Метод релаксации

функцию

x x cf x ,

где

c

–

некоторая

постоянная.

Постоянную

c

выбирают

таким

образом, чтобы

условие

q

1

выполнялось бы для всех x a,b .

x

При таком выборе функции x метод простой итерации

называют методом релаксации.

Получим условия на выбор константы c :

1

cf

1

1

x

x

1 cf

x

1 2 cf x 0

Таким образом,

если

f

то

2

c 0 .

Если

же

x 0 ,

f

x

2

c 0 .

f x 0 , то

f

x

Отсюда видно, что знак постоянной c совпадает со знаком

2

производной

f

Часто

c

берут в виде: c M m ,

где

x .

M max f

x ,

m min f

x .

Убедимся,

что

такой

выбор

c

удовлетворяет

условию

сходимости.

Пусть

f

M 0

и

m 0 ,

и,

x 0 . Тогда

следовательно,

c 0 и

x

2

2

2 M m f

0 , т.к.

M f x .

f x

M m

f x M m

Следовательно,

2

c 0 .

f

x

Пусть теперь

f

M

0 ,

m 0

c 0 и

x 0 . Тогда

2

2

2 f

x M m

0 , т.к.

M m

f

f

x

x M m

f x M m 0, f

x M 0 и m 0 .

Следовательно,

2

c 0 .

f x

ПРИМЕР 1.3.

Найдем

с

точностью 0,001

второй

корень уравнения

f x x3

6x2

3x 11 0 ,

лежащий

на

интервале

1, 3 .

Для

определения

значения

параметра

c

необходимо

найти

максимальное

и

минимальное значения

производной функции

f

на

отрезке 1,3 . Для

этого

x

необходимо

найти

значения

f

на концах интервала и

в

x

точках экстремума,

где

f

(если эти точки лежат

на

x 0

максимальное и минимальное. В нашем случае

2

f x 3x

12x

3 ,

f 1 3 12 3 6

f

36 3 6

, f

3 27

x 6x 12 0 при x 2

Экстремум

производной

находится

на

заданном

отрезке

1, 3 ,

находим

значение

производной

в

этой

точке:

3 9 . Следовательно

f

2 12 24

M max 6, 6, 9 6 ,

m min 6, 6, 9 9 ,

c

2

2

2

.

M m

6

9

15

Таким образом, x x

2

x3

6x2

3x 11 .

15

1 3

Выберем начальное приближение x0

2 ,

2

следующие приближения вычисляются по формуле

xk 1 xk

2

xk

3 6xk

2

3xk 11 , k=0, 1, 2,..

15

Условием окончания итерационного процесса является

условие:

xk 1

xk

0,001 или

f xk

0,001

A

B

C

1

Номер

xk

xk 1 xk

итерации

2

0

2

3

1

2,133333

0,133333

4

2

2,106983

0,026351

5

3

2,1121

0,005117

6

4

2,111101

0,000999

7

5

2,111296

0,000195

функции f(x) линейной. Геометрическая иллюстрация метода

представлена на рис. 1.5. Участок кривой

y f x на отрезке

x xk , xk 1

заменяется отрезком касательной, проведенной из

точки xk

к графику функции y f x . Уравнение касательной

имеет

вид

y f xk x xk f xk .

Найдем точку

абсцисс, и обозначим ее

xk 1 . Тогда уравнение касательной в

этой точке будет иметь вид

0 f xk xk 1 xk f xk .

Отсюда можно найти xk 1

xk

f xk

.

f xk

f 5 1 0 ,

то на этом конце знаки

f x

и f x совпадают

и x0 5 .

Вычисления оформим в виде таблицы:

Номер итерации

xk

f xk

f xk

xk 1 xk

0

5

1

18

1

4.944444

0.027606

17.00926

0.055556

2

4.942821

2.33E-05

16.98059

0.001623

3

4.94282

1.66E-11

16.98057

1.37E-06

Здесь

f xk xk

3 6xk

2

3xk 11,

2

f xk

f xk 3xk

12xk 3, xk 1 xk

.

f xk

В качестве

корня можно взять

значение: x 4,943 . Из

касательных,

найдем

первый

корень

уравнения

x3 6x2

3x 11 0 на отрезке 2, 1 методом Ньютона:

Так

как

f

0 на

интервале

x 6x 12 , то f

x

2, 1 , а так как f 2 27 0 , то

x0 2 .

f xk

Номер итерации

xk

f xk

xk 1 xk

39

0

-2

-27

-

1

-1.30769

-5.41966

23.82249

0.692308

2

-1.08019

-0.50182

19.46272

0.227502

3

-1.05441

-0.00613

18.9882

0.025783

4

-1.05408

-9.5E-07

18.98229

0.000323

Заданная

точность достигается

на

4-ой

итерации.

1,3 . Поскольку вторая производная

f x 6x 12 меняет

так, чтобы изменения знака не происходило. Рассмотрим

интервал

2,1;3 . Вычислим значения функции и второй

производной

на

левом

конце

отрезка:

f 2,1 0,101 0 .

f 2,1 0,6 0 ,

качестве начального приближения выбираем x0

2,1.

Номер

xk

f xk

f xk

xk 1 xk

итерации

0

2.1

0.101

-8.97

-

1

2.11126

3.95E-05

-8.96286

0.01126

2

2.111264

6.47E-12

-8.96286

4.4E-06

3

2.111264

0

-8.96286

7.22E-13

итерации тратится много времени. Зададим

x0

– начальное

приближение и вычислим производную

z

f x0 . На

следующих итерациях используется вычисленное значение

производной:

xk 1 xk

f xk

. Это упрощение несколько

z