Boyarshinov_ChM_T3

Fr k r F k Fz k z d Fr k r F k Fz k z d .

Векторная функция 1, согласно (4.5), имеет компоненты

где

91

остальные обозначения введены ранее.

Для установления кинематических соотношений, как и ранее, вектор перемещений представляется в виде

Для цилиндрической системы координат (с учетом осевой симметрии напряженно-деформированного состояния) связи компонент тензора деформации и вектора перемещений устанавливаются формулами

Последовательная подстановка (4.15) и последнего выражения в соотношение (4.21) приводит к системе алгебраических уравнений метода взвешенных невязок для осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, совпадающей по виду с выражением (4.18),

Подынтегральные выражения содержат интегралы по области , занимаемой конечным элементом. Для цилиндрических координат это соответствует

92

f r, ,z d f r, ,z rdrd dz 2 f r, ,z rdrdz.

При определении коэффициентов матрицы жесткости конечного элемента приходится вычислять значения интегралов вида

и другие. Даже при аппроксимации решения линейными пробными функциямиi r,z это представляет значительные трудности.

Практика использования метода взвешенных невязок показывает, что с приемлемой точностью такого вида интегралы можно заменять выражениями

где r, z – координаты центра тяжести конечного элемента, Sp – как и ранее, площадь конечного элемента. Очевидно, что точность такого приближения повышается с уменьшением размеров конечных элементов.

Решение задач упругопластичности

Рассматривается частный случай связи напряжений и деформаций в теории малых упругопластических деформаций1 Г. Генки, определяющей пропорциональность девиаторов тензоров напряжений и деформаций:

где 11 22 33 . С помощью соотношения (4.22) устанавливается связь интенсивности деформации i (второго инварианта тензора деформации) с интенсивностью напряжения i (вторым инвариантом тензора напряжений),

1 А. А. Ильюшиным установлено, что закон малых упругопластических деформаций справедлив, по крайней мере, в тех случаях, когда процесс нагружения является простым. В частности, это имеет место, если внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру. В этом случае для простого нагружения достаточно, чтобы i и i были связаны степенным соотношением вида i A i .

93

Принимая гипотезу единой кривой и учитывая условие пластического течения, i T i , параметр в соотношении (4.22) может быть определен в виде

Метод переменных параметров упругости

С помощью соотношения (4.22) устанавливается связь компонент тензоров напряжений и деформаций,

физические уравнения теории малых упругопластических деформаций принимают форму

Полученное выражение может быть представлено в форме, аналогичной записи закона Гука для упругого деформирования (4.14)

Решение этой систему уравнений дает

* E 1 2 , 2E 1 2

94

Процесс решения строится в следующей последовательности.

1.Во всей рассматриваемой области напряженно-деформированное состояние предполагается упругим, то есть

12G 1 E ,

вследствие чего * , E* E . Решением системы алгебраических уравнений (4.25) с граничными условиями, соответствующими поставленной задаче,

деформаций i. Это, в свою очередь, позволяет с помощью диаграммыT i определить для каждого конечного элемента величину параметра

согласно выражению (4.23) и подсчитать значения переменных параметров упругости E*, * , то есть сформировать матрицу [D*] для каждого конечного элемента.

3. Формируется система уравнений (4.25) с вычисленными значениями

95

Итерационная процедура выполняется до тех пор, пока для двух соседних итераций s и s+1 выполняется условие

где > 0 – заданная погрешность вычислений. Геометрическая интерпретация итераций метода переменных параметров упругости показана на рис. 4.6.

Метод дополнительных нагрузок

Вновь, с использованием соотношения (4.22), связь девиаторов тензоров напряжений и деформаций представляется в виде

Это выражение, с учетом зависимости (4.24), позволяет записать соотношение между компонентами тензоров напряжений и деформаций,

Вводя, в соответствии с законом Гука (4.14), упругие напряжения

ije ij 2G ij

и дополнительные напряжения

полные напряжения можно представить в виде

ij eij *ij .

Подстановка этого соотношения в уравнения (4.0) и (4.3) приводит к соотношениям

96

Вводя обозначения

два полученных уравнения можно представить в виде

Теперь задачу упругопластичности можно рассматривать как задачу упругости с дополнительными массовыми силами F* и поверхностными нагрузками F*. Разрешающие соотношения (4.18) метода взвешенных невязок теперь представляются в форме

m

Bk D Bi T d ui k F d k F d Bk R d

первоначально во всей области предполагается чисто упругое деформирование. Решением системы алгебраических уравнений (4.27)

аппроксимирующих исследуемую область .

2.По известным компонентам тензора деформаций подсчитывается интенсивность деформаций i. Это, в свою очередь, позволяет по

поверхностные нагрузки F* на границе ГF области.

3. Формируется система уравнений (4.27) с дополнительными слагаемыми

97

выполняется до тех пор, пока, как и в предыдущем методе переменных параметров упругости, для двух соседних итераций выполняется условие (4.26).

Контрольные вопросы и задания

Обоснуйте принцип построения системы пробных функций для пространственных (трехмерных) задач.

Покажите, что система пробных функций (4.5) для пространственных задач является полной и замкнутой.

Воспроизведите построение разрешающих соотношений метода Галеркина для уравнений равновесия деформируемого твердого тела с использованием конечно-элементной аппроксимации.

Сформулируйте основные гипотезы плоско-деформированного напряженного-деформированного состояния.

Сформулируйте основные гипотезы плоско-напряженного напряженного-деформированного состояния.

Сформулируйте основные гипотезы осесимметричного напряженногодеформированного состояния.

Обоснуйте процедуру ансамблирования конечных элементов. Каким образом учитываются кинематические и силовые граничные условия при получении системы линейных алгебраических уравнений метода Галеркина?

Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании плоско-напряженного и плоскодеформированного состояний твердого тела.

98

Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании осесимметричного и плоскодеформированного состояний твердого тела.

Сформулируйте гипотезу единой кривой, используемую в теории малых упругопластических деформаций.

Сформулируйте условие пластического нагружения деформируемого материала.

Сформулируйте условия простого нагружения материала при упругопластическом деформировании.

Обоснуйте идею решение упругопластических задач с помощью последовательности решений задач упругости.

Опишите идею метода переменных параметров упругости. Приведите схему этого метода.

Опишите идею метода дополнительных нагрузок. Приведите схему этого метода.

99

5 . З А Д А Ч И М Е Х А Н И К И Ж И Д К О С Т И

Учитывая, что

в компонентной форме соотношения (5.0) имеют вид

В дальнейшем рассматривается плоское (двухмерное) течение жидкости. В этом случае приведенные выражения упрощаются. Функция тока (здесь и далее индекс z опускается) связана с компонентами vx и vy вектора скорости выражениями

Функция завихренности (вихрь скорости) определяется также одной компонентой,

100