Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ledenev-a

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Распределение напряжений при действии нагрузки, меняющейся по закону прямоугольника (рис. 1.14) [79, 80]

σz = −

β1 − sin

β2

− tgβ2

β1

sin 2β1 − β2

−

sin 2β2

sin

;

πb

σ y

= −

β1

− 2 ln cosβ1 − cos2 β2 − 2 ln cosβ2 − tgβ2 ×

cos

πb

× β1 −

sin 2β1 − β2

sin 2β

;

[sin 2β − sin 2β

+ 2(β

− β ) − tgβ

(cos 2β − cos 2β

)].

2πb

Рис. 1.14. Схема нагрузки, меняющейся по закону треугольника

Плоская контактная задача. Наряженное состояние в упругом теле в случае плоской задачи (рис. 1.15) определяется тремя компонентами напряжения: σx, σy и τ xy .

Они удовлетворяют условиям равновесия:

∂σ	x	+	∂τxy		= 0;
	x
∂x			∂y
∂x			∂y
∂σ			∂τ
	y	+		xy		= 0.
∂y		+	∂x			= 0.

Рис. 1.15. Схема к плоской контактной задаче

Деформация упругого тела может быть выражена через относительные удлинения εx, εy и γxy, определяющиеся через u, т.е. перемещения точки упругого тела по направлению оси х и через v, т.е. перемещения по направлению оси y:

			∂u
	=		∂u
ε x	=		∂x ;
				∂v
ε y		=			;
ε y		=		∂y	;
				∂y			∂v .
λ		= 1 ∂u +					∂v .

xy
xy			2			∂y
			2			∂y	∂x

Так как три компоненты деформации εx, εy и γxy выражены через два компонента перемещения u и v, то между ними должно существовать некоторое соотношение

∂ 2ε x + ∂ 2ε y = 2 ∂ 2 γ xy . ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y

Компоненты деформации связаны с компонентами напряжения соотношениями:

	= λθ + 2με x ;
σ x
σ y	= λθ + 2με y ;
λ		= 2μγ	xy	,
xy

здесь θ = (ε x + ε y ) – относительное объемное расширение, а λ и μ0 – коэффициенты Ляме

λ = Eμ /(1 + μ)(1 − 2μ); μ0 = E / 2(1 + μ).

На основании этих уравнений компоненты деформации могут

быть выражены через компоненты напряжения:

ε x

[(1

− μ

)σ x − μ(1 + μ)σ y ] ;

ε y

[(1 − μ

)σ y − μ(1 + μ)σ x

] ;

1 + μ

λ xy =

τxy

где Е – модуль упругости и μ – коэффициент Пуассона.

Распределение контактных давлений под жесткими ленточными фундаментами при центральной нагрузке

p( x, y ) =		2 pm	,

	π 1 − ( y / b )2
	1

где pm – среднее давление на единицу площади подошвы фундамента; y – расстояние по горизонтали от середины фундамента до рассматриваемой точки; b1 – полуширина фундамента.

Распределение контактных давлений под жесткими ленточными фундаментами при внецентренной нагрузке

2ey

2qb

( x, y)

1 +

−

+ q ,

π b

− y

где P – сосредоточенная сила; e –

эксцентриситет; b1 – полуширина

ленточного фундамента; q – интенсивность боковой пригрузки.

tgβ = 4 (1− μ2 ) Pe , 2πEb13

E и μ – модуль деформаций и коэффициент бокового расширения грунтового массива.

Распределение контактных давлений по подошве сооружений конечной жесткости

Wξ,η =	1	(1− μ02 )	∫∫	p(ξ, η) dξdη	,


	π π F			(x − ξ)2 + ( y − η)2

где Wξ,η – осадка точки поверхности грунта с координатами ξ и η; p(ξ, η) – неизвестное распределение реактивных давлений.

1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Декартовы координаты (x, y, z)

∂σ

x +

∂τxy

∂τ

+ X

= 0;

∂y

∂z

∂x

∂τxy

∂σ y

∂τ yz

+ Y = 0;

∂y

∂z

∂x

∂τ

xz +

∂τ yz

∂σ

+ Z

= 0.

∂y

∂z

∂x

Цилиндрические координаты (τ, θ, z)

∂σr +

∂τrθ

∂τrz

+ σr − σθ + R = 0;

∂r

∂θ

∂z

∂τrθ +

∂σθ

∂τθz

2τrθ

+ Θ = 0;

∂r

∂θ

∂z

∂τrz +

∂τθz

∂σz +

τrz

+ Z = 0.

∂r

∂θ

∂z

Сферические координаты (τ, θ, ϕ)

∂σr

∂τrθ

∂τrϕ

[2σ

− (σ

+ σ

) + τ

rθ

ctgθ]+ R = 0;

∂r

∂θ

r sin ϕ

∂ϕ

∂σrθ +

∂σθ +

∂τθϕ

[3τ

rθ

+ (σ

− σ

) ctgθ]+ Θ = 0;

r sin ϕ

∂r

∂θ

∂ϕ

∂τrϕ

∂τθϕ

∂σϕ

(3τrϕ + 2τθϕctgθ)+ Φ = 0.

∂r

∂ϕ

∂θ

В соотношениях X, Y, Z, R, Θ, Φ –

компоненты объемной силы.

1.3. ТЕНЗОРЫ И ИНВАРИАНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ

Обозначения приняты из книги Н.Н. Малинина (1975).

Напряженное состояние в точке – совокупность нормальных и касательных напряжений, действуюших по всем площадкам, содержащим данную точку (рис. 1.16).

Тензор напряжений – симметричная квадратная матрица

σ x

τxy

τxz

σ x

τxy

τxz

σ1

Τ =

τxy

σ y

τ yz

;

Τ =

;

Τ =

τzy

τzx

σ z

. .

σ3

Рис. 1.16. Напряженное состояние элемента тела

Октаэдрические напряжения

												σ				=		1	(σ + σ										+ σ						).
												σ	окт			=			(σ + σ									2	+ σ					3	).
													окт					3				1						2						3
																		3
Главные нормальные напряжения
σ =			1		(σ + σ					);			σ				=		1		(σ					+ σ						); σ								=	1		(σ				+ σ ).
σ =					(σ + σ				2	);			σ		23		=				(σ			2		+ σ				3		); σ					31			=			(σ			3	+ σ ).
	12	2			1				2						23			2						2						3							31				2					3			1
		2																2																							2
Главные касательные напряжения
τ = ±		1		(σ − σ					);				τ			= ±				1		(σ				− σ							); τ							= ±				1	(σ				− σ ).
τ = ±				(σ − σ				2	);				τ	23		= ±						(σ			2	− σ					3		); τ					31		= ±					(σ			3	− σ ).
12		2			1			2						23				2							2						3							31				2						3	1
		2																2																								2
Среднее объемное напряжение
					σ		=		1		(σ + σ							+ σ					) =				1		(σ					+ σ					+ σ			).
					σ	ср	=				(σ + σ						2	+ σ				3	) =						(σ				x	+ σ		y			+ σ		z	).
						ср			3			1					2					3				3							x			y					z
									3																	3

Тензор напряжений можно разложить на шаровой тензор и девиатор напряжений

Тσ = Тσ0

+ Dσ ,

где Тσ0

шаровой тензор напряжений;

= 0

–

- s0

t1x

tzx

Dσ =

txy

s y

- s0

tzy

– девиатор напряжений.

txz

tyz

sz - s0

Компоненты девитора напряжений представляют в виде

sij = sij - sij s0 ,

где

sij

если i = j,

dij sij ; dij

если i ¹ j;

sx = sx - s0 , s y = sy - s0 , sz = sz - s0 ;

sxy

= txy ,

s yz = tyz , szx

= txz .

Сумма нормальных напряжений в координатных плоскостях равна нулю

sx + s y + sz = 0.

Главные напряжения (на взаимно перпендикулярных площадках, на которых касательные напряжения равны нулю) являются корнями кубического уравнения

s3 - j (Т

) s2 - j

(Т

) s - j

(Т

) = 0 ;

j1 (Тσ ) = sx + s y + sz ;

j2 (Тσ ) = -sx s y - s y sz - sz sx + t2xy + t2yz + t2zx ;

tyx

tzx

j (Т

) = t

= s

- s

+ 2t

tyz

txz

или

j1 (Тσ ) = σii ; j2 (Тσ ) = 1 [(σii2 ) − σij σij ];

j3 (Тσ ) =

σii σik σkl

(σii )3 −

(σii ) σij σij .

Инварианты тензора напряжений через главные напряжения

j1 (Тσ ) = σ1 + σ2 + σ3 ;

j2 (Тσ ) = −σ1σ2 − σ2σ3 − σ3σ1 ;

j3 (Тσ ) = σ1σ2σ3 .

Инварианты девиатора напряжений

j1 (Dσ ) = 0 ;

(D ) =

[(σ

− σ

+ (σ

− σ

+ (σ

− σ

)2 + 6 (τ2

+ τ2

)];

− σ

σ ) =

j3 (Т

τxy

σ y − σ0

τzy

− σ

В тензорной записи

(D ) =

;

(D ) =

Интенсивность напряжений (нормальных)

T =

→

(σ

− σ

+ (σ

− σ

3 j

(D )

→

+ (σ

− σ

+ 6

(τ2

+ τ2

) =

s =

(σ − σ

+ (σ

− σ

+ (σ

− σ )2

При чистом сдвиге σ1 = τ, σ2 = 0,

σ3 = −τ

σi = 3 τ.

По А. Надаи (1954) интенсивность напряжений пропорциональна октаэдрическому касательному напряжению

τ		=		1
	0			1		(σ − σ			0	)2 + (σ				2	− σ			0	)2	+ (σ	3	− σ		0	)2 .
						(σ − σ				)2 + (σ					− σ				)2	+ (σ		− σ			)2 .
		3			1
		3
При τxy = τ yz = 0 (плоская задача)
σ		=	σ x + σ y				±	1													, σ				= σ
			σ x + σ y					1			(σ	x	− σ			y	)	2 + 4τ2					3			z	.
											(σ		− σ				)	2 + 4τ2									.
1, 2					2		2													xy
					2		2

Инварианты девиатора напряжений при преобразовании координатных осей.

Дифференциальные уравнения равновесия Коши. Напряжения на выделеном элементе показаны на рис. 1.16.

Уравнения равновесия имеют вид

∂σ

∂τxy

∂τ

+ Rx = 0;

∂x

∂y

∂z

A = πr

∂τxy

∂σ y

∂τ yz

+ Ry

= 0;

∂x

∂y

∂z

∂τzx

∂τxy

∂σz

+ R

= 0.

∂x

∂y

∂z

Учет разрыва сплошности упругого основания. Применение уравнений теории урпугости для расчета оснований заглубленных фундаментов (например, Р. Миндлина) приводит к погрешности, связанной с тем, что грунтовое основание почти не сопротивляется растяжению. Упругая среда в равной степени сопротивляется как растяжению, так и сжатию. Одними из первых это учитывали М.И. Горбу- нов-Посадов и О.Я. Шехтер (1963).

Приведем результаты решения С.В. Босакова (1986) задачи об изгибе стержня в упругом полупространстве с учетом разрыва сплошности основания. Рашение выполнено методом Б.Н. Жемочкина (1948, 1962). Использована также идея итерационного расчета пространственного клина при заданных воздействиях на его гранях (Я.С. Уф-

лянд, 1972) .

Получены выражения для расчета перемещений границы клина в виде упругого четвертьпространства от действия горизонтальнной силы на границе (рис. 1.17)

	P(1− ν2 )			1		1		1			∞		1		τ2
V (r, z) =			0		+		+				∫	1	+			P−	1	+iτ	(chμ) dτ ;
	πE			R		R								chπτ	C(τ)

		0							ar
		0		1		2			ar	0						2
										0						2

б)

Рис. 1.17. Схема нагружения изгибаемого стержня (а) и пространственного клина с приложенными сосредоточенными силами (б)

P(1+ ν

)

∂ 1

∞ τ thπτ

U (r, z) =

− 4ν

− r

∫

(chμ) dτ;

2πE0

∂r ar

C(τ)

−

+iτ

W (r, z) = −

P(1 + ν

)

∂ ∞ τthπτ

(chμ) dτ;

2πE0

∂z ∫0 C(τ)

−

+iτ

U (r, z) =

Ta(1 + ν )

∂ 1

T (1 + ν )

3 − 4ν0 − r

∂

2πE0

∂r

∂r R1

T (1 + ν

)

∂

−

3 − 4ν0 − r

πE0

∂r

∞

dτ

−

∫

(chμ)

;

(a + r)

chπτ

−

+iτ

C(τ)

U (r, z) =

Qz(1+ ν )

∂ 1

−

Qa(1+ ν )

− 4ν0

− r

∂

2πE0

∂r R1

2πE0

∂r

∂ ∞

∫thπτ

P−

+iτ (chμ) dτ;

∂z

C(τ)

W (r, z) =

Q(1+ ν )

− 4ν0

− z

∂ 1

−

Q(1 + ν )

2πE0

∂z R1

4πE0

∂ 2

∞

∫thπτ

P−

+iτ (chμ) ;

∂z 2

C(τ)

C(τ) = sh2

τ − τ2 ;

chμ =

a 2 + r 2 + z 2

;

2ar

R =

(r − a)2 + z 2

;

R =

(r + a)2 + z 2

где V, U, W – перемещения граней четвертьпространства в направлении осей γ, r, z (см. рис. 1.17); P, T, Q – сосредоточенные силы, приложенные к грани четвертьпространства в точке a; E0 , ν0 – модуль уп-

ругости и коэффициент Пуассона материала клина; r, z – точки грани,

где определяется перемещение; P−	1	+iτ (chμ) – функция Лежандра.

2

Полупространство со стержнем образовано из двух четвертьпространств, соединенных между собой контактом в отдельных точках по методу Б.Н. Жемочкина. В каждой точке контакта действуют три связи, соответствующие нормальным и касательным напряжениям.

Перемещения вершины стержня на уровне поверхности полупро-

странства можно записать в виде

u0 = kuP

; u0 = kuM

;

E0l 2

E0l

ϕ0 = kϕP

ϕ0 = kϕM

;

E0l 2

где P,

– внешняя нагрузка на стержень ( см. рис. 1.17); u0, ϕ0 – ли-

нейное и угловое перемещения стержня поверхности попупространства; l – длина стержня; kuP , kϕP , kuM , kϕM – безразмерные коэффициенты

для определения перемещения, находимые из решения системы канонических уравнений смешанного метода. В случае действия единичных сил их значения приведены в таблице для некоторых показателей

гибкости β = E0l 4 / El , где Еl – изгибная жесткость стержня, ν0 = 0,3ub / l = 0,1 (b – ширина стержня). По теореме о взаимности перемещений kuM = kϕp , поэтому их значения объединены.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.04.20151.4 Mб91konstruktsii.doc
#
10.04.2015936.96 Кб31Korobki-Volgograd.doc
#
04.05.2015225.79 Кб19kursovaya_глинозем.doc
#
03.12.2018448.83 Кб14KURSOVOJ_PROYeKT_FROLOV_M_S_401-T.docx
#
13.08.201983.97 Кб9Laboratornaja_rabota_No3_Struktury.doc
#
15.03.20168.17 Mб56ledenev-a.pdf
#
19.12.20182.17 Mб7Lektsia_10_EMM__1.doc
#
29.07.2019111.1 Кб8Lektsia_12_BD.doc
#
19.12.201877.82 Кб8Lektsia_5_Excel.doc
#
29.07.201973.22 Кб6Lektsia_6_Modelir.doc
#
29.07.201990.62 Кб4Lektsia_8_stilm_Yap.doc