Данное условие есть не что иное, как условие диагонального преобладания.

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем

Метод простой итерации

где x – искомый вектор, а α и – некоторые новые матрица и

вектор, соответственно. Будем решать (2.8) методом последовательных приближений. В качестве нулевого

Такой итерационный процесс будем называть методом простых итераций (МПИ). Так же, как и в случае МПИ для решения нелинейных алгебраических уравнений, метод (2.9) сходится не для любой матрицы α. Достаточным условием сходимости МПИ (2.9) к решению системы (2.8) при любом начальном

Существует несколько способов построения порождающей матрицы α, для которой выполняется достаточное условие сходимости.

Метод Якоби

Разрешим первое уравнение системы относительно x1 , второе

33

относительно x2 и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

приближение будем вычислять по рекуррентным соотношениям

В свернутом виде данную систему можно переписать как

Достаточное условие сходимости. Метод Якоби является вариантом МПИ, в котором

34

выполняется условие α 1, т.е. итерационный процесс (2.11)

сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием. Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Чаще всего в качестве начального

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Но данное условие не является необходимым, процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания.

ПРИМЕР 2.5. Решить СЛАУ из Примера 2.3 с помощью метода Якоби с точностью 0,01.

С помощью прямого метода обратной матрицы найдено решение x1 1,038 , x2 0,346 , x2 0,158 .

Найдем решение методом Якоби. Для начала проверим условие диагонального преобладания:

8 4 2

5 3 1

10 2 3

Приводим систему уравнений к виду (2.8):

35

36

Процесс продолжается, пока погрешность не станет меньше 0,01 , что происходит на 11-ой итерации. Следовательно,

приближенное решение имеет вид: x1 1,03849 , x2 0,348625, x3 0,158916 , что с точностью совпадает с решением, полученным по методу обратной матрицы.

При реализации в Excel расчетные формулы для xi 1 , при

условии, что исходные данные введены в лист Excel, как показано ниже,

имеют вид:

x11 =1/$B$1*($G$1-$C$1*C6-$D$1*D6), x21 =1/$C$2*($G$2-$B$2*B6-$D$2*D6), x31 =1/$D$3*($G$3-$B$3*B6-$C$3*C6),

max xi 1 xi 0 {=МАКС(ABS(B8:D8-B7:D7))}.

i

37