Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Boyarshinov_ChM_T3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Впределах каждого элемента Гj значения u~j и q~j считаются постоянными

иприведенными к центру этого элемента. Поскольку вся граница представляется объединением

j ,

j 1

выражение (6.4) можно преобразовать к виду

~ k

N ~

d q kd f kd uj

d qj kd f kd ,

j 1

где u~j , q~j – величины, подлежащие определению, k – функция, являющаяся фундаментальным решением уравнения (6.1) при точечном источнике, расположенном в центре k-го граничного элемента.

Пусть

					k d		1	,	k j,
							2
Gkj		k d ;	j	n
			Hkj	k
j	n					d ,	k j.
				n

			j

Теперь выражение (6.4) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений

N	N	f kd ,
Gkjq~j	Hkju~j	f kd ,	k 1,N ,	(6.5)
k 1	k 1

каждое из которых получается при помещении точечного источника последовательно в центры всех граничных элементов. В системе уравнений (6.5) содержатся 2N величин u~j, q~j . Однако из них известны NU величин u~ U на границе ГU и NQ значений q~ Q на границе ГQ. Следовательно, система N уравнений (6.5) содержит ровно N величин, подлежащих определению.

После решения этой системы уравнений и определения решения на границе Г области выражение (6.2) позволяет отыскать искомое решение в любой точке xk, лежащей внутри исследуемой области. В этом случае функцияk является фундаментальным решением уравнения Пуассона с точечным источником, расположенным в точке xk.

Построение фундаментального решения

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение

L u 0.

121

Собственные функции n, удовлетворяющие оператору L, определяются соотношением

L n n n ,

где n – собственные значения.

Пример 6.4. Рассмотрим уравнение u 0. Собственными функциями для

него являются, например,

A enx,

n 1, 2, Действительно,

n Ann2enx n2 n ,

причем собственные значения n

n2,

n 1, 2,

Для того же уравнения имеется другая система собственных функций,

n An sinnx Bn cosnx,

n 1, 2,

n Ann2 sinnx Bnn2

cosnx n2 n,

n n2,

n 1, 2,

Пример 6.5.

Пусть

области

x, y

x a,a ,

y b,b задано

дифференциальное уравнение

u 0

с однородными граничными условиями

u a, y u a, y u x, b u x,b 0.

Собственными функциями для этого уравнения являются

A sin n xsin n y ,

n 1, 2,

Подстановка этого выражения в исходное уравнение дает

n2 2

sin

n x

sin

n y

n2 2

sin

n x

sin

n y

n a2

2 1

n x

n y

An sin

sin

n ,

2 1

n 1, 2,

Вводятся скалярное произведение

u,v uvd

122

и норма
u u,u		1 2
u u,u	u2d .


Для построения фундаментального решения уравнения
L k x xk		(6.6)

может применяться следующий конструктивный алгоритм. Пусть имеется замкнутая ортонормированная система собственных функций n, n 1, для линейного дифференциального оператора L. Коэффициенты разложения функции x xk в ряд Фурье по этой системе равны

p x xk , p x x xk p x d p xk .

Это означает, что сама -функция представима в виде

x xk p p x p xk p x .

p 1 p 1

Пример 6.6. Представление функции x на отрезке [– , ] с помощью ряда Фурье

x xk 1 a0					ap cos px bp sin px ,
x xk 1 a0					ap cos px bp sin px ,
			2	p 1
где коэффициенты ap, bp определяются по формулам Эйлера-Фурье
ap 1
ap 1		t xk cos pt dt 1 cos pxk ,


bp 1						1 sin pxk , p 0, .
bp 1	t xk sin pt dt					1 sin pxk , p 0, .


Пусть для определенности xk = 0, тогда
	ap 1 ,			bp 0,		p 0, ,

и -функция представляется разложением
		x
		x		1 1 cos px.
				2	p 1
Очевидно, что в точке x = 0 функция обращается в бесконечность,
0 1
0 1			1 cos0			1	1 1 .
	2		p 1			2	p 1

123

Интеграл от этого ряда
		x dx 1
		x dx 1		dx	1 cos pxdx 1		1 sin px		1.
			2		p 1		p 1	p
На рис. 6.1 показано поведение ряда Фурье для -функции при различных
p вблизи точки x = 0.
3			7			10		25
			7			8		25
2						8
2						6
			3			6
1			3			4
1						4			12
						2			12
0			1			2
			1
						0
						0
-1						-2
-3		-1		1	x	-3	-1		1	x
80			250			3200
60			250			2400
60						2400			10000
									10000
40			100			1600
20			100			800
20						800
0						0
-20						-800
-0,1	-0,05		0	0,05	x	-0,002		0		x
Рис. 6.1. Ряды Фурье для -функции при различных p (обозначены на рисунках)
				вблизи точки x = 0

Представим искомое фундаментальное решение k(x) разложением в ряд

Фурье по той же системе функций n,

n 1, ,

k x q q x .

q 1

Подстановка разложения функции k(x) в силу линейности оператора L приводит к выражению

124


	q q		qL q	x q q q x .
L k L	q q	x	qL q	x q q q x .
q 1			q 1	q 1

Сучетом этого уравнение (6.6) приводится к виду

q q q x p xk p x .

q 1 p 1

В силу независимости собственных функций n, n 1, имеет место

n n n xk ,		n 1, .
Отсюда следует, что
n	n xk ,	n 1, ,
	n

и фундаментальное решение уравнения (6.6) принимает вид

k x p xk n x .

n 1 n

Контрольные вопросы и задания

Получите разрешающие соотношения метода граничных элементов с использованием метода взвешенных невязок (на примере уравнения Пуассона).

Дайте определение фундаментального решения краевой задачи.

Для чего используется -функция Дирака при получении фундаментального решения заданного дифференциального уравнения.

Обоснуйте необходимость применения фундаментального решения в методе граничных элементов.

Покажите, что функция k ln r 2 является фундаментальным решением двумерного уравнения k x xk .

Предложите систему собственных функций для дифференциального уравнения u u 0.

Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения u u 0.

Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 6.4.

Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 6.5.

125

П Р Е Д М Е Т Н Ы Й

А
аппроксимация .............................................
квадратичная........................................		42
кусочно-линейными функциями		........51
линейная...............................................		40
Б
Бреббиа К....................................................		5
В
вычислительный эксперимент................		111
Г
Гамильтон У. Р..........................................		68
Генки Г......................................................		93
гипотеза единой кривой...........................		94
граничные условия .......................................
I рода....................................................		55
II рода.............................................		50, 51
III рода..................................................		56
кинематические...................................		68
силовые................................................		68
функция завихренности.....................		104
функция тока......................................		103
Грина Дж.....................................................		7
Гук Р...........................................................		71
Д
давление...................................................		102
деформация объемная...............................		72
Дирак П. А. М...........................................		18
З
закон Гука......................................	76, 88, 94
Зенкевич О...................................................		4
значение собственное.............................		122
К
координата естественная..........................		36
коэффициенты ..............................................
Ляме......................................................		70
Пуассона ..............................................		71
Юнга.....................................................		72
Л
Лаплас П. С.................................................		9
Лежандр А. М............................................		40
М
метод .............................................................
внутренний.............................................		6
граничных интегральных уравнений..10

У К А З А Т Е Л Ь
граничных элементов..............	4, 10, 114
дополнительных нагрузок...................		96
коллокаций...........................................		12
конечных разностей............................		16
конечных элементов..............................		4
моментов..............................................		11
наименьших квадратов........................		14
переменных параметров упругости....		94
подобластей.........................................		13
множество ....................................................
плотное.................................................		21
слабо компактное................................		21
модуль Юнга.............................................		72
Н
нагружение простое..................................		93
напряжения ...................................................
дополнительные..................................		96
полные..................................................		96
упругие.................................................		96
невязка...................................................		6, 51
О
оператор .......................................................
H-эллиптический.................................		23
Лапласа...............................................		118
ортогонального проектирования........		22
осадка полосы...........................................		79
Остроградский М. В................................		105
П
переменные внутренние...........................		53
полиномы .....................................................
иерархические......................................		37
Лежандра..............................................		40
последовательность .....................................
сильно сходящаяся..............................		21
слабо сходящаяся.................................		21
слабо фундаментальная.......................		21
фундаментальная.................................		20
поток тепловой..............................	50, 51, 56
предел слабый...........................................		21
проектор....................................................		22
производная .................................................
ковариантная........................................		90
обобщенной функции..........................		19
пространство ................................................
банахово...............................................		21
вложенное............................................		21
гильбертово..........................................		21

126

основное...............................................		17
полное..................................................		21
сепарабельное......................................		21
сопряженное........................................		21
Р
решение ........................................................
обобщенное....................................		23, 26
обобщенное, по Галеркину.................		23
фундаментальное...................	4, 116, 121
ряд Тейлора.............................................		104
С
символы Кристоффеля..............................		90
состояние ......................................................
осесимметричное.................................		89
плоско-деформированное...................		75
плоско-напряженное...........................		88
сумма пространств прямая.......................		21
схема разностная ..........................................
Крэнка-Николсона...............................		66
неявная.................................................		66
явная.....................................................		66
Т
тензор ............................................................
деформации..............................	68, 73, 92
деформации, второй инвариант		..........93
деформации, девиатор.........................		93
метрический, компоненты..................		69
напряжения..........................................		68
напряжения, второй инвариант..........		93
напряжения, девиатор.........................		93
физико-механических свойств............		68
теорема .........................................................
Рисса.....................................................		21
течение в замкнутой полости.................		109
У
уравнение ......................................................
Пуассона.................................................		6
равновесия...........................................		69
уравнения .....................................................
геометрические..............................		68, 73
давления.............................................		107
Лапласа...............................................		114
Навье-Стокса.....................................		101
несжимаемости..................................		101
Пуассона.............................................		114
равновесия...........................................		68
теплового баланса.........................		53, 54
теплопроводности, нестационарное...63

теплопроводности, стационарное......		50
физические.....................................		68, 71
Ф
формулировка ..............................................
обратная.........................................		8, 114
ослабленная..........................................		69
слабая.....................................................		8
формулы Тома.........................................		104
функции ........................................................
билинейные..........................................		46
высших степеней.................................		34
двух переменных.................................		40
иерархические......................................		37
квадратичные...........................	35, 37, 58
кубические......................................		35, 37
линейные........................................		37, 41
пробные, векторные............................		69
степени p..............................................		35
трех переменных..................................		47
функция ........................................................
(-функция......................................	17, 116
ассоциируемая с узлом..................		31, 36
билинейная...........................................		23
взвешивающая.......................................		6
завихренности....................................		100
индикаторная.......................................		13
кусочно-линейная................................		31
кусочно-постоянная............................		29
обобщенная..........................................		17
определение.........................................		16
основная...............................................		17
пробная.............................................		6, 29
собственная........................................		122
тока.....................................................		100
финитная..............................................		17
Хевисайда.............................................		19
Х
Хевисайд О................................................		20
Ч
число Рейнольдса............................	101, 111
Э
элементы конечные ......................................
ансамблирование...............	53, 66, 74, 85
матрица жесткости..............................		79
параллелепипеды.................................		49
сеточная область................................		111
тетраэдральные....................................		47
треугольные.........................................		40

127

четырехугольные.................................	46	Ю
		Юнг Т.........................................................	71

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. – М.:

Мир, 1987. – 524 с.

2.Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. – М.: Мир, 1982. – 248 с.

3.Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1967. – 416 с.

4.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.:

Мир, 1986. – 318 с.

5.Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. – 512 с.

6.Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 742 с.

7.Колмогоров А. Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1981. – 544 с.

8.Коннор Дж. Бреббия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. – Л.: Судостроение, 1979. – 264 с.

9.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. – 832 с.

10.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1978. – 736 с.

11.Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 264 с.

12.Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. –

М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1981. – 344 с.

13.Рекач В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости. – М.: Высшая школа, 1977. – 216 с.

14.Роуч П. Вычислительная гидродинамика. – М.: Мир, 1980. – 616 с.

15.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.

16.Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. – 228 с.

17.Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с.

18.Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.

19.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. – М.: Мир, 1988. – 352 с.

128

П Р И Л О Ж Е Н И Е

129

Бояршинов Михаил Геннадьевич

Численные методы

Часть 3 Учебное пособие

Лит. и техн. редактор Корректор

Лицензия ЛР № 020370 от 29.01.97

Подписано к печати 10.06.2001. Формат 60 90 / 16 Печать офсетная. Набор компьютерный. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 200. Заказ

Редакционно-издательский отдел и ротапринт Пермского государственного технического университета Адрес: 614600, Пермь, Комсомольский пр., 29а

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.2019260.61 Кб2bilety_po_istorii1_1.doc
#
29.03.2015539.41 Кб6bilety_sgmu.docx
#
29.03.2015545.25 Кб5bilety_sgmu.docx
#
13.03.20161.32 Mб131Boyarshinov_ChM_T1.pdf
#
13.03.20162.93 Mб308Boyarshinov_ChM_T2.pdf
#
13.03.20161.69 Mб99Boyarshinov_ChM_T3.pdf
#
21.08.201955.81 Кб6British Etiquette and Manners.doc
#
01.05.2019559.62 Кб4budget.doc
#
29.03.20153.3 Mб25buhgal.pdf
#
13.03.20162.22 Mб112Bulevy_funktsii_vse_paragrafy.doc
#
03.05.2019648.92 Кб46Bux_Uchet.docx