Метод хорд

В этом методе кривая f x

заменяется прямой линией –

хордой,

стягивающей

точки

a, f a

и

b, f b .

В

зависимости от знака выражения

метод хорд имеет

f a f

a

два варианта, изображенных на рис. 1.6, а, б.

x0 b , точка a

Пусть f a f a 0 (рис. 1.6, а). Тогда

будет оставаться неподвижной.

Следующее приближение

x1

находим

как

точку

пересечения

хорды,

соединяющей точки

a, f a и x0 , f x0

с осью

x . Поскольку уравнение хорды

записывается

как

y

f a

f x0 f a

x

a , то точка

x

x0 a

пересечения

хорды

с

осью

находится

из выражения:

x a

f a x0 a

.

f x0 f a

Рис. 1.6. Метод хорд для

f a f

f a f

a 0 (a) и

a 0 (b)

Пусть теперь f a f

б). Тогда x0 a ,

a 0 (рис. 1.6,

x x

f x0 b x0

. На следующей итерации в качестве x

f b f x0

1

0

0

надо взять вычисленное значение

x1 и т.д. Таким образом, мы

Если f a f

x0 b и xk 1 a

f a xk a

. Если

a 0 , то

f xk f a

же f a f

f xk b xk

x0

a и xk 1 xk

f b f xk , где

a 0 , то

происходит

либо по условию малости невязки уравнения:

f xk

,

либо по условию

xk 1 xk

.

ПРИМЕР 1.5. Найти первый и третий корень уравнения

x3 6x2 3x 11 0 методом хорд.

a 2 и

Концы интервала изоляции для первого корня

b 1, соответственно. Проверим знак выражения

f a f a

для данного уравнения:

2 3 6 2 2 3 2 11 6 2 12 27 24 0 .

Таким образом, расчет ведется по формулам: x0 b и

xk 1 a

f

a xk

a

. В результате получим таблицу:

f

xk f a

Номер

xk

f xk

xk 1 xk

итерации

0

-1

1

-

1

-1.03571

0.345618

0.035714

2

-1.0479

0.117007

0.012187

3

-1.05201

0.039334

0.004108

4

-1.05339

0.013192

0.001379

5

-1.05385

0.004421

0.000462

Для

третьего

корня

a 4 ,

b 5 ,

и

3

2

4 11 6 4 12 9 12 0 ,

f 4 f 4 4 6 4 3

следовательно, расчет ведется по вторым формулам:

x0 a

и

xk 1

xk

f xk b xk

.

Результаты

вычислений

показаны

f b f xk

ниже:

Номер

xk

f xk

xk 1 xk

итерации

0

4

-9

-

1

4.9

-0.711

0.9

2

4.941555

-0.02147

0.041555

3

4.942783

-0.00062

0.001229

4

4.942819

-1.8E-05

3.57E-05