S z a b

z x

c

z x1 2

d

1

z x1 3

1

1

1

1

2

6

S 0,2 2 0 0,2 0,25 48

0,2 0,25 2

192

0,2 0,25 3

1,944

6

2

Итак, значение функции в точке 0,2 равняется 1,944.

Рассмотрим точку 0.8, которая принадлежит четвертому

отрезку, т.е. i0 3 .

Следовательно,

S z a

3

b z x

3

c

3

z x3 2

d

3

z x3 3

3

2

6

0,8 0,75 3

S 0,8 0 0 0,8 0,75 48

0,8 0,75 2

192

2

6

Будем искать интерполирующую функцию в виде полинома

(многочлена) m -ой степени P x a

0

a x a

x2 ... a

m

xm .

m

1

2

единственную прямую, т.е. интерполирующей функцией будет

полином

первой степени P1 x a0 a1 x .

Через

три

точки

( N 2 )

можно провести параболу P x a

0

a x a

x2

и т.д.

2

1

2

условия интерполяции при каждом x xi :

P

x

a

0

a x

a

x 2

a

3

x3

... a

N

x N

f

1

N

1

a

1 1

2 1

1

1

P

x

2

0

a x

2

a

2

x 2

a

3

x3

... a

N

x N

f

2

.

N

1

2

2

2

x

a

...

x N f

P

N

0

a x

N

a

2

x 2

a

3

x3

... a

N

N

N

1

N

N

N

Данная система является линейной относительно искомых

коэффициентов a0 ,a1 ,a2 ,..,.aN . Известно,

что

СЛАУ

имеет

1

x

...

xN

1

1

1

x2

...

x2N

xk xm

... ...

...

...

0 k m N

1

xN

...

xNN

Мы

показали,

что

для

нахождения

коэффициентов

a0 ,a1 ,a2 ,..,.aN надо

решить СЛАУ, что является сложной

задачей. Но есть другой способ построения

полинома N -й

степени, который не требует решения такой системы.

Полином Лагранжа

N

li z – базисные

Решение ищем в виде Ln z fili z , где

N -й степени,

i 0

полиномы

для

которых выполняется условие:

1,

i k

. Убедимся в

том,

что если такие полиномы

li xk

i k

0,

построены,

то LN x будет

удовлетворять условиям

Каким образом построить базисные полиномы? Определим

li

z

z x0

z x1 ... z xi 1

z xi 1

... z xN

,

i 0,1,2,..., N .

xi

x0 xi

x1 ... xi

xi 1 xi xi 1 ... xi xN

Легко понять, что

l0

z

z x1

z x2

... z xN

,

x0

x1

x0

x2

... x0

xN

l

z

z x0

z x2

... z xN

, и т.д.

1

x

x

0

x

x

2

... x

x

N

1

1

1

Функция

li z

является полиномом N –й степени от z и

для нее выполняются условия «базисности»:

li xk

xk

x0

xk

x1

... xk

xi 1

xk xi 1 ... xk xN

0,

i k ,

x

i

x

0

x

x

... x

i

x

x

x

... x

i

x

N

i

1

i 1

i

i 1

т.е. k 1,2,...,i 1,i 1,..., N ;

l

x

xi

x0

xi

x1

... xi

xi 1

xi

xi 1

... xi

xN

1,

i k .

x

x

x

... x

i

i

x

0

x

... x

i

x

x

i 1

x

N

i

i

1

i 1

i

i

Таким образом, нам удалось решить задачу о построении

интерполирующего

полинома

N -й

степени, и

для

этого не

N

N

z xk

виде компактной формулы: LN z fili z fi

.

i 0

i 0

i k xi xk

l0 z

z x1

, l1 z

z x0

x

0

x

1

x x

0

,

1

f1

z x0

LN z fi li z f 0 l0 z f1l1 z f 0

z x1

N

i 0

x0 x1

x1 x0

,

f1 f 0

f

1 f 0

z f

x

x

x

x

x

0

1

1

0

1

1

Пусть N 2 . Тогда:

l0 z

z x1

z x2

,

l1 z

z x0

z x2

,

x

0

x

x

0

x

2

x x

0

x x

2

1

1

1

l2

z

z x0

z x1

,

x2

x0

x2 x1

f1

z x0 z x2

L2 z fi li z f 0

z x1 z x2

2

i 0

x0 x1 x0 x2

x1 x0 x1 x2

.

z x0

z x1

x

2

x

0

x

2

x

1