Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Boyarshinov_ChM_T3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

функции f(x, y) по этой системе функций i(x, y), j(x, y) и k(x, y), будут аппроксимировать значение f(x, y) в соответствующих узлах, как это было в предыдущем случае. Система уравнений относительно коэффициентов i, i и i имеет вид

i xi , yi i i xi i yi 1,i xj , yj i i xj i yj 0,

i xk , yk i i xk i yk 0.

Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны

1	xi	yi	yi xk yi yj ,
1	xj	yj xi yj yk xj yk	yi xk yi yj ,
1	xk	yk

1	xi	yi	1 1	yi		1	xi	1
0	xj	yj	xj yk xk yj , 1 0	yj	yj yk ,	1	xj	0 xk xj .
0	xk	yk	1 0	yk		1	xk	0

Главный определитель этой системы численно равен удвоенной площади рассматриваемого треугольного конечного элемента. Следует отметить, что0 лишь в том случае, когда нумерация вершин треугольника производится в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Искомые коэффициенты равны

i xj yk xk yj ,

i yj yk ,

i xk xj .

Таким же способом строятся еще две пробные функции, j и k, обладающие аналогичными свойствами,


	j j j x j y,				k k k x k y;
j	xk yi	xi yk ,	j	yk yi ,		j	xi xk ,
k	xi yj	xj yi ,	k	yi yj ,		k	xj xi .

Квадратичная аппроксимация

Для треугольного конечного элемента с шестью узловыми точками (рис. 2.11) квадратичные пробные функции конструируются в виде

i i i x i y i xy ix2 i y3,

коэффициенты i, i, i, i, i и i определяются, как и в предыдущем случае, из условий

xi , yi i

i xi i yi

i xi yi

i xi

i yi

, y

x y

i l

xj , yj i

i xj

i yj i xj yj i xj

i yj 0,

xm, ym i i xm i ym i xm ym i xm2 i ym2 0,

k xk , yk i i xk

i yk i xk yk i xk2 i yk2 0,

xn, yn i i xn i yn i xn yn i xn

i yn 0.

y
		k
n		Рис. 2.11. Двумерный конечный
i	m	элемент для квадратичной
i	m	аппроксимации
		аппроксимации
l	j
	x

Определители этой системы линейных алгебраических уравнений

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ,

xj yk xk yj xi yk yj xj yi yk xk yi yj ,

xj yi

3yk

xk yi

3yj ,

xi yk

xj yi

3yk

xk yi

yj ,

j xi

4 xk xj yj yk ,

2 yj yk 2,

2 xj xk 2

позволяют вычислить искомые коэффициенты

xk yj yi xj yi yk xi yk yj

xk yi

3yj

3yk

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

3yk

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

4 xk xj yj yk

yj 2 ,

xk yj yi xj yi yk xi yk

2 yj

yk 2

yj 2 ,

xk yj yi xj yi yk xi yk

2 xj xk 2

x y

На рис. 2.12 показаны квадратичные пробные функции, определенные для треугольного конечного элемента.

Рис. 2.12. Некоторые квадратичные пробные функции на треугольном конечном элементе

Аналогично вычисляются коэффициенты для остальных пробных функций.

4 xk yi xi yk xj yk xk yj

2 ,

x y

x x

4y2 x x

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

4 xj 2xi yk xk yi yk xk xk yi yj xi yj yk

yj yi xj yi yk xi yk yj

4 xi yj yk xj yi yk xk 2yk yi yj

yj yi xj yi yk xi yk yj

4 yi yk yk yj

yj 2 ,

xk yj yi xj yi yk xi yk

4 xi xk xk xj

2 ;

x y

k k

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

yk yi xk 3yi yj xj yi yk xi yj 3yk

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

xk xi xi yj 3yk xj yk yi xk 3yi yj

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

4 xk xi yi yk

yj 2 ,

xk yj yi xj yi yk xi yk

2 yi yk 2

2 ,

x y

2 x

yj 2 ;

j xk yj yi xj yi yk xi yk

m x

4 xi yj xj yi xk yi xi yk

2 ,

x y

m 4yi yi xj xk yj xi xk 4yk yi xi xj 2xi yj

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

4 2x

2 y

x x

x y

4 xk yj yi xj yk

yi xi 2yi yj yk

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

4 yj yi yi yk

m xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ,

4 xi xj xk

m xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ;

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

yj yi xk yi yj xj 3yi yk xi 3yj yk

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

xj xi xk yj yi xj 3yi yk xi 3yj yk

xk yj yi xj yi yk xi yk

yj 2

k x

4 xj

xi yi

2 ,

x y

2 yi

yj 2

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ,

2 xi

xj 2

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ;

4 xi yj xj yi xj yk

xk yj

n xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ,

4yj yj xi xk yi xj xk 4yk yj xi xj 2xj yixk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

4 2xi xk yj x2j yi yk xj xk yi yj xi yj ykxk yj yi xj yi yk xi yk yj 2

4 xk yi yj xi yk

yj xj 2yj yi

xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ,

n x

4 yi yj yj yk

2 ,

x y

4 xi xj xj xk

n xk yj yi xj yi yk xi yk yj 2 ;

Четырехугольные конечные элементы

Для четырехугольных конечных элементов билинейные пробные функции конструируются в виде

i i i x i y i xy,

причем коэффициенты i, i, i и i определяются из условий

i xi , yi i

i xi

i yi

i xi yi

, y

xk , yk

i xk

i yk

i xk yk

, y

В частном случае (рис. 2.13), когда конечный элемент является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям, пробные функции определяются выражениями

i x xk y yk hxhy ,	j	x xn y yn hxhy ,
k x xi y yi hxhy ,	n	x xj y yj hxhy .

Рис. 2.13. Пробная функция n на четырехугольном конечном элементе

Функции трех переменных

Для решения пространственных задач приходится строить пробные функции трех координатных переменных x, y и z. В простейшем случае конечный элемент представляет собой тетраэдр с четырьмя уздами i, j, k и n (рис. 2.14), пробная функция, например i, имеет вид

i x, y i i x i y iz.

	xk, yk, zk
z	xn, yn, zn	Рис. 2.14. Тетраэдральный
		Рис. 2.14. Тетраэдральный
y		конечный элемент для
y		аппроксимации пространственных
	xj, yj, zj	тел

xi, yi, zi

Коэффициенты i, i, i и i, как и в предыдущих случаях, определяются из системы уравнений

i xi , yi , zi i

i xi

i yi

i zi

, y

, z

xk , yk ,zk

i xk

i yk

i zk

, y

Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны

1 1

zj ,

1 0

zj ,

1 0

1	xi	1	zi	1	xi	yi	1
1	xj	0	zj ,	1	xj	yj	0 .
1	xk	0	zk	1	xk	yk	0
1	xn	0	zn	1	xn	yn	0

Искомые коэффициенты определяются выражениями

Следует отметить, что с помощью конечных элементов в виде тетраэдров могут быть представлены области в виде параллелепипедов (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Представление параллелепипеда (а) с помощью набора тетраэдров (б)

xs, ys, zs xr, yr, zr

z	xp, yp, zp		xq,yq,zq
		hz		Рис. 2.16. Конечный элемент в
		xn, yn, zn	xk, yk, zk	виде параллелепипеда со
		xn, yn, zn	xk, yk, zk	сторонами, параллельными
	y	hx	hy	сторонами, параллельными
	y	hx	hy	координатным осям
	xi, yi, zi		xj, yj, zj
		x

В случае (рис. 2.16), когда конечный элемент является параллелепипедом со сторонами, параллельными координатным осям (hx, hy и hz – размеры сторон параллелепипеда), пробные функции определяются выражениями

i x xj y yn z zp hxhyhz ,

j x xi y yn z zp hxhyhz ,

k x xi y yi z zp hxhyhz ,

n x xj y yi z zp hxhyhz ,

p x xj y yn z zi hxhyhz ,

q x xi y yn z zi hxhyhz ,

r x xi y yi z zi hxhyhz ,

s x xj y yi z zi hxhyhz .

Контрольные вопросы и задания

Как строится аппроксимация заданной функции методом взвешенных невязок с использованием набора кусочно-гладких функций?

Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-постоянных пробных функций.

Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-линейных пробных функций.

Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-квадратичных пробных функций.

Какой смысл имеют коэффициенты разложения заданной функции по системе пробных функций?

Какая система пробных функций носит название иерархической?

В чем преимущество иерархической системы полиномов перед обычными пробными функциями?

Установите смысл коэффициентов разложения заданной функции по иерархической системе полиномов (по выбору).

Проверьте ортогональность (в указанном смысле) полиномов Лежандра

для приведенной системы функций i , i 0, ,5.

Постройте, используя указанную процедуру, дополнительные полиномы

Лежандра i ,

i 6, ,10.

3 . З А Д А Ч И Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С Т И

В этой и последующих главах рассматривается последовательность и особенности применения метода Галеркина, как частного случая метода взвешенных невязок, для решения прикладных задач механики сплошных сред.

Уравнение стационарной теплопроводности

Распределение температуры в одномерном тонком однородном стержне, теплоизолированном с боковой поверхности (рис. 3.0, а), описывается

параболическим уравнением стационарной теплопроводности
	d	dT	(3.0)
		+W = 0	(3.0)
	dx	dx
с граничными условиями1
dT	= Q0;	dT = -Q1.	(3.1)
dx x=0		dx x=1

Здесь обозначено: T(x) – температура, W – мощность внутреннего теплового источника, Q0, Q1 – проекции векторов тепловых потоков на внешние нормали к торцевым поверхностям стержня на левом и правом концах, – коэффициент теплопроводности. Для упрощения выкладок будем считать W и постоянными величинами.

Q0 Q1

qi		qj	x
xi	h	xj
	б

Рис. 3.0. Схема одномерной задачи теплопроводности (а) и отдельный элемент рассматриваемого стержня (б)

1 Корректность постановки этой задачи обсуждается ниже

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.2019260.61 Кб2bilety_po_istorii1_1.doc
#
29.03.2015539.41 Кб6bilety_sgmu.docx
#
29.03.2015545.25 Кб5bilety_sgmu.docx
#
13.03.20161.32 Mб132Boyarshinov_ChM_T1.pdf
#
13.03.20162.93 Mб308Boyarshinov_ChM_T2.pdf
#
13.03.20161.69 Mб99Boyarshinov_ChM_T3.pdf
#
21.08.201955.81 Кб6British Etiquette and Manners.doc
#
01.05.2019559.62 Кб4budget.doc
#
29.03.20153.3 Mб25buhgal.pdf
#
13.03.20162.22 Mб112Bulevy_funktsii_vse_paragrafy.doc
#
03.05.2019648.92 Кб46Bux_Uchet.docx