Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1260 вузов, 4601 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Методы вычислений в Excel.pdf
Скачиваний:
187
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
998 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

 

1

 

h 3

 

 

 

h 3

 

 

 

h3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

f

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f i

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

8

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть M max

 

f

 

 

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

h

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 1

h

 

Mn

Mh

 

b a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

f i h

3

3

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 24

 

 

 

 

 

 

 

 

24

i 1

24

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. формула средних прямоугольников имеет второй порядок точности.

Формула трапеций

Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции заменялась на площадь прямоугольников.

В методе трапеций криволинейная трапеция заменяется на прямоугольную (рис. 4.3), площадь которой вычисляется по

xi

f xi 1 f xi

 

известным формулам: f x dx

xi xi 1 .

2

xi 1

 

y

 

f x

 

 

xi 1

 

 

x

xi

Рис. 4.3. Метод трапеций

Формула трапеций может быть также получена путем замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:

64

L

 

x

1 x x

f x

x x

f x

.

 

 

1,i

 

 

h

 

i 1

i

 

i

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

L1,i x dx 1 xi x xi 1 f xi dx 1 xi

x xi f xi 1 dx

xi 1

 

 

 

h xi 1

 

 

 

 

h xi 1

.

 

 

1

f xi h2

1

f xi 1 h2

 

f xi

f xi 1

 

h

 

 

2h

 

2

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для всего отрезка a,b получим:

 

 

f x dx

f x dx

f xi f xi 1 h .

 

 

b

 

 

 

n

xi

 

n

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

i 1 xi 1

 

i 1

2

 

 

 

 

Можно

показать, что формула трапеций совпадает с

формулой средних для таблично заданной функции и также имеет второй порядок точности.

Формулу трапеций можно также записать в виде:

 

 

 

 

b

f a f b

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx h

 

 

 

 

 

 

 

 

f xi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Симпсона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении интеграла

f x

dx

с помощью метода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Симпсона

(парабол),

функцию

f x

на

локальном

отрезке

xi 1, xi

заменяют

параболой,

проходящей

через

 

точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

xi

 

xi 1, f xi 1

, x

1

, f

x

 

1

 

 

, xi , f xi , где x

1

 

 

 

 

–

i

2

 

2

 

 

i

 

2

 

 

 

 

 

 

i

 

2

 

 

 

середина локального отрезка. Построим полином Лагранжа

второй степени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x L2,i x , x xi 1, xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

2 x x

 

x x

 

f

 

 

 

2

 

x x

 

x x

 

 

 

 

 

 

i 12

 

L2,i x

 

 

i

12

 

 

i

 

i

1

 

i 1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

h

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

12

 

i

 

 

 

 

 

 

 

65

Здесь

f

 

f x

,

 

 

f

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, f

 

 

f x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i 12

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i 12

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx

 

L

 

 

x dx

 

2 f

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

x x dx

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

x x x

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi 1 x

xi

 

 

 

 

 

x

xi

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f

 

 

 

x

x

 

 

 

x x

 

 

 

h dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi x xi

x xi 1

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

h

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

3

 

 

 

 

 

h

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

h

3

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

2 f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

i 1

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

i

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

f

 

 

 

4 f

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

i 1

i 1

2

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, мы получаем формулу Симпсона

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

i 1

 

x

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx

 

 

f

 

x

i 1

 

4 f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

i

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно показать, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности.

ПРИМЕР 4.1. Вычислить интеграл J= 2 3 x 2 1 x dx .

1

Найдем значение определенного интеграла точно:

66

 

x4

 

x3

 

x2

3x

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

-

- 3

 

5,25.

 

 

 

 

4

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разобьем отрезок 1,2 на 10 частей, т.е.

h

0,3 .

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим значение интеграла по формулам левых, правых, средних прямоугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона. Для этого составим таблицы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

xi

f xi

xi xi 1

x

 

x

 

 

fi 1

4 f

 

1

fi

 

 

 

 

 

f

 

i

 

i 1

 

 

 

i

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

-1

4

-0.85

4.213375

 

 

25.1205

1

-0.7

4.267

-0.55

4.181125

 

 

24.9675

2

-0.4

3.976

-0.25

3.671875

 

 

21.9525

3

-0.1

3.289

0.05

2.847625

 

 

17.0475

4

0.2

2.368

0.35

1.870375

 

 

11.2245

5

0.5

1.375

0.65

0.902125

 

 

5.4555

6

0.8

0.472

0.95

0.104875

 

 

0.7125

7

1.1

-0.179

1.25

-0.35938

 

 

-2.0325

8

1.4

-0.416

1.55

-0.32863

 

 

-1.8075

9

1.7

-0.077

1.85

0.359125

 

 

2.3595

10

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне i 0 9 и умножить на шаг h 0,3 .

Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне i 1 10 . Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг h 0,3 .

Суммируя значения последнего столбца и умножая ее на

67

h6 =0,05, найдем интеграл по методу Симпсона, результаты соберем в таблицу:

Формула левых прямоугольников

5.7225

Формула правых прямоугольников

4.8225

Формула средних прямоугольников

5.23875

Формула трапеций

5.2725

Формула Симпсона

5.25

Как следует из таблицы, для данной подынтегральной функции формула левых прямоугольников дает приближенное значение с избытком, а формула правых прямоугольников – с недостатком. Хорошую точность дали метод трапеций и метод средних прямоугольников. Результаты различаются, поскольку значения известной подынтегральной функции в методе средних были вычислены в средних точках, а не получены путем интерполяции. Метод Симпсона дал абсолютно точное значение интеграла. Это связано с тем, что первообразная функция в данном примере является полиномом четвертого порядка, для которых метод Симпсона дает точное значение.

68

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности