Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

и умножим обе части неравенства на 8; получим

ное данному.

Изменение знаков функции

f(x) = (x + 5) (x - 3) (x + 2) (x - 1,5) (x + 1,25)

иллюстрируем с помощью кривой знаков (рис. 83).

Значения õ, при которых f (x) < 0 (соответствующие промежутки заштрихованы), удовлетворяют

следующим неравенствам: x < -5; - 2 < x < -1,25; 1,5 < x < 3. Это решения исходного неравенства.

шения неравенства: -5 £ x < -1; x > 1. n

15

259

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

191. Показательные неравенства. При решении неравенств вида af (x) > ag (x) следует учитывать, что показательная функция ó = àõ возрастает при à > 1 и убывает при 0 < a < 1 (см. п. 114). Значит, в случае, когда à > 1, от неравенства af (x) > ag (x) переходят к неравенству того же смысла f (x) > g (x). В случае

же, когда 0 < a < 1, от неравенства af (x) > ag (x) переходят к неравенству противоположного смысла f (x) < g(x).

П р и м е р. Решить неравенство: à) 23x+7 < 22x-1; á) (0,04)5x-x2 -8

qЗдесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же

смысла: 3õ + 7 < 2x –1. Решив его, получим x < –8. б) Поскольку 625 = 252 = (0,04)–2, запишем данное неравенство в виде (0,04)5x-x2 -8 £ (0,04)-2. Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла: 5x - x2 -

-8 ³ -2. Имеем

–x2+ 5x – 6 ³ 0, x2– 5x + 6 £ 0, (x – 2) (x – 3) £ 0.

Решив последнее неравенство (см. п. 190 или п. 187), получим 2 £ x £ 3.

Итак, множество решений заданного неравенства есть отрезок [2, 3]. n

260

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

192. Логарифмические неравенства. При решении неравенств вида loga f (x) > loga g (x) следует учитывать, что логарифмическая функция y = loga x возрастает при à > 1 и убывает при 0 < a < 1 (см. п. 116). Поэтому в случае, когда à > 1, от исходного неравенства переходят к неравенству того же смысла f (x) > g (x). В случае же, когда 0 < a < 1, от исходного неравенства переходят к неравенству противоположного смысла f (x) < g (x). При этом необходимо помнить, что логарифмическая функция определена лишь на множестве положительных чисел. Зна- чит, должны выполняться неравенства f (x) > 0 è g (x) > 0.

В итоге от неравенства loga f (x) > loga g (x) переходят к системе неравенств

Заметим, что в системе (1) (при à > 1) неравенство f (x) > 0 можно опустить; аналогично, в системе (2) (при 0 < a < 1) можно опустить неравенство g (x) > 0.

П р и м е р. Решить неравенство:

à) log0,5(2x + 59) > -2; á) lg (x + 2) < 2 - lg (2x - 6).

q à) Òàê êàê -2 = log0,5 4, то неравенство можно переписать в виде log0,5(2x + 59) > log0,5 4. Далее

261

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

имеем

откуда –29,5 < x < –27,5.

б) Чтобы все логарифмы имели смысл, должны выполняться неравенства õ + 2 > 0 è 2x – 6 > 0. Используя свойства логарифмов, преобразуем заданное неравенство:

lg (x + 2) + lg (2x - 6) < 2,

lg ((x + 2)(2x - 6)) < lg100.

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств

С помощью координатной прямой (рис. 85) устанавливаем, что множеством решений последней системы, а значит, и заданного неравенства является интервал (3, 8). n

Ðèñ. 85

262

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

193. Иррациональные неравенства. При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Ò.5.8. Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то при возведении обеих частей неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранении знака исходного неравенства получится неравенство, равносильное данному (на множестве Х). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Неравенство вида f (x) < g (x) равносильно системе

ìïf (x) ³ 0, íg (x) > 0,

ïf (x) < (g (x))2,

î

а неравенство вида f (x) > g (x) равносильно совокупности двух систем:

П р и м е р. Решить неравенство:

à) x2 - x - 12 < x; á) x2 - 4x + 2 > x + 3.

263

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

q а) Это неравенство равносильно следующей системе неравенств:

ìx2 - x - 12 ³ 0, ïíx > 0,

Решив эту систему, находим x ³ 4.

б) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего неравенства.

Решив первую систему, получим õ < –3, из второй системы имеем -3 £ x < -0,7. Объединив эти решения, находим x < -0,7. n

194. Тригонометрические неравенства. Рассмотрим пример графического решения простейших тригонометрических неравенств, т. е. неравенств вида

f (x) > a (èëè f (x) < a ), ãäå f (x) — одна из тригонометрических функций.

П р и м е р. Решить неравенство cos x < 0,5.

q Построим график функции y = cos x и прове-

дем прямую ó = 0,5. Нас интересуют те значения аргумента õ, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой ó = 0,5. Одним из нужных

264

АЛГЕБРА

§ 17. Решение неравенств

Воспользовавшись периодичностью функции

Ðèñ. 86

195. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. Рассмотрим неравенство f (x, y) >

> g (x, y), которое будем называть неравенством с

двумя переменными. Решением такого неравенства называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (õ; ó) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

265

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

П р и м е р. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

x ³ 0, y ³ 0, xy > 4, x + y < 5.

q Геометрическим изображением решений системы неравенств x ³ 0, y ³ 0 является множество точек I координатного угла. Далее, изображением решений неравенства x + y < 5 èëè y < 5 - x является множество точек, лежащих ниже прямой y = 5 - x. Наконец, изображением решений неравен-

x

ветви гиперболы y = 4 . В итоге получаем множе- x

ство точек координатной плоскости, лежащих в I координатном угле ниже прямой y = 5 - x è âûøå ãè-

перболы y = 4 (ðèñ. 87). n x

§18. Доказательство неравенств

196.Метод оценки знака разности. Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы

установить справедливость неравенства f (x, y, z) > > g (x, y, z) составляют разность f (x, y, z) - g (x, y,z) и доказывают, что она положительна.

П р и м е р. Доказать, что если x ³ 0, y ³ 0, òî

266

АЛГЕБРА

§ 18. Доказательство неравенств

Ðèñ. 87

трицательных чисел не меньше их среднего геометрического; это неравенство называется неравенством Коши).

причем равенство имеет место лишь в случае õ = ó.n Из неравенства Коши, в частности, следует нера-

267

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

197. Синтетический метод доказательства неравенств. Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство из некоторых известных (опорных) неравенств. Опорными неравенствами являются, напри-

3) |x + a| £ |x| + |a| (неравенство треугольника); 4) –1 £ sin a £ 1; 5) –1 £ cos a £ 1;

ãäå a,b, c, d — неотрицательные числа.

q Используем здесь в качестве опорного неравенство Коши, составленное для неотрицательных

Применив теперь неравенство Коши к числам à è b, а также к числам ñ è d, получим

268