Требуется найти значение функции при z 1 и z 3,2 при

помощи

кусочно-постоянной

и

кусочно-линейной

интерполяции.

Решение. Точка z 1 принадлежит первому отрезку 0,2 ,

т.е. i 1

и,

следовательно,

по

формулам

левой

кусочно-

постоянной интерполяции F 1 f0

1 ,

по формулам правой

кусочно-постоянной

интерполяции

F 1 f1 0,2 .

Теперь

воспользуемся формулами кусочно-линейной интерполяции:

k

1

f1

f0

0,2 1 0,6 , l f

1

f1

f0

x 0,2 1,2

2 1,

x1

x0

2

1

x0

x0

1

2

и тогда F 1 0,6 1 1 0,4 .

Точка

z 3,2

принадлежит третьему интервалу 3;3,5 , т.е.

i 3 и,

следовательно,

по формулам левой кусочно-постоянной

интерполяции

F 3,2 f2 0,5 ,

по формулам правой кусочно-

постоянной

интерполяции

F 3,2 f3 0,8 .

Воспользуемся

формулами кусочно-линейной интерполяции:

k3

f3 f2

0,8 0,5

0,6 ,

x3

x2

3,5

3

l3

f3

f3

f2

x3

0,8 0,6 3,5 1,3 , и

x3

x2

F 3,2 0,6 3,2 1,3 0,62 .

S

x

a

b

x x

c

x xi 2

d

x xi 3

i

i

i

i

i

i

2

6

Неизвестные коэффициенты ai ,bi ,ci , di ,

i 0,1,2,..., N , находим

из:

условий интерполяции: Si xi

fi

, i 1,2,..., N , S1 x0 f0 ;

непрерывности функции Si

xi 1 Si 1 xi 1 , i 2,3,..., N ;

непрерывности первой и второй производной:

xi

1 , i 2,3,..., N .

Si

xi 1 Si 1 xi 1 ,

Si xi 1

Si

1

Учитывая, что

x xi 1 2

x xi 1 3

S

i 1

x a

b

x x

c

d

,

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

2

6

для определения 4N неизвестных получаем систему 4N 2

уравнений:

ai fi ,

i 1,2,..., N ;

b h

c

h2

d

h

3

f

f

,

i 1,2,..., N ;

i

i

2

6

i i

i

i

i

i 1

b b

c

h

d

h2

,

i 1,2,..., N ;

i

i

i

i 1

i

i

2

di hi

ci

ci 1 ,

i 2,3,..., N ,

где

hi xi

xi 1 .

Недостающие

два

уравнения

выводятся из

дополнительных

условий:

Можно

показать,

S

a S

b 0 .

что

при этом

c0 cN

0 .

Из

системы

можно исключить

неизвестные bi , di , получив систему

N 1

линейных

уравнений (СЛАУ) для определения коэффициентов ci

:

c0

0 , cN

0 ,

fi

hi ci 1 2 hi hi 1 ci hi 1ci 1

fi 1

fi fi 1

6

,

h

h

i

i 1

i 1,2,..., N 1

(3.1)

d

c

i

c

i 1

,

b

c h

d

i

h

2

f

i

f

i 1

, i 1,2,..., N .

(3.2)

i

i i

i

hi

i

2

6

hi

В случае постоянной сетки hi

h ,

и тогда система уравнений

упрощается:

f2 2 f1 f0

4c

c

6

1

2

h2

c

i 1

4c

i

c

i 1

6

fi 1 2 fi

fi 1

h2

i 2,3,..., N 2

c

N

2

4c

N

1

c

N

6

f N 2 f N 1 f N 2

h2

cN

0

Для вычисления значения S x

в

произвольной

точке

отрезка

x a,b

необходимо решить систему уравнений на

коэффициенты

ci

,

i 1,2,..., N 1 ,

затем найти

все

коэффициенты bi ,

di . Далее, необходимо определить, на какой

интервал

xi0 , xi0 1

попадает

эта точка, и, зная номер i0 ,

вычислить значение сплайна и его производных в точке z

S z a

i0

b

z x

i0

c

i0

z xi0 2

d

i0

z xi0 3

,

i0

2

6

2

z xi0

,

S z bi0 ci0 z xi0 di0

2

S

ci0 di0 z xi0 .

z

ПРИМЕР 3.2. Задана таблица значений функции

x

0

1/4

1/2

3/4

1

f

1

2

1

0

1

В нашем случае: h h 1

4

,

i

f0 1, f1 2, f2 1, f3 0, f4 1,

N 4 .

Выпишем систему уравнений для определения ci :

4c1 c2

6

f2 2 f1

f0

6

1

2

2 1

192

h2

1

4

2

f3 2 f2 f1

c

4c

c

6

6 0 2 2 0

.

1

2

3

h2

h2

c2

4c3

c4

6

f4 2 f3 f2

6

1

2

0

1

192

h2

1

4

2

c1 48,

c2

0,

c3 48, c4

0 .

d1

c1 c0

48

192 ,

d2

c2 c1

48

192 ,

h

1

4

h

1

4

c3 c2

c4 c3

d3

48

192 , d4

48

192 .

h

1

4

h

1

4

c1h

d1h2

f1 f0

b

48

192

2

1

0 ,

2

6

h

8

16

6

1

1

c2 h

d2 h

2

f2

f1

192

1 2

4

b2

6 ,

2

6

h

16

6

1

4

c3 h

d3 h2

f3

f 2

b

48

192

0 1

0 ,

2

6

h

8

16 6

1

3

c4 h

d4 h

2

f4

f3

192

1 0

4

b4

6 ,

2

6

h

16 6

1

4

a1 2,a2 1,a3 0,a4 1.