ЛЕКЦИЯ 25

2.3.23. Волновое уравнение

Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Найдем общий вид волнового уравнения. Для этого продифференцируем дважды уравнение плоской волны по времени t и всем координатам:

,

,

(2.3.88)

,

(2.3.89)

Сложим уравнения (2.3.89):

(2.3.90)

.

Подставим из (2.3.88) значение , и получим: . Учтем, что

, а окончательно получим для волнового уравнения

(2.3.91)

.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (5.6.4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по

времени , есть фазовая скорость волны.

записать в виде

194

(2.3.92)

.

2.3.24. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн

Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн. Можно показать, что для однородной и изотопной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует,

что векторы напряженности E иH электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям типа

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (2.3.93), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн.

Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

(2.3.94)

,

постоянные; ε и μ – соответственно, электрическая и магнитная проницаемость среды.

Если подставить в выражение для с известные значения электрической и магнитной

вакууме, которая равна скорости света. Причем электромагнитное поле

Полученные Максвеллом результаты показали, что в вакууме электромагнитное возмущение распространяется со скоростью света и представляет поперечные колебания.

В веществе скорость распространения электромагнитных возмущений меньше в раз. Все это позволило Максвеллу сделать фундаментальный вывод об электромагнитной

природе света.

195

Скорость распространения электромагнитных волн в среде зависит от ее электрической и магнитной проницаемости. Величину называют абсолютным показателем преломления. С учетом последнего имеем:

и .

Следовательно, показатель преломления есть физическая величина, равная отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их скорости в среде.

Векторы E , H и образуют правовинтовую систему (рис 2.3.33).

Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы E и

H всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения Е и H в любой точке связаны соотношением

.

Следовательно E и H одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

От уравнений (6.2.1) можно перейти к уравнениям

где, y и z при E и H подчеркивают лишь то, что векторы E и H направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z.

Уравнениям (2.3.95) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

одинаковы, т.е. колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитных волнах происходят в одинаковых фазах.

Из всего вышеизложенного можно сделать следующие заключения:

· векторы H , E и взаимно перпендикулярны, так как и направлены одинаково;

196

·электромагнитная волна является поперечной;

·электрическая и магнитная составляющие распространяются в одном направлении;

·векторы H и E колеблются в одинаковых фазах.

2.3.25. Энергия и импульс электромагнитного поля. Плотность потока энергии. Вектор Умова-Пойтинга

Мы уже много раз показывали, что электромагнитное поле обладает энергией. Значит, распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии (подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии). Сама возможность обнаружения электромагнитных волн указывает на то, что они переносят энергию.

Для характеристики переносимой волной энергии русским ученым Н.А. Умовым были введены понятия о скорости и направлении движения энергии, о потоке энергии. Спустя десять лет после этого, в 1884 г., английский ученый Джон Пойнтинг описал процесс переноса энергии с помощью вектора плотности потока энергии.

Введем вектор - приращение плотности электромагнитной энергии, где сама величина w определяется интегралом:

.

Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей и электрического и магнитного полей:

.

магнитного полей в каждый момент времени одинакова, т.е. . Поэтому

.

Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии – поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени:

. (2.3.97

Так как векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [E, H ]совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (рис. 2.3.34).

197

. (2.3.99)

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

(2.3.100)

.

Зависимость интенсивности излучения от направления называют диаграммой направленности. Такая диаграмма для линейного излучателя показана на рис2.3.36.

Рис. 2.3.36. Диаграмма направленности

Как доказал Герц, диполь сильнее всего излучает в направлении перпендикулярном по отношению к собственному направлению.

Ускоренно двигающиеся заряды излучают электромагнитную энергию в окружающее пространство. Вектор направлен вдоль радиуса и убывает обратно пропорционально

отсутствует вдоль этого вектора. Поэтому диаграмма направленности диполя имеет вид двух симметричных лепестков, как показано на рис. 2.3.36.

199