося под действием внешних усилий, или испытывающего свободные колебания, уравнения движения в проекциях перемещения имеют такой вид:

4.2. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ

∙ Растяжение стержня под действием осевой силы и собственного веса (рис. 4.1).

Напряжения

83

Перемещения

кое перемещение тела в пространстве, не сопровождаемое деформациями; первые три характеризуют перемещения при повороте вокруг осей координат, а вторые три – поступательные перемещения вдоль осей.

Условия закрепленного бесконечно малого элемента на оси z около координат

Тогда перемещения будут

w = a x + a y + a z .

35 34 33

S

В общем случае анизотропии стержень не только удлиняется в направлении силы и сокращается в поперечных направлениях, но еще испытывает сдвиги во всех плоскостях, параллельных координатным. Эти сдвиги характеризуются коэффициентами a34 , a35 , a36

84

Абсолютное удлинение стержня

В общем случае анизотропии ось искривляется и уравнение изогнутой оси будет

x′ = −0,5γa35 z 2 , y′ = −0,5γa34 z 2 .

При этом центр нижнего конца перемещается не только вдоль z, но и в стороны, и проекции перемещения его на оси координат определяются по формулам

Если стержень закреплен так, что центр нижней поверхности остается на вертикали, то перемещение его по вертикали будет прежним

∙Сдвиг

Напряжения и деформации определяются по формулам (рис. 4.3)

τ yz = t, σ x = σ y = σ z = τ xz = τ xy = 0;

85

Рис. 4.3. Деформации сдвига

Предполагая, что элемент оси z закреплен около начала координат, тогда перемещения будут

Полное удлинение в направлении оси z

Объемное расширение θ , т.е. изменение единицы объема, зависит от коэффициентов взаимного влияния и определится по формулам

θ = εx + ε y + εz = t (a14 + a24 + a34 ),

Изменение объема всего тела

ω = tlbh (a14 + a24 + a34 ).

86

4.3. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

∙ Распределение напряжений в упругом полупространстве под действием осесимметричной нормальной нагрузки (рис. 4.4).

Дано упругое однородное транс- версально-изотропное полупространство, ограниченное бесконечной плоскостью с плоскостями изотропии, параллельными ограничивающей. На этой ограничивающей плоскости по площади некоторого круга распределены нормальные усилия, обладающие симметрией вращения относительно нормали, проведенной через центр круга, принимаемый за начало O

цилиндрической системы координат (ось к границе внутрь).

p(r) – интенсивность нагрузки, которая удовлетворяет условиям:

1) она конечна при всяком r; 2) в любом конечном интервале r > 0 число точек разрыва непрерывности и экстремальных точек конечно и

87

∞

ψ(t ) = ∫ p(ξ)ξJ0 (ξt )dξ,

0

где J0 – функция Бесселя нулевого порядка вещественного аргумента.

∙ Распределение напряжений в упругом полупространстве под действием сосредоточенной силы и произвольной нормальной нагрузки (рис. 4.5).

Распределение напряжений в трансверсально-изотропном полупространстве дается формулами