(2.3.46)
.
Решением этого уравнения является выражение вида
. (2.3.47)
Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с собственной частотой контура ω0.
Для периода колебаний справедлива формула Томсона:
,
. (2.3.48)
Продифференцируем (4.2.3) по времени и получим выражение для тока:
(2.3.49)
.
Напряжение на конденсаторе отличается от заряда на 1/С:
(2.3.50)
.
Таким образом, ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. На индуктивности, наоборот, напряжение опережает ток на π/2.
(2.3.51)
,
где 
– волновое сопротивление [Ом].
Выражение (2.3.51) – это закон Ома для колебательного контура.
2.3.15. Свободные затухающие электрические колебания
174
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. 2.3.20). Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.
Рис. 2.3.20. Контур свободных затухающих колебаний
По второму закону Кирхгофа:
(2.3.52)
.
, или 
Обозначим 
– коэффициент затухания и, учитывая, что собственная частота контура 
, получим уравнение затухающих колебаний в контуре с R, L и С:
(2.3.53)
.
При 
, т.е. 
, решение этого уравнения имеет вид:
где 
– частота затухающих колебаний контура, или 
, т.е.
.
175
Рис. 2.3.21
На рис. 2.3.21 показан вид затухающих колебаний заряда q и силы тока I. Если сравнить электрические затухающие колебания с механическими (рис. 2.3.14), то хорошо видны общие закономерности этих явлений: колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.
Затухание принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания χ:
(2.3.54)
,
где A – амплитуда I, U, q.
Найдём выражение χ для электрических колебаний. Т.к.
, 
,
тогда
.
Поскольку R, L, ω определяются параметрами контура, следовательно χ является
характеристикой контура.
Если затухание невелико, т.е. 
, то 
тогда
|
. |
(2.3.55) |
|
|
|
Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q, которая определяется |
||
как величина, обратно пропорциональная χ: |
, а т.к. |
, где N – число |
176
колебаний, то , т.е. добротность Q тем больше, чем больше колебаний успевает совершиться, прежде чем амплитуда уменьшится в е раз.
Добротность определяется и по-другому:
,
где W – энергия контура в данный момент, следующий за этим моментом.
(2.3.56)
W – убыль энергии за один период,
При 
т.е. при 
, происходит апериодический разряд (рис. 2.3.22).
Рис. 2.3.22
Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в
апериодический, называется критическим сопротивлением |
. Найдем это |
сопротивление из равенства: |
|
, |
|
отсюда |
|
, |
(2.3.57) |
|
где Rвол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и C.
177