Boyarshinov_ChM_T3

Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями

Стержень, имеющий длину L, разбивается на 4 (для определенности)

равных отрезка длиной h L4 каждый. Для произвольного отрезка xi , xj (рис

3.0, б) температурное поле описывается уравнением (3.0), граничные условия записываются в форме

где qi , qj – тепловые потоки на внутренних границах конечного элемента.

Построим разрешающие соотношения метода Галеркина (вариант метода

С использованием этих функций решение задачи на отрезке

разыскивается в виде

Tm = Ti i +Ti i ,

где Ti, Tj – узловые значения искомого распределения температуры.

Невязка уравнения (3.0), получаемая на приближении (3.3), взвешивается с

Поскольку ixi 1, ixj 0, из последнего выражения следует

51

В итоге получена систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур Ti и Tj, то есть коэффициентов разложения (3.3) решения по пробным функциям. Подсчитаем интегралы в выражениях (3.5) и (3.6).

Подстановка полученных значений в формулы (3.5) и (3.6) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых

52

Процедура ансамблирования конечных элементов

Рассмотрим композицию из четырех конечных элементов, для каждого из которых запишем свою систему уравнений (3.7):

Витоге получена система восьми алгебраических уравнений с

одиннадцатью неизвестными T1,T2,T3,T4,T5, q2, q2, q3, q3, q4, q4 . Для замыкания системы уравнений следует добавить три дополнительных уравнения теплового баланса

Отметим, что внутренние переменные q2, q2, q3, q3, q4, q4 можно исключить из системы уравнений, складывая уравнения попарно и используя равенства (3.9). Так, для двух первых систем уравнений получаем

53

выведено из него за счет тепловых потоков с торцов. Это становится очевидным, если вспомнить, что решается стационарное уравнение теплопроводности, решение которого может рассматриваться как температурное поле, установившееся за бесконечно большой промежуток времени. Невыполнение балансового соотношения (3.11) приведет либо к накоплению тепла в стержне (при Wh qi qj ) и, следовательно, к бесконечно высоким температурам, либо к принудительному отводу тепла из стержня (при Wh qi qj ) и, соответственно, к бесконечно низким температурам. При точном выполнении соотношения (3.11) стержень будет находиться в состоянии термического равновесия при любых значениях температур. Это означает, что решение оказывается неединственным, то есть исходная задача сформулирована некорректно. Это очевидно из уравнений (3.0) – (3.1), которые определяют решение с точностью до постоянной величины.

Вырожденность системы уравнений на элементарном уровне (3.7) приводит к вырожденности системы алгебраических уравнений (3.10) для всего ансамбля конечных элементов. Легко установить, что и в этом случае суммирование всех уравнений системы (3.10) приводит к балансовому соотношению Q0 Q1 WL. Несмотря на некорректность задачи (3.0) – (3.1) рассмотренный порядок построения разрешающих соотношений является верным и используется для нахождения численного решения. Для корректной постановки задачи следует изменить граничные условия. Пусть на левом конце

~

стержня поддерживается постоянная температура T x 0 T . Для учета этого граничного условия к полученной системе (3.10) следует добавить уравнение

T1 T~

(искомый коэффициент T1, как это уже отмечалось ранее, аппроксимирует значение искомой температуры в этом узле) и считать поток Q0 на левом конце стержня неизвестным. В этом случае получена система шести уравнений с неизвестными T1,T2,T3,T4,T5,Q0 , имеющая ненулевой определитель,

55

На практике уравнение, содержащее неизвестный поток Q0, как правило, исключается из системы уравнений,

При решении прикладных инженерных задач на границе рассматриваемой области могут быть заданы условия конвективного теплообмена, когда на правом конце стержня тепловой поток равен

Q1 Tx L T ,

где – коэффициент теплоотдачи с поверхности в окружающую среду с температурой T , то есть имеет место граничное условие третьего рода,

Для включения этого граничного условия в полученную систему уравнений следует выполнить замену в последнем уравнении, учитывая, что

Tx L T5:

56

В результате всех преобразований система линейных алгебраических уравнений преобразуется к виду

Пример 3.1. Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих данных. Пусть длина стального стержня L = 1 м; мощность внутренних тепловых источников W = 100 Вт/м3, коэффициент теплопроводности стали = 70 Вт/м град, температура окружающей среды T 20o , T~ 100o , = 30 Вт/м2 град. Система уравнений принимает вид

в узловых точках тождественно удовлетворяет точному решению задачи

Используя точное решение задачи, определяем производную

dT 10 x 319, dx 7 14

и, подставляя x = 0, находим точное значение теплового потока

57

dT

Q x 0 dx x 0 1595 Вт/м2 .

Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями

Для решения той же задачи (3.0) – (3.1) воспользуемся квадратичной аппроксимацией в пределах одного конечного элемента xi , xj с центральной

точкой xk. Как и в предыдущем случае, решение раскладывается по пробным функциям