Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы вычислений в Excel.pdf

Скачиваний:

187

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

998 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2020

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ЭКЗАМЕНУ

Задача 1.	Получить	решение	уравнения
f x x3 x 2	9x 9 0 методом деления отрезка пополам с

точностью 0,05. Интервал изоляции 4; 3,8 .

Проверим, что данных отрезок является интервалом

изоляции корня. Найдем значение		функции на	концах этого
интервала: f 4 3,	f 3,8	2,768 . Т.е.	на интервале

содержится корень уравнения. Проверим, что он единственный.

						2x 9 0
	f	x 3x			2	2x 9 0
					2
	x		2			4 4 3 9		1,43
	x							1,43
	1					6
						6
	x2			2		4 4 3 9		2,097
	x2					6		2,097
						6			на всем интервале x x2 , а
	Следовательно,
	Следовательно,						f x 0
x2	2,097 3,8 , т.е. функция								f x монотонно возрастающая
на	4; 3,8 ,				следовательно, данный интервал содержит один

корень уравнения и является интервалом изоляции.

Расчеты проведем в Excel по методу деления отрезка пополам, результаты оформим в виде таблицы.

k	a	b	c	f a	f c		b a

0	-4	-3.8	-3.9	-3	-0.009	0.2
1	-3.9	-3.8	-3.85	-0.009	1.405875	0.1
2	-3.9	-3.85	-3.875	-0.009	0.705078	0.05
3	-3.9	-3.875	-3.8875	-0.009	0.349705	0.025

Расчетные формулы:

i 1

если f

i 1

ai 1 ,

в противном случае

если f a

i 1

ci 1 ,

в противном случае.

, i 0,1,2,...

Ответ: x=-3.8875

Задача 2.

Получить

решение

уравнения

f x x3

x 2

9x 9 0

методом

простой

итерации

точностью 0.001. Интервал изоляции 5, 3 .

Аналогично доказываем, что интервал является интервалом

изоляции.

5 46 , f 3 18

на

всем

интервале

x x2

, а x2 2,097 3 ,

т.е.

x 0

функция

f x

монотонно

возрастающая

на 5, 3 ,

следовательно, данный интервал является интервалом изоляции.

Расчетные формулы:
xk 1 xk cf xk
x0			a b
x0
				2
c				2		, M max f
c						, M max f
		m M				x a,b		x a,b
Найдем значения констант. Для этого вычислим значения
первой и второй производных:
						2x 9
f x 3x					2	2x 9	.
					2
						2 0
f	x 6x					2 0
Экстремум производной функции находится в точке
f	x 0

x				1 5, 3 .
				3

Находим значения производной на концах отрезка

		10 9 56
f 5 75		10 9 56
		6 9 12 .
f 3 27		6 9 12 .		2
Таким образом, M 56, m 12, c				2		0,0294 .
Таким образом, M 56, m 12, c				12 56		0,0294 .
				12 56
xk 1 xk 0,0294 xk3 xk2 9xk 9 ,				x0	5 3		4 .
Вычисления оформляем в таблице						2
Вычисления оформляем в таблице
	k	xk	f xk	xk xk 1
	k	xk	f xk	xk xk 1

	0	-4	-3
	1	-3.9118	-0.35069	0.0882
	2	-3.90149	-0.05198	0.01031
	3	-3.89996	-0.0079	0.001528
	4	-3.89973	-0.0012	0.000232

Ответ: x= -3,8997
Задача 3.	Получить	решение	уравнения
f x x3 x 2	9x 9 0 методом	Ньютона	с точностью

0,001. Интервал изоляции 5, 3 .

Проверка значений интервала изоляции была сделана в

примере выше. Расчетные формулы метода Ньютона:
xk 1 xk		f xk
					или в нашем случае
		f xk
xk 1 xk	x3		x 2	9x		k	9
		k	k
		3xk2 2xk 9

Выбираем			нулевое					приближение.	f
										x 6x 2 ,

f 5 28 , f 5 125 25 45 9 46 . Знак функции и

знак второй производной совпадают на правом конце отрезка, поэтому выбираем его в качестве начального приближения

x0 5 .

Результаты представлены в таблице


k	xk	f xk	f xk		xk xk 1
k	xk	f xk	f xk		xk xk 1

0	-5	-46	56
1	-4.17857	-8.89217	35.02423	0.821429
2	-3.92469	-0.72721	29.36009	0.253886
3	-3.89992	-0.00659	28.82821	0.024769
4	-3.89969	-5.6E-07	28.82332	0.000229

Ответ: x=-3,89969

Задача 4. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью 0,05:

9x1 x2 3x3 3 2x1 8x2 x3 1

x1 x2 6x3 6

Проверим условие диагонального преобладания:

9 1 3 4

8 2 1 3

6 1 1 2

Условия диагонального преобладания выполняются. Разрешим систему уравнений относительно xi

x1k 1	1	3 x2k 3x3k
	9
x2k 1	1	1 2x1k x3k
	8
x3k 1	1	6 x1k x2k
	6

xi0 0

Результаты можно представить в виде таблицы

k	x1k	x2k	x3k	max	xik 1 xik

					–
0	0	0	0
1	-0.33333	-0.125	-1	1

2	-0.01389	-0.33333	-1.07639	0.319444
3	-0.01157	-0.26302	-1.05787	0.070313
4	-0.00993	-0.26013	-1.04577	0.012105

Ответ содержится в последней строке таблицы.

Задача 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя с точностью 0,05:

9x1 x2 3x3 3 2x1 8x2 x3 1

x1 x2 6x3 6

Аналогично проверяем условие диагонального преобладания.

Разрешим систему уравнений относительно xi

x1k 1	1	3 x2k 3x3k
	9
x2k 1	1	1 2x1k 1 x3k
	8
x3k 1	1	6 x1k 1 x2k 1
	6

xi0 0

Результаты удобно оформить в таблицу

k	x1k	x2k	x3k	max	xik 1 xik
k	x1k	x2k	x3k	max	xik 1 xik

0	0	0	0
1	-0.33333	-0.20833	-1.09028	1.090278
2	0.006944	-0.25955	-1.0421	0.340278
3	-0.01481	-0.25896	-1.04563	0.02175

Ответ содержится в последней строке таблицы.

Задача 6. Для таблично заданной функции:

x	-2	1	1,5	2
f	0,1	-0,2	0,5	1,2

вычислить значение функции в точке z=1,2, используя формулы линейной интерполяции.

Определяем интервал, которому принадлежит z : 1;1,5 .

Расчетные формулы:
f z	fi fi 1	z xi fi .

	xi xi 1
Тогда
f 1,2 0,5 0,2 1,2 1,5 0,5			0,7	0,3 0,5 0,08 .
	1,5 1		0,5
Ответ: 0,08.
Задача 7. Для таблично заданной функции:

			x	-2		1			1,5		2
			f	0,1		-0,2			0,5		1,2
выписать базисные полиномы и вычислить значение
полинома Лагранжа в точке z=1,2; при n=3.
l0	z		z x1 z x2		z x3			1,2 1 1,2 1,5 1,2 2							0,00114
l0	z		x0 x1	x0 x2 x0 x3				2 1 2 1,5 2					2		0,00114
			x0 x1	x0 x2 x0 x3				2 1 2 1,5 2					2
l1	z		z x0	z x2	z x3		1,2 2 1,2 1,5 1,2 2							0,512

		x1 x0		x1 x2	x1 x3				1 2 1	1,5 1 2
l2	z		z x0 z x1		z x3			1,2 2 1,2		1 1,2		2	0,585

			x2 x0	x2 x1 x2 x3				1,5 2 1,5 1 1,5				2
l3	z		z x0 z x1		z x2		1,2 2 1,2 1 1,2 1,5							0,096
l3	z		x3 x0	x3 x1 x3 x2					2 2 2 1 2 1,5					0,096
			x3 x0	x3 x1 x3 x2					2 2 2 1 2 1,5
L3 z f 0 l0 z f1l1 z f 2 l2 z f3l3 z

0,00114*0,1 0,512*0,2 0,585*0,5 0,096*1,2 0,0748

Ответ: 0,0748.

Примеры решения задач на интегрирование можно найти выше.

Рекомендации. В билетах задание может быть в виде: Вычислить интеграл методом трапеций функции, заданной

таблично:

	x	-1	-0,5	0	1
	f	2	3	4	4,5
В	данном	задании	переменная	x меняется с постоянным

шагом 0,5. При использовании формулы трапеций решение ищется в виде:

f x0	f xn	n 1	2	4,5
I h		f xi	0,5		3 4	5,125 .
	2			2
		i 1

В случае же, если шаг не постоянный, например:

			x	-1		-0,6		0		0,8
			f	2		3		4		4,5
	необходимо			пользоваться общей формулой трапеций:
	n		xi f xi 1
I		f	xi f xi 1		xi xi 1
I					xi xi 1
	i 1			2
Т.е. в данном случае решение ищется как
I 3 2			0,6 1			4 3	0 0,6		4,5 4	0,8 0 6,5
I 3 2			0,6 1			2	0 0,6		2	0,8 0 6,5
2						2			2

Аналогично для формул левых и правых прямоугольников:

n	xi xi 1	,	n	.
I лев f xi 1	xi xi 1	,	Iправ f xi xi xi 1	.
i 1			i 1

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................	3
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ....................................	5
Постановка задачи..............................................................	5
Приближенные (итерационные) методы решения НАУ10
Метод деления отрезка пополам (дихотомии)...........	10
Метод простой итерации..............................................	12
Метод релаксации.........................................................	14
Метод Ньютона (касательных) ....................................	16
Метод хорд ....................................................................	20
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ..................................	23
Постановка задачи............................................................	23
Прямые методы решения СЛАУ.....................................	24
Метод Крамера..............................................................	24
Метод обратной матрицы.............................................	26
Метод Гаусса.................................................................	27
Метод прогонки ................................................................	31
Итерационные методы решения линейных
алгебраических систем.....................................................	33
Метод простой итерации..............................................	33
Метод Якоби..................................................................	33
Метод Гаусса-Зейделя..................................................	38
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ......................................	41
Постановка задачи интерполяции...................................	41
Локальная интерполяция..............................................	42
Кусочно-постоянная интерполяция ............................	42
Кусочно-линейная интерполяция................................	43
Кубический интерполяционный сплайн.....................	45
Глобальная интерполяция................................................	49
Полином Лагранжа.......................................................	50
Подбор эмпирических формул....................................	53
	95

Метод наименьших квадратов.....................................	55
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ..................................	60
Постановка задачи........................................................	60
Формулы прямоугольников.........................................	61
Формула трапеций........................................................	64
Формула Симпсона.......................................................	65
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ..........................	69
Постановка задачи............................................................	69
Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ
первого порядка ................................................................	70
Метод Эйлера....................................................................	71
Модифицированный метод Эйлера.................................	72
Методы Рунге-Кутты........................................................	73
Численные методы решения систем ОДУ первого
порядка...............................................................................	75
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ.............................................	80
Постановка задачи........................................................	80
Аппроксимация производных......................................	81
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И РЕКОМЕНДАЦИИ К
ЭКЗАМЕНУ...........................................................................	88

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2020

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.04.2015791.04 Кб22Методичка_Менеджмент_2013.doc
#
09.04.20153.87 Mб216Методичка_Планировка микрорайона.pdf
#
08.04.20151.1 Mб41Методичка_ПМ_2007.doc
#
09.04.2015552.16 Кб10Методичка_ЭП_2014.pdf
#
09.04.2015279.04 Кб56МетодичкаПо_Курсовому Проекту_Управл_Данными.doc
#
14.03.2016998 Кб187Методы вычислений в Excel.pdf
#
06.12.20183.27 Mб73Методы вычислений и их реализация в Excel..doc
#
09.04.201555.91 Кб53микроэкономика.docx
#
09.04.2015161.66 Кб19Министерство образования РФ.docx
#
09.04.201527.09 Кб35МК для ГТС.docx
#
14.03.20161.32 Mб30МК3, большепролетное здание.pdf