Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Методы вычислений в Excel.pdf
Скачиваний:
187
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
998 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Постановка задачи

Требуется найти значение определенного интеграла I b f x dx для некоторой заданной на отрезке a,b функции

f xa . Для некоторых функций значение интеграла можно найти

точно. Однако в общем случае значение интеграла можно найти только приближенно, используя тот или иной способ численного интегрирования.

Численное интегрирование основано на замене интеграла

 

n

xk .

 

 

 

некой суммой

In ck f

Такая

замена

следует из

 

k 0

 

 

 

 

определения

интеграла

 

как

предела

суммы

n

I lim f i xi xi 1 . Зафиксировав n , мы получим

n i 1

предыдущую сумму.

Приближенное равенство I In называется квадратурной формулой, xk – узлами, а ck - коэффициентами квадратурной

 

 

 

 

b

n

 

формулы.

Разность

n f x dx

ck f xk называется

 

 

 

 

a

k 0

 

погрешностью квадратурной формулы.

 

 

Разобьем

отрезок

a,b

на n равных частей

точками

a x0 x1

x2

... xn b .

Получим

равномерную

сетку:

 

 

 

 

b

n xi

 

xi a ih,i 0,1,..., n . Тогда I f x dx f x dx .

 

 

 

 

 

a

i 1 xi 1

 

Для построения квадратурной формулы на всем отрезкеa,b достаточно построить квадратурную формулу на

частичном отрезке xi 1, xi .

60

Формулы прямоугольников

 

Пусть

f x f xi 1 , x xi 1, xi , т.е. мы

аппроксимируем

f x левой кусочно-постоянной интерполяцией. Тогда получим

xi

f x dx xi

f xi 1 dx f xi 1 xi

dx f xi 1 xi xi 1 hf xi 1 .

xi 1

xi 1

xi 1

 

 

 

b

n

 

 

Таким

образом, f x

dx h f xi 1 .

Эта формула

 

 

a

i 1

 

называется формулой левых прямоугольников.

f x

a

b

x

Рис. 4.1. Метод левых прямоугольников

Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников представлена на рис. 4.1, который показывает, что точное значение интеграла (площадь криволинейной

области под графиком f x ) заменяется на сумму площадей

прямоугольников, построенных под кусочно-постоянной интерполирующей функцией.

Аналогично может быть получена формула правых прямоугольников. Здесь f x f xi , x xi 1, xi . В результате

b

n

получим: f x dx h f xi .

a

i 1

61

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2. Метод правых прямоугольников

 

 

 

 

Оценим погрешность формулы левых прямоугольников:

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n f x dx h f xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

f x dx hf xi 1

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

i 1

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

i 1

.

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx hf xi 1

 

f xi 1 dx

 

 

 

 

 

i f

f x

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся формулой Тейлора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

f xi 1

f i

x xi 1 , i

xi 1, xi

.

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

h2

 

i i f xi 1 f i x xi 1 f xi 1 dx i

f i x xi 1 dx

f i

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

2

 

Пусть M max

 

 

 

 

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a,b

 

 

 

 

 

 

h

 

 

M 1 h

 

Mn h Mnh Mh b a ,

 

 

 

 

f i

 

 

 

 

n h

2

 

 

2

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i 1

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. формула левых

 

прямоугольников имеет

первый по

h

порядок точности. Аналогичную оценку можно получить для

формулы правых прямоугольников.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

на

 

 

 

 

каждом

 

отрезке

xi 1, xi

 

заменить

значение

функции

f(x)

 

 

 

 

на

ее

 

значение

 

 

в

 

середине

отрезка, т.е.

62

f x

 

 

 

, x

, получим формулу средних

f x

, x x

 

 

 

i 12

i 1

i

 

прямоугольников:

Если функция локальном отрезке

интерполяции xi 12

b

f x dx h

n

 

 

 

 

 

f x

.

 

 

i 12

 

a

 

 

i 1

 

 

f x

задана таблично, среднее значение на

можно вычислить с помощью линейной

xi 1 xi , и тогда метод средних имеет

2

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вид:

 

 

f x dx h f

 

 

i 1

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для оценки погрешности метода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

f x dx

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

f x dx hf x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

12

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

f x dx f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

2

 

h

 

f

x

1

2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

воспользуемся формулой Тейлора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

, x .

 

 

 

 

f x f x

 

 

 

f

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

x

x

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

i 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

12

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i 12

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i 1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

f i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

f

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

xi 1

 

 

 

 

x xi 1

 

 

 

 

2

x xi 1

 

 

f xi 1

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

f i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

i x xi 1

 

 

 

2

x xi 1

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f i

 

 

 

2

 

xi

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

i

12

 

 

xi 1

 

 

 

6

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

12

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i 1

2

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

i 1

2

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

i 1

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку x

x

 

 

 

 

 

h

 

и x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

h

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

2

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

i

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности