Boyarshinov_ChM_T3

Рис. 5.2. Сетка конечных элементов, аппроксимирующая замкнутую полость.

На рис. 5.2 показана сетка конечных элементов с нанесенными номерами узлов и треугольных элементов, аппроксимирующая замкнутую полость, занятую жидкостью.

На рис. 5.3 представлены результаты вычисления функции тока на сетках с увеличивающимся числом конечных элементов (структура сетки показана на рис. 5.2), число Рейнольдса Re = 400, шаг интегрирования по времени t = 0,01. Результаты вычислительного эксперимента показывают, что уже при числе элементов, равном 512 и 2048, различие решений незначительно.

Рис. 5.3. Функции тока, полученные при расчетах на сетках с числом конечных элементов, равным 32 (а), 128 (б), 512 (в) и 2048 (г)

На рис. 5.4 представлено поле функции завихренности , полученное при расчетах с использованием сетки из 2048 конечных элементов.

2048 конечными элементами

0

выводе разрешающих соотношений для определения функции тока. Как повлияет его присутствие на выполнение процедуры ансамблирования конечных элементов?

Установите вид матрицы Vp в выражении (5.11). Как выполнять вычисления этого слагаемого?

выводе разрешающих соотношений для определения функции завихренности. Как повлияет его присутствие на выполнение процедуры ансамблирования конечных элементов?

Установите вид матрицы Wp в выражении (5.12). Как выполнять вычисления этого слагаемого?

При каких способах аппроксимации решений m, m в пределах конечных элементов возможно нахождение поля давления P при использовании соотношений (5.13)?

112

6 . М Е Т О Д Г Р А Н И Ч Н Ы Х Э Л Е М Е Н Т О В

Вернемся к уравнению Пуассона (1.0) с граничными условиями (1.1) и (1.2). Его решение um, как и ранее, разыскивается в виде (1.3). Обратная формулировка этой задачи (1.9)

получена взвешиванием невязок уравнения (1.0) и граничных условий (1.1), (1.2) по всей области и границам Q и U, соответственно. Если все взвешивающие функции k удовлетворяют уравнению Лапласа

из предыдущего выражения следует соотношение (1.10) для значений искомой функции um и ее производной um n на границах Q и U,

С помощью функции w взвешиваются невязки дифференциального уравнения, получаемые на приближенном решении u~, удовлетворяющем заданным граничным условиям:

1

u~ u~ x wdx 0.

0

Первое слагаемое под знаком интеграла преобразуется по частям,

u~ 1 w 1 u~ 0 w 0 u~ 1 w 1 u~ 0 w 0 u~w dx

0

Это соотношение является линейным алгебраическим уравнением относительно значений u~ 0 и u~ 1 (на левом конце задано значение функции u, на правом конце – значение производной u ).

Решением дифференциального уравнения w w 0 является функция

w Asin x Bcos x ,

где А и В – константы интегрирования. Подстановка этой функции приводит к выражению

1

x Asin x Bcos x dx u~ 0 Asin 0 Bcos 0 u~ 1 Acos 1 Bsin 1 .

0

В силу независимости коэффициентов А и В приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно искомых значений u~ 0 и u~ 1 ,

1 xsin x dx u~ 1 cos 1 ,

01

xcos x dx u~ 0 u~ 1 sin 1 .

0

Поскольку

115

решением задачи являются значения

u~ 1 tg 1 , u~ 0 1 cos 1 . cos 1

В результате получены значения искомой функции u~ 1 и ее производной u~ 0 на концах рассматриваемого отрезка без непосредственного решения исходного дифференциального уравнения.

Фундаментальное решение

Обратимся к уравнению (6.0). Потребуем, чтобы взвешивающие функции удовлетворяли уравнению1

где (x – xk) – дельта-функция Дирака, xk – точка, где -функция обращается в бесконечность. Выражение (1.10) преобразуется к виду

Это соотношение позволяет определить значение um искомой функции в точке xk внутри области , поскольку все величины, входящие в подынтегральные выражения, стоящие в правой части, либо заданы граничными условиями, либо уже найдены из решения уравнения (1.10).

Пример 6.2. Для рассмотренной выше задачи из примера 6.1 необходимо построить фундаментальное решение и определить значение искомой функции для точки xk, лежащей внутри рассматриваемого отрезка [0, 1]. Фундаментальным решением для этой задачи является функция, удовлетворяющая уравнению

w w x xk .

является искомым фундаментальным решением.

1 Решение уравнения (6.1) называется фундаментальным.

116

Пусть x > xk. В этом случае r = x – xk. Дифференцирование дает

уравнение терпит разрыв в рассматриваемой точке. Для проверки выполнения условий, накладываемых на –функцию, выполняется интегрирование дифференциального уравнения,

полученное в примере 6.1, с учетом уравнения w w x xk принимает форму

1

u~ xk u~ 0 w 0 u~ 1 w 1 xwdx,

0

позволяющую определить значение функции u~ в точке xk. Подстановка фундаментального решения в это уравнение приводит к решению

117

Точное решение рассмотренной задачи имеет вид

u x sin x x. cos 1

Пример 6.3. Рассмотрим уравнение (6.1), записанное для трехмерной бесконечной области с изотропными свойствами. Поле k, порождаемое точечным источником, имеющим координаты (xi, yi, zi), в этом случае зависит

Поскольку решение задачи не зависит от направления, определяемого углами , , уравнение (6.1) принимает вид (источник находится в начале

при подстановке которых дифференциальное уравнение для r 0

удовлетворяется тождественно, поскольку r r 0 0. Для исследования случая r = 0 рассматривается шар радиуса с центром в начале координат (здесь находится точечный источник). Интегрирование уравнения (6.1) по этому шару с использованием теоремы Гаусса [] приводит к выражению,

118

Подстановка сюда требуемой производной дает

При интегрировании учтено, что на поверхности сферы r = = const. Но это как раз и означает выполнение уравнения (6.1) независимо от величины

радиуса сферы, поскольку r d 1. В табл. 1 Приложения представлен ряд

фундаментальных решений из монографии [] для некоторых дифференциальных уравнений.

При получении уравнения (6.2) предполагалось, что точечный источник располагается внутри области . Рассмотрим случай, когда особая точка попадает на границу области, например, xk Q . Рассматривается часть области ГQ с точкой xk (рис. 6.0), причем эта особая точка окружена внешней полусферой с радиусом, равным .

Рис. 6.0. Попадание точечного источника на границу ГQ области

Рассматривается выражение

где Q – – поверхность Q без круга, вырезанного полусферой . Производная в подынтегральном выражении равна

и на поверхности сферы постоянна, причем r = . Второе слагаемое в левой части выражения (6.3) равно

где um – среднее по поверхности полусферы значение um.

119