Boyarshinov_ChM_T3

Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»

Рассматривается система уравнений Навье-Стокса в безразмерной форме

Здесь обозначено: x, y – координаты произвольной точки рассматриваемой области, t – время, P – давление, Re LV – число Рейнольдса, L, V – характерные размер области и скорость течения, – вязкость жидкости. Для функции тока уравнение несжимаемости

vx vy 2 2 0x y x y y x

выполняется тождественно. Дифференцирование уравнения (5.3) по переменной y, уравнения (5.4) – по переменной x приводит к выражениям

С использованием уравнения несжимаемости (5.5) и определения (5.2) функции завихренности предыдущее соотношение принимает вид дифференциального уравнения

101

Подстановка формул (5.1) в выражение (5.2) позволяет получить дифференциальное уравнение относительно функции тока ,

vxy vyx x x y y ,

Выполненные преобразования позволили тождественно удовлетворить уравнение несжимаемости (5.5) и исключить из уравнений Навье-Стокса давление P. Решение системы уравнений (5.6) и (5.7) позволяет найти распределения функций и , а использование соотношений (5.1) – определить компоненты vx и vy вектора скорости.

С другой стороны, дифференцирование уравнения (5.3) по переменной x, а уравнения (5.4) – по переменной y,

и сложение полученных выражений с учетом уравнения несжимаемости (5.5) приводит к соотношению

которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно давления P в случае, если распределения компонент vx и vy вектора скорости найдены из решения предыдущих уравнений.

Преобразование уравнения несжимаемости (5.5)

vxx 2 vyy 2 2 vxx vyy

а с учетом формул (5.1) записать это уравнение в форме

102

Граничные условия

Поскольку в прикладных задачах краевые условия обычно ставятся в естественных переменных vx, vy и P, рассмотрим особенности постановки граничных условий для функций тока и завихренности.

x

Из первого выражения следует, что

vnd .

Поскольку функция определяется с точностью до константы, граничные значения функции тока определяются выражением

103

где s – дуговая координата, отсчитываемая вдоль границы Г от точки A, для которой принято 0 0.

Граничные условия для функции завихренности

Для записи граничных условий для функции завихренности на твердой границе выбирается произвольная точка A. На расстоянии l от нее по нормали в глубь области выбирается точка B (рис. 5.0). Вблизи точки B функция тока разлагается в ряд Тейлора

Поскольку, как показано ранее, n v , vn , и, согласно (5.7),

получается

B A lv A l22 vn A O l2 .

Отсюда следует формула Тома [] для функции завихренности,

В частности, vn 0 вдоль твердой границы, и формула (5.10) упрощается,

A l22 A B 2l v A .

Соотношения метода взвешенных невязок

Решения дифференциальных уравнений (5.6) и (5.7) в пределах отдельного треугольного конечного элемента представляются в форме

m x, y r r x, y ,

r i, j,k

m t,x,y r t r x,y ,

r i, j,k

где, как и ранее, пробные кусочно-линейные функции для p-го конечного элемента имеют вид

r , r t – узловые значения функций m и m, подлежащие определению.

104

Разрешающие соотношения для функции тока

Пусть приближенное решение m уравнения (5.6) для некоторого момента времени t известно. Невязка уравнения (5.7) на приближенном решении m взвешивается по области p конечного элемента с использованием тех же пробных функций q x,y , q i, j,k, Остроградский

С использованием обозначений

1 Теорема Остроградского-Гаусса [2]: поток вектора через замкнутую поверхность Г равен интегралу от дивергенции по объему , ограниченному этой поверхностью,

d d .

2 Остроградский Михаил Васильевич [24.9.1801 – 1.1.1862] – русский математик. С 1816 по 1820 год учился в Харьковском университете, с 1822 по 1828 год слушал лекции О. Коши, П. Лапласа, Ж. Фурье в Париже. В 1828 стал профессором офицерских классов Морского кадетского корпуса, с 1830 – профессором Института корпуса инженеров путей сообщения. В 1830 году избран в Петербургскую академию наук. Занимает должности профессора в Главном педагогическом институте (с 1832 года), Главном инженерном училище (с 1840 года), в Главном артиллерийском училище (с 1841 года). Один из основателей Петербургской математической школы. Основные труды относятся к математическому анализу, теоретической механике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей.

105

полученный результат удобно представить в матричной форме в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений

i, j , k ,

Разрешающие соотношения для функции завихренности

Пусть задача (5.11) решена, то есть решение m уравнения (5.7) найдено, в соответствии с формулами (5.1) вычислены компоненты vx и vy вектора скорости. Невязка уравнения (5.6) на приближенном решении m взвешивается по области p конечного элемента с применением пробных функций q x,y ,

106

p 2x2m 2y2m qd p x xm q y ym q xm xq ym yq dp x xm q y ym q d p xm xq ym yq d

Вводя дополнительные обозначения