Boyarshinov_ChM_T3

Кусочно-линейные функции

Набор кусочно-линейных функций представлен на рис. 2.2. Если все узлы отрезка [0, 1] перенумеровать, каждая функция i , i 1,5 будет ассоциироваться с i-м узлом, соответствующим ее номеру. В своем узле значение i равно 1, а в соседних эта функция обращается в 0, изменяясь линейно вдоль прилежащих к этому узлу интервалов. Во всей остальной области пробная функция i тождественно равна 0.

Как и в предыдущем случае, представим заданную функцию в виде разложения (2.0) при m = 5, где

В соответствии с выражением (2.1) определяются значения интегралов,

31

1 5(x)

0

Рис. 2.2. Пробные кусочно-линейные функции

Вычисление остальных интегралов и подстановка полученных значений в выражение (2.1) приводит к системе пяти линейных алгебраических уравнений

32

Из приведенных примеров следует, что при кусочно-постоянных функциях с каждым конечным интервалом [xi, xj] связана одна базисная функция i(x) (рис. 2.4, а), при кусочно-линейной аппроксимации с тем же интервалом ассоциируются две функции (рис. 2.4, б),

где h = xj – xi – длина соответствующего интервала.

Рис. 2.4. Кусочно-постоянные (а) и кусочно-линейные (б) базисные функции, ассоциируемые с конечным отрезком [xi, xj]

Для второго примера ясен геометрический смысл коэффициентов разложения (2.0) в ряд по базисным функциям

f xi fm xi ai i xi aj j xi ai ,

33

то есть коэффициент ai аппроксимирует значение заданной функции в узле xi разностной сетки. Этот факт широко используется в различных реализациях метода конечных элементов. Рассмотренный способ аппроксимации функций может быть продолжен для получения базисных функций более высоких порядков.

Функции высших степеней

Для построения квадратичной аппроксимации на отрезке [xi, xj] вводится дополнительный узел xk (рис. 2.6), который, как правило, располагается в его центре. Первая функция конструируется в виде

i x x2 x .

Потребуем, чтобы она удовлетворяла на выбранном отрезке следующим условиям:

i xi 1, i xj 0, i xk 0,

то есть в своем узле обращалась в 1, а в соседних была бы равна 0. Это требование приводит к системе трех линейных алгебраических уравнений

Эта функция удовлетворяет всем предъявляемым требованиям. Аналогичным конструируются пробные функции

34

Вид этих квадратичных функций, ассоциированных с отрезком [xi, xj], представлен на рис. 2.6. На рис. 2.6 показаны те же функции, ассоциированные с узлами отрезка.

В общем случае для построения на отрезке [xi, xj] системы базисных функций степени p

следует ввести дополнительно (p – 1) узлов. Коэффициенты , , ..., могут быть определены из решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений

1xip 1xip 1 1,

1xjp 1xjp 1 0.

Вместе с тем целесообразно использовать для определения базисных функций способ, используемый при построении полинома Лагранжа,

35

Рис. 2.6. Квадратичные пробные функции, ассоциируемые с узлами отрезка

Пусть на отрезке [xi, xj] задана естественная координата с началом в

Очевидно, что в пределах этого отрезка естественная координата принимает значения 1,1 . В этой системе координат пробные функции представляются следующим образом:

36

Иерархические многочлены

Введенные выше пробные функции обладают существенным недостатком. При необходимости аппроксимации заданной функции с использованием пробных функций более высокого порядка приходится полностью перестраивать систему линейных алгебраических уравнений, получаемую из соотношений (2.1). Это видно из сравнения систем уравнений, получаемых при аппроксимации функции x2 кусочно-постоянными (2.2) и кусочно-линейными (2.4) пробными функциями. Целесообразно так сконструировать систему пробных функций, чтобы при повышении порядка аппроксимации (за счет добавления функций более высокой степени) новая система алгебраических уравнений вида (2.1) формировалась на основе уже имеющейся системы лишь за счет добавления к ней новых столбцов и строк. Построение такой иерархической системы многочленов для произвольного отрезка [xi, xj] начинается с уже известных линейных функций,

Следующая пробная функция строится на основе полинома второй степени,

37

то есть все производные, кроме одной, обращаются в нуль при = 0. Далее, для разложения (2.0) получаем

Следовательно, при q > 2 коэффициент aq аппроксимирует значение производной q-го порядка от исходной функции в точке = 0.

В прикладных задачах математической физики при использовании методов взвешенных невязок часто встречаются интегралы вида

39

В этом случае удобно пользоваться полиномами Лежандра1

Использование этих полиномов позволяет упростить формирование и решение системы алгебраических уравнений. Вид полиномов Лежандра приведен на рис. 2.9.

Функции двух переменных

Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация

Пусть вершины простейшего треугольного конечного элемента с вершинами i, j и k на плоскости имеют координаты {xi, yi}, {xj, yj}, {xk, yk} (рис. 2.10). Для такого конечного элемента можно построить три пробные функцииi(x, y), j(x, y) и k(x, y). Рассмотрим процедуру построения кусочно-линейной пробной функции, определенной на этом элементе, в виде

i x, y i i x i y.

Удобно для практических приложений сконструировать эту функцию таким образом, чтобы в своем узле эта функция была равна 1, а в двух других обращалась в 0. Это будет означать, что коэффициенты разложения какой-либо

1 Лежандр Адриен Мари [18.9.1752 – 10.1.1883] – французский математик. Обосновал и развил теория геодезических измерений, первым открыл и применил в вычислениях метод наименьших квадратов. Доказал приводимость эллиптических интегралов к каноническим формам, нашел их разложения в ряды, составил таблицы их значений. В 1783 году стал членом Парижской академии наук.

40