втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Методы Рунге-Кутты

Идея построения явных методов Рунге-Кутты p -го порядка заключается в получении приближений к значениям y xi 1 по

формуле вида yi 1 yi h xi , yi ,h , где

q

xi , yi ,h cn kni h

n 1

k1i h f xi , yi ,

k2i h f xi 2 h, yi 21k1i h ,

k3i h f xi 3h, yi 31k1i h 32 k2i h ,

…

kqi h f xi q h, yi q1k1i h ... q,q 1kqi 1 h .

Здесь n , nj , 0 j n q – некоторые фиксированные

числа (параметры), которые подбирают таким образом,

чтобы получить нужный порядок аппроксимации p. Как правило, для каждого p существует не одна схема Рунге-Кутты порядка p, а целое параметрическое семейство. Так, схемы Рунге-Кутта второго порядка точности образуют однопараметрическое семейство

Выделим из семейства методов (5.8) два наиболее простых и часто используемых частных случая. При a 12 получаем формулы

73

которые совпадают с формулами модифицированного метода Эйлера (5.7). При a=1 выводим новый простой метод

который называется методом средней точки.

Схема Рунге-Кутта четвертого порядка точности. При p=4 можно получить один из вариантов метода:

помощью явного метода Эйлера (5.5), модифицированного метода Эйлера (5.7) и четырехэтапного метода Рунге-Кутта

(5.10). Точное решение: y x 1,5e2 x x2 x 0,5 . Построим разностную сетку xi i h,i 0,1,...,9 .

Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера: y0 1 , yi 1 yi h 2 xi2 yi ,i 0,1,...,9 .

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

74

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта: y0 1 ,

Видно, что в сравнении с точным решением, самым точным является метод Рунге – Кутта.

Численные методы решения систем ОДУ первого порядка

Рассмотренные выше методы решения задачи Коши для одного уравнения могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений высших порядков.

75

Пусть задана задача коши для системы двух уравнений

Вычисления приближенного решения проводятся путем последовательного применения этих формул.

76

Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка

исходная задача Коши для уравнения сводится к следующей задаче для системы двух ОДУ первого порядка:

которая решается с помощью методов, описанных выше. ПРИМЕР 5.2. Найти решение задачи Коши:

Проверим, что точное решение удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Действительно:

dydx e x 2xe x 1

модифицированным методом Эйлера (5.7) и методом РунгеКутты (5.10) на сетке с шагом h 0,2 .

77

Решение оформим в виде таблиц.

78