Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ledenev-a

.pdf
Скачиваний:
27
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
8.17 Mб
Скачать

Распределение напряжений при действии нагрузки, меняющейся по закону прямоугольника (рис. 1.14) [79, 80]

σz = −

pz

2

β1 sin

2

β2

tgβ2

 

β1

+

1

sin 2β1 − β2

1

sin 2β2

 

 

sin

 

 

 

 

 

;

 

 

 

2

2

 

πb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ y

= −

pz

2

β1

2 ln cosβ1 cos2 β2 2 ln cosβ2 tgβ2 ×

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× β1

 

sin 2β1 − β2

+

 

sin 2β

2

;

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

=

 

pz

 

[sin 2β − sin 2β

 

+ 2(β

 

− β ) tgβ

 

(cos 2β − cos 2β

 

)].

yz

 

 

 

2

2

2

2

 

 

 

2πb

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.14. Схема нагрузки, меняющейся по закону треугольника

Плоская контактная задача. Наряженное состояние в упругом теле в случае плоской задачи (рис. 1.15) определяется тремя компонентами напряжения: σx, σy и τ xy .

Они удовлетворяют условиям равновесия:

 

∂σ

x

+

 

∂τxy

= 0;

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

∂σ

 

 

 

∂τ

 

 

 

 

 

y

+

 

 

xy

 

= 0.

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

Рис. 1.15. Схема к плоской контактной задаче

Деформация упругого тела может быть выражена через относительные удлинения εx, εy и γxy, определяющиеся через u, т.е. перемещения точки упругого тела по направлению оси х и через v, т.е. перемещения по направлению оси y:

 

 

 

u

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

ε x

x ;

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

ε y

 

=

 

 

 

;

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v .

λ

 

= 1 u +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

 

 

 

 

x

Так как три компоненты деформации εx, εy и γxy выражены через два компонента перемещения u и v, то между ними должно существовать некоторое соотношение

2ε x + 2ε y = 2 2 γ xy . y 2 x2 xy

Компоненты деформации связаны с компонентами напряжения соотношениями:

 

= λθ + 2με x ;

σ x

σ y

= λθ + 2με y ;

λ

 

= 2μγ

xy

,

xy

 

 

здесь θ = (ε x + ε y ) – относительное объемное расширение, а λ и μ0 – коэффициенты Ляме

λ = Eμ /(1 + μ)(1 2μ); μ0 = E / 2(1 + μ).

32

На основании этих уравнений компоненты деформации могут

быть выражены через компоненты напряжения:

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

ε x

=

 

 

 

 

[(1

− μ

 

 

)σ x − μ(1 + μ)σ y ] ;

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

ε y

=

 

 

 

 

 

[(1 − μ

 

 

)σ y − μ(1 + μ)σ x

] ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + μ

 

 

 

 

 

 

λ xy =

 

 

 

 

 

τxy

,

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Е – модуль упругости и μ – коэффициент Пуассона.

Распределение контактных давлений под жесткими ленточными фундаментами при центральной нагрузке

p( x, y ) =

 

2 pm

 

,

 

 

 

π 1 ( y / b )2

 

1

 

 

где pm – среднее давление на единицу площади подошвы фундамента; y – расстояние по горизонтали от середины фундамента до рассматриваемой точки; b1 – полуширина фундамента.

Распределение контактных давлений под жесткими ленточными фундаментами при внецентренной нагрузке

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

2ey

 

2qb

 

 

p

( x, y)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

1

 

+ q ,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

π b

 

y

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где P – сосредоточенная сила; e

 

эксцентриситет; b1 – полуширина

ленточного фундамента; q – интенсивность боковой пригрузки.

tgβ = 4 (1− μ2 ) Pe , 2πEb13

E и μ – модуль деформаций и коэффициент бокового расширения грунтового массива.

Распределение контактных давлений по подошве сооружений конечной жесткости

Wξ,η =

1

 

(1− μ02 )

∫∫

 

p(ξ, η) dξdη

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π π F

(x − ξ)2 + ( y − η)2

где Wξ,η – осадка точки поверхности грунта с координатами ξ и η; p(ξ, η) – неизвестное распределение реактивных давлений.

33

1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

 

Декартовы координаты (x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂σ

x +

∂τxy

 

+

∂τ

xz

+ X

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂τxy

+

 

 

∂σ y

 

 

+

∂τ yz

+ Y = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂τ

xz +

 

∂τ yz

 

 

+

 

∂σ

z

+ Z

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цилиндрические координаты (τ, θ, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂σr +

1

 

∂τrθ

 

 

+

 

∂τrz

 

+ σr − σθ + R = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

∂θ

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂τrθ +

1

 

 

 

∂σθ

 

 

+

 

∂τθz

+

 

2τrθ

+ Θ = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

∂θ

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂τrz +

1

 

 

 

 

∂τθz

+

 

 

∂σz +

τrz

+ Z = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

∂θ

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сферические координаты (τ, θ, ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂σr

+

1

 

 

∂τrθ

+

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

∂τrϕ

+

1

[2σ

 

 

(σ

θ

+ σ

ϕ

) + τ

rθ

ctgθ]+ R = 0;

 

r

 

 

 

 

 

∂θ

r sin ϕ

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂σrθ +

1

 

∂σθ +

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

∂τθϕ

+

1

[3τ

rθ

+ (σ

θ

− σ

ϕ

) ctgθ]+ Θ = 0;

r

r sin ϕ

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

∂θ

 

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂τrϕ

+

1

 

 

∂τθϕ

+

1

 

∂σϕ

 

 

+

1

(3τrϕ + 2τθϕctgθ)+ Φ = 0.

 

 

r

r

 

r

 

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В соотношениях X, Y, Z, R, Θ, Φ –

 

 

 

компоненты объемной силы.

1.3. ТЕНЗОРЫ И ИНВАРИАНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ

Обозначения приняты из книги Н.Н. Малинина (1975).

Напряженное состояние в точке – совокупность нормальных и касательных напряжений, действуюших по всем площадкам, содержащим данную точку (рис. 1.16).

Тензор напряжений – симметричная квадратная матрица

 

σ x

τxy

τxz

 

 

σ x

τxy

τxz

 

σ1

0

0

Τ =

τxy

σ y

τ yz

;

Τ =

.

σ

y

τ

;

Τ =

.

σ

2

0

.

σ

 

 

 

 

σ

 

 

 

yz

σ

 

 

 

 

 

 

τzy

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τzx

σ z

 

.

 

σ z

 

. .

σ3

34

Рис. 1.16. Напряженное состояние элемента тела

Октаэдрические напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

=

1

 

(σ + σ

 

+ σ

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окт

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Главные нормальные напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ =

1

(σ + σ

 

);

 

σ

 

 

=

1

(σ

 

 

+ σ

 

 

); σ

 

 

 

=

1

(σ

 

+ σ ).

 

 

2

 

23

 

 

2

3

31

 

3

 

12

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Главные касательные напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ = ±

1

(σ − σ

 

);

 

τ

 

 

= ±

1

(σ

 

− σ

 

 

); τ

 

 

= ±

1

(σ

 

− σ ).

 

2

 

23

 

2

3

31

 

3

12

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Среднее объемное напряжение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

=

1

(σ + σ

 

+ σ

 

) =

1

(σ

 

+ σ

 

 

 

+ σ

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ср

 

2

3

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тензор напряжений можно разложить на шаровой тензор и девиатор напряжений

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тσ = Тσ0

+ Dσ ,

 

 

s0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

где Тσ0

 

 

s0

 

0

 

 

шаровой тензор напряжений;

= 0

 

 

 

0

0

 

s0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- s0

 

 

t1x

 

 

tzx

 

 

 

sx

 

 

 

 

 

 

Dσ =

txy

 

s y

- s0

tzy

девиатор напряжений.

 

 

txz

 

 

tyz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sz - s0

 

Компоненты девитора напряжений представляют в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sij = sij - sij s0 ,

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sij

 

 

1

 

 

1,

если i = j,

 

 

 

s0

=

 

 

 

-

 

dij sij ; dij

=

если i ¹ j;

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

sx = sx - s0 , s y = sy - s0 , sz = sz - s0 ;

 

 

 

 

 

sxy

 

= txy ,

s yz = tyz , szx

= txz .

Сумма нормальных напряжений в координатных плоскостях равна нулю

sx + s y + sz = 0.

Главные напряжения (на взаимно перпендикулярных площадках, на которых касательные напряжения равны нулю) являются корнями кубического уравнения

 

 

 

 

s3 - j

σ

) s2 - j

2

σ

) s - j

2

σ

) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 σ ) = sx + s y + sz ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j2 σ ) = -sx s y - s y sz - sz sx + t2xy + t2yz + t2zx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tyx

tzx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

σ

) = t

 

s

 

t

 

 

= s

s

 

s

 

- s

 

t2

- s

 

t2

- s

t2

+ 2t

 

t

 

t

 

3

 

xy

 

y

 

zy

 

 

x

 

y

 

 

z

 

 

 

x

yz

 

 

 

y

 

zx

z

xy

 

xy

 

yz

 

zx

 

 

 

 

tyz

sz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

txz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

или

j1 σ ) = σii ; j2 σ ) = 1 [(σii2 ) − σij σij ];

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j3 σ ) =

1

σii σik σkl

+

1

(σii )3

1

(σii ) σij σij .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инварианты тензора напряжений через главные напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 σ ) = σ1 + σ2 + σ3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j2 σ ) = −σ1σ2 − σ2σ3 − σ3σ1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j3 σ ) = σ1σ2σ3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инварианты девиатора напряжений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j1 (Dσ ) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

(D ) =

1

[(σ

 

 

− σ

 

)2

+ (σ

 

− σ

 

)2

 

+ (σ

 

− σ

 

 

 

)2 + 6 (τ2

+ τ2

+ τ2

)];

2

 

 

 

x

y

y

z

z

x

 

σ

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

yz

zx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

x

− σ

0

 

 

 

 

 

 

τ

yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

zx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j3

 

τxy

 

 

 

 

 

 

σ y − σ0

 

 

 

 

 

 

 

 

τzy

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

yz

 

 

 

 

 

σ

z

− σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В тензорной записи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

(D ) =

1

 

s

 

s

 

 

 

;

 

 

j

 

 

(D ) =

1

s

 

 

s

 

s

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

σ

 

 

2

 

 

ij

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

σ

 

 

 

3

 

 

 

ij

 

ik

 

 

kb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интенсивность напряжений (нормальных)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

T =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(σ

 

− σ

 

 

)2

 

+ (σ

 

 

− σ

 

 

 

)2

+

 

 

 

i

3 j

2

(D )

3

 

 

x

y

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (σ

 

− σ

 

 

)2

+ 6

(τ2

 

 

+ τ2

 

+ τ2

) =

 

 

 

 

3

s

 

 

s =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

yz

 

 

 

zx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ij

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(σ − σ

2

)2

+ (σ

2

 

− σ

3

)2

+ (σ

3

 

− σ )2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При чистом сдвиге σ1 = τ, σ2 = 0,

 

σ3 = −τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σi = 3 τ.

По А. Надаи (1954) интенсивность напряжений пропорциональна октаэдрическому касательному напряжению

37

τ

 

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

(σ − σ

0

)2 + (σ

2

− σ

0

)2

+ (σ

3

− σ

0

)2 .

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При τxy = τ yz = 0 (плоская задача)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

=

σ x + σ y

±

1

 

 

 

 

 

 

 

, σ

 

 

= σ

 

 

 

 

(σ

x

− σ

y

)

2 + 4τ2

3

z

.

 

 

 

1, 2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инварианты девиатора напряжений при преобразовании координатных осей.

Дифференциальные уравнения равновесия Коши. Напряжения на выделеном элементе показаны на рис. 1.16.

Уравнения равновесия имеют вид

 

 

 

∂σ

+

 

∂τxy

+

∂τ

xz

+ Rx = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = πr

2

 

∂τxy

+

 

∂σ y

+

 

∂τ yz

+ Ry

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂τzx

+

 

 

∂τxy

+

 

∂σz

+ R

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учет разрыва сплошности упругого основания. Применение уравнений теории урпугости для расчета оснований заглубленных фундаментов (например, Р. Миндлина) приводит к погрешности, связанной с тем, что грунтовое основание почти не сопротивляется растяжению. Упругая среда в равной степени сопротивляется как растяжению, так и сжатию. Одними из первых это учитывали М.И. Горбу- нов-Посадов и О.Я. Шехтер (1963).

Приведем результаты решения С.В. Босакова (1986) задачи об изгибе стержня в упругом полупространстве с учетом разрыва сплошности основания. Рашение выполнено методом Б.Н. Жемочкина (1948, 1962). Использована также идея итерационного расчета пространственного клина при заданных воздействиях на его гранях (Я.С. Уф-

лянд, 1972) .

Получены выражения для расчета перемещений границы клина в виде упругого четвертьпространства от действия горизонтальнной силы на границе (рис. 1.17)

 

P(1− ν2 )

1

 

1

 

1

 

 

1

 

τ2

 

 

 

 

V (r, z) =

 

 

0

 

 

+

 

+

 

 

 

1

+

 

 

 

P

1

+iτ

(chμ) dτ ;

πE

 

 

R

R

 

 

 

chπτ

C(τ)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

ar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

a)

б)

Рис. 1.17. Схема нагружения изгибаемого стержня (а) и пространственного клина с приложенными сосредоточенными силами (б)

 

 

 

 

 

 

 

P(1+ ν

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

τ thπτ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (r, z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4ν

0

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

(chμ) dτ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πE0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r ar

 

 

 

C(τ)

 

1

+iτ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W (r, z) = −

P(1 + ν

0

)

r

τthπτ

P

 

 

 

 

(chμ) dτ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πE0

 

 

 

 

 

 

 

z 0 C(τ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ar

 

 

 

 

 

 

 

+iτ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (r, z) =

Ta(1 + ν )

 

 

 

 

1

 

+

 

1

+

 

T (1 + ν )

 

3 4ν0 r

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πE0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πE0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r R1

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

T (1 + ν

0

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4ν0 r

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πE0

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

τ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dτ

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(chμ)

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

1

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

 

 

 

 

 

 

 

 

(a + r)

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

ar

0

chπτ

 

 

+iτ

 

 

 

 

 

C(τ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (r, z) =

 

Qz(1+ ν )

 

 

1

 

+

 

1

Qa(1+ ν )

 

 

 

4ν0

r

 

 

1

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πE0

 

 

 

 

 

 

r R1

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

2πE0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

ar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh

π

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

thπτ

 

 

 

 

 

 

 

 

P

1

+iτ (chμ) dτ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

C(τ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

W (r, z) =

Q(1+ ν )

4ν0

z

 

1

+

 

1

Q(1 + ν )

×

 

 

 

 

 

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πE0

 

 

 

 

π

 

 

z R1

 

 

R2

 

 

 

4πE0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

sh

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

ar

thπτ

 

 

P

1

+iτ (chμ) ;

 

 

 

 

 

 

 

z 2

C(τ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C(τ) = sh2

π

τ − τ2 ;

chμ =

a 2 + r 2 + z 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R =

(r a)2 + z 2

;

 

R =

(r + a)2 + z 2

,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где V, U, W – перемещения граней четвертьпространства в направлении осей γ, r, z (см. рис. 1.17); P, T, Q – сосредоточенные силы, приложенные к грани четвертьпространства в точке a; E0 , ν0 – модуль уп-

ругости и коэффициент Пуассона материала клина; r, z – точки грани,

где определяется перемещение; P

1

+iτ (chμ) – функция Лежандра.

 

2

 

Полупространство со стержнем образовано из двух четвертьпространств, соединенных между собой контактом в отдельных точках по методу Б.Н. Жемочкина. В каждой точке контакта действуют три связи, соответствующие нормальным и касательным напряжениям.

Перемещения вершины стержня на уровне поверхности полупро-

странства можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u0 = kuP

 

; u0 = kuM

 

 

 

P

 

 

;

 

 

 

 

E0l 2

 

 

 

 

E0l

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ0 = kϕP

 

ϕ0 = kϕM

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0l 2

 

 

 

E0l 2

где P,

 

– внешняя нагрузка на стержень ( см. рис. 1.17); u0, ϕ0 – ли-

P

нейное и угловое перемещения стержня поверхности попупространства; l – длина стержня; kuP , kϕP , kuM , kϕM – безразмерные коэффициенты

для определения перемещения, находимые из решения системы канонических уравнений смешанного метода. В случае действия единичных сил их значения приведены в таблице для некоторых показателей

гибкости β = E0l 4 / El , где Еl – изгибная жесткость стержня, ν0 = 0,3ub / l = 0,1 (b – ширина стержня). По теореме о взаимности перемещений kuM = kϕp , поэтому их значения объединены.

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]