что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине.

известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и

обратную задачу, т.е. по известным значениям E в каждой точке поля найти разность потенциаловмежду двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как:

С другой стороны работу можно представить в виде:

, тогда

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру получим:

т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности:

циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.

Из обращения в нуль циркуляции вектора E следует, что линии E электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность (рис. 2.1.30).

Это соотношение верно только для электростатического поля. Впоследствии мы с вами выясним, что поле движущихся зарядов не является потенциальным, и для него это соотношение не выполняется.

2.1.16. Расчет потенциалов простейших электростатических полей

Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами.

Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями

Мы показали, что напряженность связана с потенциалом

41

найденная с помощью теоремы Остроградского–Гаусса; σ = q/S– поверхностная плотность заряда.

Теперь, чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение (2.1.62):

Рис. 2.1.31. Графическая зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.

Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью

В п. 2.1.10 с помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что, т.к. , то (см. рис. 2.31)

42

(2.1.65)

Т.к. то , отсюда найдем разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2:

.

(2.1.66)

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

43

В п. 2.1.10. мы нашли, что (рис. 2.1.33)

Отсюда так же, как и в предыдущем случае, разность потенциалов будет равна:

.

Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем , Е = 0, между обкладками

потенциал уменьшается по логарифмическому закону, а вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю.

(2.1.67)

44

Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой)

Напряженность поля сферы (рис. 2.1.34) определяется формулой: .

(2.1.68)

Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара

Имеем диэлектрический шар (рис. 2.1.35), заряженный с объемной плотностью

45